Zadania do ćwiczeń z AP Statistics: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 50, 13, 27, 51, 29.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 94.

μ = 100σ = 5x = 94

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 4 kul czerwonych i 5 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

4 / 5

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 5X + 1. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,2, 0,2, 0,3, 0,15Y = 5X + 1

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 60 s i odchyleniem standardowym 5 s; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 45 s i odchyleniem standardowym 4 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 113 s. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 113 s

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,03 mm i odchyleniem standardowym 0,01 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

8.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 20?

n = 6ŷ = 20

x =

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 16 elementów ma średnią 16 i odchylenie standardowe s = 10,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 16x̄ = 16s = 10,599%t(15) = 2,947

E =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 28. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?

σ = 28E = 290%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 16 uczniów, średni wynik 98, odchylenie standardowe 6. Grupa 2: 15 uczniów, średni wynik 106,8, odchylenie standardowe 11,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 16x̄₁ = 98s₁ = 6n₂ = 15x̄₂ = 106,8s₂ = 11,5

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 80 przeciw H₁: μ < 80 przeprowadza się na poziomie α = 0.10 na próbie o liczebności 36; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 18. W rzeczywistości średnia wynosi 75.2. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.

μ₀ = 80μ = 75,2σ = 18n = 36α = 0,10

β = %

13.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1002 × 2

χ² =

14.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 4 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²_crit na poziomie istotności α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 16,28

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 170/5 = 34

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 16² + (−21)² + (−7)² + 17² + (−5)² = 1060

Odchylenie standardowe

s = √(1060/4) = 16,28

Odpowiedź

s = 16,28

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −1,2

Standaryzuj

z = (94 − 100)/5 = −1,2

Odpowiedź

z = −1,2

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1667

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 0,1667

Odpowiedź

P = 0,1667

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 6,5

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Rozrzut X

μ = 3,1, Var(X) = 1,69, σ_X = 1,3

Zmiana liniowa

σ_Y = |5|·1,3 = 6,5

Odpowiedź

σ_Y = 6,5

Średnia się przesuwa: E(Y) = 5·3,1 + 1 = 16,5.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,1056

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standaryzuj

z = (113 − 105)/6,403 = 1,25

Górny ogon

P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056

Odpowiedź

P = 0,1056

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9099

Rozkład różnicy

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099

Odpowiedź

P = 0,9099

7.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,7994

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 153/5 = 30,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 29

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 105,2

Współczynnik determinacji

r² = 29²/(10·105,2) = 0,7994

Odpowiedź

r² = 0,7994

Około 79,94% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

8.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 1,591

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 84/6 = 14

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −55

Prosta regresji

b = −55/17,5 = −3,143

a = 14 − (−3,143)·3,5 = 25

ŷ = 25 − 3,143·x

Wyznacz x

x = (20 − 25)/(−3,143) = 1,591

Odpowiedź

x = 1,591

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 7,736

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Margines błędu

E = 2,947·10,5/√16 = 7,736

Odpowiedź

E = 7,736

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 531

Wyznacz n

n = (1,645·28/2)² = 530,4

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 531

Odpowiedź

n = 531

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −2,696

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (15·6² + 14·11,5²)/29 = 82,47

s_p = 9,081

Błąd standardowy

SE = 9,081·√(1/16 + 1/15) = 3,264

Statystyka testowa

t = (98 − 106,8)/3,264 = −2,696

Odpowiedź

t = −2,696

Przy df = 29 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,045; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: β = 37,52 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 18/√36 = 3

x̄_c = 80 − 1,282·3 = 76,15

z przy prawdziwej średniej

z = (76,15 − 75,2)/3 = 0,318

Błąd II rodzaju

moc = P(Z < 0.318) = 62.48%

β = 100% − 62,48% = 37,52%

Odpowiedź

β = 37,52%

13.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 12,7

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

nowy lek: 60·70/100 = 42, 60·30/100 = 18

placebo: 40·70/100 = 28, 40·30/100 = 12

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (34 − 42)²/42 + (26 − 18)²/18 + (36 − 28)²/28 + (4 − 12)²/12

χ² = 12,7

Odpowiedź

χ² = 12,7

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.

14.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²_crit = 5,991

Stopnie swobody

df = 4 − 1 − 1 = 2

Tabela

χ²_crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991

Odpowiedź

χ²_crit = 5,991

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice