Analiza matematyczna 2: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Ciągi i szeregi

Ciąg arytmetyczny: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Ciąg geometryczny: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Nieskończony szereg geometryczny: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Szereg p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Promień zbieżności: R = lim |c_k/c_k+1|
Wielomian Taylora: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Szereg Maclaurina: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Oszacowanie Lagrange’a: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metoda

Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych

Pochodne cząstkowe: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradient: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Pochodna kierunkowa: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Płaszczyzna styczna: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Reguła łańcuchowa: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Test drugiej pochodnej: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Całka podwójna: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Współrzędne biegunowe: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metoda

Przy pochodnej cząstkowej traktuj drugą zmienną jak stałą i używaj reguł dla jednej zmiennej.
W zadaniach o gradiencie oblicz ∇f = (f_x, f_y) w punkcie; użyj |∇f| dla największego nachylenia i ∇f·u z wektorem jednostkowym u dla pochodnej kierunkowej.
Dla ekstremów rozwiąż jednocześnie f_x = 0 i f_y = 0, a potem sklasyfikuj każdy punkt przez D = f_xx·f_yy − f_xy².
Dla całki podwójnej naszkicuj obszar, wybierz kolejność (lub współrzędne biegunowe dla kół), aby granice wewnętrzne były krzywymi ograniczającymi, i całkuj najpierw wewnątrz.

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Zadania do ćwiczenia

1.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀³ e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 3]

I =

2.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 2x² i y = 3x.

y = 2x²y = 3x

A =

3.Ciągi i szeregiŚredni

Zastosuj kryterium d’Alemberta do Σ_k=1^∞ k²·3ᵏ/4ᵏ. Znajdź L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = k²·3ᵏ/4ᵏ

L =

4.Ciągi i szeregiTrudny

Funkcję f(x) = eˣ przybliżono w x = 0,5 jej wielomianem Maclaurina stopnia n. Z oszacowaniem Lagrange’a M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! i M = 2 znajdź najmniejszy stopień n, który gwarantuje błąd poniżej 0,0005.

f(x) = eˣx = 0,5M = 2ε = 0,0005

n =

5.Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychŚredni

z = 2 sin(−x + 3y), gdzie x = t i y = t² − 2. Użyj reguły łańcuchowej, aby znaleźć dz/dt dla t = 2.

z = 2 sin(−x + 3y)x = ty = t² − 2t = 2

dz/dt =

6.Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychTrudny

Zaznaczone punkty to punkty krytyczne funkcji f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 6y. Kliknij punkt siodłowy.

f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 6y

1A (1, −3)
2B (−1, −3)

7.Równania różniczkoweŚredni

Puszkę napoju o temperaturze 6 °C wyjęto z lodówki do pokoju o temperaturze 28 °C. Po 11 min jej temperatura wynosi 20 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wyznacz stałą k w min⁻¹.

T₀ = 6 °CT_a = 28 °CT(11) = 20 °C

k = min⁻¹

8.Równania różniczkoweTrudny

Rozwiąż zagadnienie początkowe y′ + 2y/x = 4 dla x > 0, z y(1) = −2. Wyznacz y(2).

y′ + 2y/x = 4y(1) = −2

y(2) =

3Roztwory

1.Całki

Odpowiedź: I = 201,2

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = e^2x/2

Podstaw granice

I = (e⁶ − 1)/2 = (403,4 − 1)/2 = 201,2

Odpowiedź

I = 201,2

2.Całki

Odpowiedź: A = 1,125

Punkty przecięcia

2x² = 3x → x = 0, x = 1,5

Całkuj górną minus dolną

A = [1,5x² − 0,6667x³]₀^1,5 = 1,125

Odpowiedź

A = 1,125

3.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: L = 0,75

Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σc_k(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |c_k/c_k+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.

Iloraz kolejnych wyrazów

|a_k+1/a_k| = ((k + 1)/k)²·3/4 → 3/4

Wniosek

L = 0,75 < 1

Odpowiedź

L = 0,75

L < 1, więc szereg jest zbieżny.

4.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: n = 5

Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.

Oszacowania dla rosnących n

n = 4: 0,0005208 ≥ 0,0005

n = 5: 4,34 × 10⁻⁵ < 0,0005

Najmniejszy stopień

n = 5

Odpowiedź

n = 5

5.Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych

Odpowiedź: dz/dt = −14,38

Gradient: ∇f = (f_x, f_y) wskazuje kierunek najszybszego wzrostu, a |∇f| to największa szybkość zmiany. Pochodna kierunkowa wzdłuż kierunku v to D_uf = ∇f·u z wektorem jednostkowym u = v/|v|. Płaszczyzna styczna w (a, b) to z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); daje liniowe przybliżenie f w pobliżu tego punktu. Reguła łańcuchowa: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Punkt i szybkości zmian

x(2) = 2, y(2) = 2

dx/dt = 1, dy/dt = 2t = 4

Pochodne cząstkowe

f_x = −2 cos(−x + 3y) = 1,307

f_y = 6 cos(−x + 3y) = −3,922

Reguła łańcuchowa

dz/dt = 1,307·1 + (−3,922)·4 = −14,38

Odpowiedź

dz/dt = −14,38

6.Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych

Odpowiedź: B (−1, −3)

Punkty krytyczne i całki podwójne: punkt krytyczny ma f_x = f_y = 0. Test drugiej pochodnej z D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 i f_xx > 0 to minimum lokalne, D > 0 i f_xx < 0 maksimum lokalne, D < 0 punkt siodłowy, a D = 0 nic nie rozstrzyga. Dla całki podwójnej po obszarze ogólnym granice wewnętrzne wyznaczają krzywe ograniczające obszar; dla kół i wycinków użyj współrzędnych biegunowych, x = r cos θ, y = r sin θ oraz dA = r dr dθ (nie zapomnij o czynniku r).

Punkty krytyczne

Rozwiąż jednocześnie f_x = 0 i f_y = 0.

f_x = −(3x² − 3) = 0

f_y = −(2y + 6) = 0

(1, −3), (−1, −3)

Test drugiej pochodnej

(1, −3): f_xx = −6, f_yy = −2, f_xy = 0, D = 12 → maksimum lokalne

(−1, −3): f_xx = 6, f_yy = −2, f_xy = 0, D = −12 → punkt siodłowy

Punkt

B (−1, −3): punkt siodłowy

Odpowiedź

B (−1, −3)

7.Równania różniczkowe

Odpowiedź: k = 0,09196 min⁻¹

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Stosunek różnic temperatur

e^−11k = -8/-22

Wyznacz k

k = ln(-22/-8)/11 = 0,09196 min⁻¹

Odpowiedź

k = 0,09196 min⁻¹

8.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(2) = 1,833

Czynnik całkujący

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Całkuj

(x²y)′ = 4x² → x²y = 4x³/3 + C

Warunek początkowy

−2 = 4/3 + C → C = −3,333

Oblicz

y(2) = (4·2³/3 + (−3,333))/2² = 1,833

Odpowiedź

y(2) = 1,833

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2