Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie
najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności
podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Reguła de l'Hospitala
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu
(uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

  1. Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
  2. Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
  3. W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
  4. Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda
zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi
∫ab (f − g) dx

Metoda

  1. Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
  2. Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla ex, 1/x, sin i cos.
  3. Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
  4. Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni
xyy = L

Oblicz granicę L = limx→∞ (√(9x2 + 5x) − 3x).

f(x) = √(9x2 + 5x) − 3xx → ∞
L =
2.GraniceTrudny
xyx = 0

Oblicz granicę L = limx→0 (1 − cos 3x)/(2x²), z x w radianach.

f(x) = (1 − cos 3x)/(2x²)x → 0
L =
3.PochodneŚredni
xyx = 2

Dana jest funkcja f(x) = x3·e−x. Wyznacz f′(2).

f(x) = x3·e−xx = 2
f′(2) =
4.PochodneTrudny
xy

Dana jest funkcja f(x) = x3 + 3x2 − 9x + 5. Wyznacz współrzędną x x maksimum lokalnego.

f(x) = x3 + 3x2 − 9x + 5
x =
5.OptymalizacjaŚredni
rh

Zamknięta puszka walcowa (z wieczkiem i dnem) ma mieścić 400 cm³. Zużyty metal jest proporcjonalny do całkowitego pola powierzchni. Wyznacz najmniejsze możliwe pole powierzchni A.

V = 400 cm³
A = cm²
6.OptymalizacjaTrudny
p (€)R(p)12teraz

Teatr sprzedaje 1000 biletów na przedstawienie po €12 za sztukę. Badanie rynku pokazuje, że każdy wzrost ceny biletu o €1 oznacza 50 sprzedanych biletów mniej (a każda obniżka o €1 – 50 więcej). Wyznacz cenę biletu p, która maksymalizuje przychód.

1000 × €1250 / €1
p = €
7.CałkiŚredni
xy2y = 0,5x

Obszar pod krzywą y = 0,5x od x = 0 do x = 2 obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły (stożka).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 2
V =
8.CałkiTrudny
xyy = 2x2​y = 2x

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 2x2 i y = 2x.

y = 2x2y = 2x
A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 0,8333

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = 5x/(√(9x2 + 5x) + 3x)

Podziel przez x

f(x) = 5/(√(9 + 5/x) + 3)

Niech x → ∞

L = 5/(3 + 3) = 0,8333

Odpowiedź

L = 0,8333
2.Granice

Odpowiedź: L = 2,25

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pierwsze zastosowanie

3·sin 3x/(4x) → 0/0

Drugie zastosowanie

9·cos 3x/4

Podstaw x = 0

L = 9/4 = 2,25

Odpowiedź

L = 2,25
3.Pochodne

Odpowiedź: f′(2) = 0,5413

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Podstaw

f′(2) = 0,1353·(12 + (−8)) = 0,5413

Odpowiedź

f′(2) = 0,5413
4.Pochodne

Odpowiedź: x = −3

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Pochodna

f′(x) = 3x2 + 6x − 9 = 3·(x2 + 2x − 3)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = −3 lub x = 1

Które jest które

f″(x) = 6x + 6: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12
x = −3

Odpowiedź

x = −3
5.Optymalizacja

Odpowiedź: A = 300,5 cm²

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja r

h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r

Przyrównaj pochodną do zera

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, więc jest to minimum.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm

Wysokość i pole

h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm
A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²

Odpowiedź

A = 300,5 cm²

Najtańsza zamknięta puszka jest tak wysoka, jak szeroka: h = 2r.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: p = 16 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Przychód jako funkcja ceny

n(p) = 1600 − 50p
R(p) = 1600p − 50p²

Przyrównaj pochodną do zera

R″(p) = −100 < 0, więc jest to maksimum.

p = 1600/100 = €16

Maksymalny przychód

n = 1600 − 50·16 = 800
R = 16·800 = €12800

Odpowiedź

p = €16
7.Całki

Odpowiedź: V = 2,094

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Metoda dysków

V = π∫₀2 0,25x² dx

Całkuj

V = π·0,25·2³/3 = 2,094

Odpowiedź

V = 2,094

Sprawdzenie: stożek o promieniu 1 i wysokości 2 ma (1/3)πr²h = 2,094.

8.Całki

Odpowiedź: A = 0,3333

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Punkty przecięcia

2x2 = 2x → x = 0, x = 1

Całkuj górną minus dolną

A = [x2 − 0,6667x3]01 = 0,3333

Odpowiedź

A = 0,3333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1