Analiza matematyczna 2: zadania i pytania egzaminacyjne

Drugi kurs analizy matematycznej: techniki całkowania, ciągi i szeregi z kryteriami zbieżności, szeregi potęgowe i wielomiany Taylora oraz rachunek różniczkowy wielu zmiennych z pochodnymi cząstkowymi, gradientami, punktami krytycznymi i całkami podwójnymi. W zależności od programu część tego materiału jest nauczana jako Analiza matematyczna 3.

Ćwicz ten przedmiot za darmo Ćwicz ten przedmiot Napisz egzamin próbny5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Zestaw na powtórkę (PDF)Wzory, kroki metod i zadania z pełnymi rozwiązaniami, gotowe do wydruku.

Tematy w tym przedmiocie

Wskazówki egzaminacyjne: Analiza matematyczna 2

Przed każdym kryterium zbieżności sprawdź, czy wyrazy dążą do 0; jeśli nie, szereg jest rozbieżny.
Zapisz wielomian Taylora z silniami na swoich miejscach, zanim podstawisz liczbę.
Przy całce podwójnej najpierw naszkicuj obszar: szkic daje granice całki wewnętrznej.

Przykłady z rozwiązaniami

CałkiŁatwy

Obszar pod krzywą y = 0,5x od x = 0 do x = 3 obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły (stożka).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Oblicz V

Pokaż podpowiedzi

Plasterek w punkcie x jest kołem o promieniu y = 0,5x.
V = π∫₀³ (0,5x)² dx.
= π·0,25·x³/3.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Metoda dysków

V = π∫₀³ 0,25x² dx

Całkuj

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Odpowiedź

V = 7,069

Sprawdzenie: stożek o promieniu 1,5 i wysokości 3 ma (1/3)πr²h = 7,069.

Ciągi i szeregiŚredni

Znajdź sumę S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 3)).

a_k = 12/(k(k + 3))

Oblicz S

Pokaż podpowiedzi

Ułamki proste: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
Wypisz kilka pierwszych wyrazów: większość się skraca (suma teleskopowa).
Zostaje (12/3)·(1 + … + 1/3).

Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σc_k(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |c_k/c_k+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.

Ułamki proste

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Anuluj

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Odpowiedź

S = 7,333

Jak wygląda ćwiczenie

„Ćwicz ten przedmiot” miesza zadania ze wszystkich jego tematów, jak na prawdziwym egzaminie.
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Egzaminy próbne są mierzone czasem i nie mają podpowiedzi, a na końcu dostajesz wynik i pełne omówienie.

Kalkulatory do tego kursu

Kalkulator okresu połowicznego rozpadu i zaniku wykładniczego Kalkulator całek (oznaczonych i nieoznaczonych)

Powiązane przedmioty

Matematyka inżynierska 2 Zadania do ćwiczeń z AP Calculus Matematyka dla inżynierów Równania różniczkowe Metody numeryczne Analiza matematyczna 1 Wstęp do statystyki Statystyka 2: Wnioskowanie statystyczne

Ćwicz ten przedmiot za darmo Ćwicz ten przedmiot Napisz egzamin próbny5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.