Zadania do ćwiczeń z AP Statistics: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 36, 40, 37, 22, 11, 22, 43.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży poniżej 173?

μ = 170σ = 5x = 173

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,2, 0,35, 0,35

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 3X + 5. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,05, 0,35, 0,35Y = 3X + 5

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Jaka część wartości leży między 76,75 a 118,75 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 100σ = 15x₁ = 76,75x₂ = 118,75

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 10% wszystkich wartości (10. percentyl).

μ = 65σ = 10P = 10%

x = pkt

7.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

8.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (3,5, 38). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 38)

e =

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 30 elementów ma średnią 45 i odchylenie standardowe s = 16,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 30x̄ = 45s = 16,599%t(29) = 2,756

E =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 17. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?

σ = 17E = 1,590%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

6 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 3,05, a odchylenie standardowe różnic 3,4. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μ_d = 0.

n = 6d̄ = 3,05s_d = 3,4

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 5 jednostek z mocą 90 %. Odchylenie standardowe wynosi 15. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,01moc = 90%δ = 5σ = 15z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

13.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1402 × 2

χ² =

14.Testy chi-kwadratTrudny

Test niezależności chi-kwadrat przeprowadza się na tabeli kontyngencji o 2 wierszach i 3 kolumnach (bez sum). Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²_crit na poziomie istotności α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 11,85

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 211/7 = 30,14

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 5,857² + 9,857² + 6,857² + (−8,143)² + (−19,14)² + (−8,143)² + 12,86² = 842,9

Odchylenie standardowe

s = √(842,9/6) = 11,85

Odpowiedź

s = 11,85

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,7257

Standaryzuj

z = 0,6

Tablica rozkładu normalnego

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Odpowiedź

P = 0,7257

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 0,9734

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 1·0,1 + 2·0,2 + 3·0,35 + 4·0,35 = 2,95

Średnia kwadratów

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,2 + 9·0,35 + 16·0,35 = 9,65

Wariancja

Var(X) = 9,65 − 2,95² = 0,9475

σ = √0,9475 = 0,9734

Odpowiedź

σ = 0,9734

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 34,99

Rozrzut X

μ = 28, Var(X) = 136, σ_X = 11,66

Zmiana liniowa

σ_Y = |3|·11,66 = 34,99

Odpowiedź

σ_Y = 34,99

Średnia się przesuwa: E(Y) = 3·28 + 5 = 89.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8338

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55

z₂ = (118,75 − 100)/15 = 1,25

Pole pomiędzy

P = Φ(1,25) − Φ(−1,55) = 0,8944 − 0,06057 = 0,8338

Odpowiedź

P = 0,8338

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 52,18 pkt

z dla percentyla

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Powrót do x

x = 65 + −1,282·10 = 52,18 pkt

Odpowiedź

x = 52,18 pkt

7.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,9879

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 101/5 = 20,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 132,8

Współczynnik korelacji

r = −36/√(10·132,8) = −0,9879

Odpowiedź

r = −0,9879

8.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = −4,833

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 257/6 = 42,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 34,5

Prosta regresji

b = 34,5/17,5 = 1,971

a = 42,83 − 1,971·3,5 = 35,93

ŷ = 35,93 + 1,971·x

Wartość przewidywana

ŷ = 35,93 + 1,971·3,5 = 42,83

Reszta

e = 38 − 42,83 = −4,833

Odpowiedź

e = −4,833

Punkt leży pod prostą.

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 8,302

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Margines błędu

E = 2,756·16,5/√30 = 8,302

Odpowiedź

E = 8,302

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 348

Wyznacz n

n = (1,645·17/1,5)² = 347,6

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 348

Odpowiedź

n = 348

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,197

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Błąd standardowy średniej różnicy

SE = 3,4/√6 = 1,388

Statystyka testowa

t = 3,05/1,388 = 2,197

Odpowiedź

t = 2,197

Przy df = 5 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,571; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 118

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((2,326 + 1,282)·15/5)² = 117,2

Zaokrąglij w górę

n = 118

Odpowiedź

n = 118

13.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 26,52

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

palący: 80·77/140 = 44, 80·63/140 = 36

niepalący: 60·77/140 = 33, 60·63/140 = 27

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (29 − 44)²/44 + (51 − 36)²/36 + (48 − 33)²/33 + (12 − 27)²/27

χ² = 26,52

Odpowiedź

χ² = 26,52

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.

14.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²_crit = 9,21

Stopnie swobody

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

Tabela

χ²_crit(df = 2, α = 0,01) = 9,210

Odpowiedź

χ²_crit = 9,210

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice