Kalkulator całek (oznaczonych i nieoznaczonych)
Wpisz swoje wartości. Odpowiedź i pełne rozwiązanie aktualizują się w trakcie pisania.
Wynik
Funkcją pierwotną 1/x jest ln|x|: wartość bezwzględna sprawia, że wzór obowiązuje także dla ujemnych x.
Znajdź funkcję pierwotną lub oblicz całkę oznaczoną. Dla sum standardowych składników, takich jak potęgi x, 1/x, e^(ax + b), sin, cos i sec² z ax + b, (ax + b)ⁿ oraz ln(ax + b), kalkulator całkuje wyraz po wyrazie i dokładnie oblicza F(b) − F(a). Każdą inną funkcję ciągłą całkuje numerycznie adaptacyjnym wzorem Simpsona i ostrzega przed całkami niewłaściwymi.
Rozwiązanie krok po kroku
Odczytaj funkcję i granice
Znajdź funkcję pierwotną, składnik po składniku
Oblicz F(b) − F(a)
Kontrola numeryczna
Najważniejsze wzory
- Pochodna potęgi
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Całka oznaczona
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Podstawowe całki
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Pole między krzywymi
- ∫ab (f − g) dx
Jak obliczyć całkę oznaczoną
- Rozbij funkcję podcałkową na sumę składników i scałkuj każdy osobno; stałe czynniki zostają z przodu.
- Użyj reguły potęgowej ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) dla n ≠ −1 oraz ∫ 1/x dx = ln|x|.
- Dla funkcji ax + b podziel przez a: ∫ e^(ax + b) dx = e^(ax + b)/a oraz ∫ cos(ax + b) dx = sin(ax + b)/a.
- Oblicz funkcję pierwotną w górnej i dolnej granicy i odejmij: ∫ f(x) dx od a do b = F(b) − F(a). Stała C się znosi.
- Sprawdź, czy funkcja podcałkowa jest ciągła na [a, b]. Jeśli ma tam asymptotę pionową, jak 1/x w x = 0, całka jest niewłaściwa i wymaga granicy.
Pytania i odpowiedzi
Które całki kalkulator rozwiązuje dokładnie?
Sumy stałych wielokrotności xⁿ (dowolne wymierne n), 1/x, e^(ax + b), kˣ, sin(ax + b), cos(ax + b), sec²(ax + b), csc²(ax + b), sec·tan i csc·cot z ax + b, (ax + b)ⁿ oraz ln(ax + b). Iloczyny takie jak x·eˣ wymagają całkowania przez części i są liczone numerycznie.
Jak dokładne jest całkowanie numeryczne?
Adaptacyjny wzór Simpsona dzieli na połowy te części przedziału, w których oszacowanie się zmienia, aż zgodzi się do około dziesięciu cyfr znaczących dla funkcji gładkich. Kalkulator pokazuje liczbę obliczeń funkcji i szacowany błąd.
Czym jest + C?
Stałą całkowania. Każda funkcja ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych różniących się o stałą, bo pochodna stałej jest równa zero. W całce oznaczonej stała się znosi.
Dlaczego dostaję komunikat o całce niewłaściwej?
Funkcja podcałkowa jest nieokreślona lub nieskończona gdzieś w [a, b], na przykład 1/x na [−1, 1] albo tan(x) przy π/2. Takie całki wymagają granicy i mogą być rozbieżne, więc kalkulator nie podaje dla nich wartości.
Czy mogę użyć π w granicach?
Tak. Wpisz pi, pi/2 lub 2pi, albo e, jako granicę; na przykład całka z sin(x) od 0 do pi wynosi 2.
Przećwicz to sam
Ćwicz: Całki
Kalkulator daje odpowiedź. Na egzaminie potrzebujesz metody: ćwicz ją na nowych zadaniach z podpowiedziami i rozwiązaniami.