Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (√(x² − 5x) − x).

f(x) = √(x² − 5x) − xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(x²), z x w radianach.

f(x) = (1 − cos 2x)/(x²)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = ln(x² + 4). Wyznacz f′(−1).

f(x) = ln(x² + 4)x = −1

f′(−1) =

4.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ + 1,5x² + 6. Wyznacz współrzędną x x maksimum lokalnego.

f(x) = x³ + 1,5x² + 6

x =

5.OptymalizacjaŚredni

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 62500 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz wysokość h.

V = 62500 cm³

h = cm

6.OptymalizacjaTrudny

Firma sprzedaje q sztuk tygodniowo. Cena, po której może je sprzedać, to p = 190 − 0,25q euro za sztukę, a koszt to C(q) = 300 + 160q euro. Wyznacz tygodniową produkcję q, która maksymalizuje zysk.

p = 190 − 0,25qC = 300 + 160q

q = szt.

7.CałkiŚredni

Obszar pod krzywą y = 3x od x = 0 do x = 1 obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły (stożka).

y = 3x0 ≤ x ≤ 1

V =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 4 − x² a osią x.

y = 4 − x²

A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = −2,5

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = −5x/(√(x² − 5x) + x)

Podziel przez x

f(x) = −5/(√(1 + (−5)/x) + 1)

Niech x → ∞

L = −5/(1 + 1) = −2,5

Odpowiedź

L = −2,5

2.Granice

Odpowiedź: L = 2

Pierwsze zastosowanie

2·sin 2x/(2x) → 0/0

Drugie zastosowanie

4·cos 2x/2

Podstaw x = 0

L = 4/2 = 2

Odpowiedź

L = 2

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(−1) = −0,4

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa dla logarytmu

f′(x) = 2x/(x² + 4)

Podstaw

f′(−1) = −2/5 = −0,4

Odpowiedź

f′(−1) = −0,4

4.Pochodne

Odpowiedź: x = −1

Pochodna

f′(x) = 3x² + 3x = 3·(x² + x)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = −1 lub x = 0

Które jest które

f″(x) = 6x + 3: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(−1) = −3, f″(0) = 3

x = −1

Odpowiedź

x = −1

5.Optymalizacja

Odpowiedź: h = 25 cm

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 250000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 125000 → x = 50 cm

Wysokość i pole

h = 62500/50² = 25 cm

S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

Odpowiedź

h = 25 cm

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: q = 60 szt.

Funkcja zysku

P(q) = (190 − 0,25q)·q − (300 + 160q) = −0,25q² + 30q − 300

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −0,5 < 0, więc jest to maksimum.

q = 30/0,5 = 60

Cena i zysk

p = 190 − 0,25·60 = €175

P = 30·60 − 0,25·60² − 300 = €600

Odpowiedź

q = 60

7.Całki

Odpowiedź: V = 9,425

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Metoda dysków

V = π∫₀¹ 9x² dx

Całkuj

V = π·9·1³/3 = 9,425

Odpowiedź

V = 9,425

Sprawdzenie: stożek o promieniu 3 i wysokości 1 ma (1/3)πr²h = 9,425.

8.Całki

Odpowiedź: A = 10,67

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Miejsca zerowe

4 − x² = 0 → x = ±2

Całkuj

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Odpowiedź

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1