Całki: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: całka nieoznaczona · całka oznaczona · całkowanie przez części

Darmowe zadania z tematu Całki z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: wielomiany, funkcje wykładnicze, logarytmy i podstawienie, pola między krzywymi.

Darmowe zadanieŁatwy
xy−2−1

Oblicz I = ∫−2−1 (4x2 − 4x + 5) dx.

f(x) = 4x2 − 4x + 5[−2, −1]
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: CałkiĆwicz teraz: Całki5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwywielomiany
  2. Średnifunkcje wykładnicze, logarytmy i podstawienie
  3. Trudnypola między krzywymi

Jak rozwiązywać zadania: Całki

  1. Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
  2. Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla ex, 1/x, sin i cos.
  3. Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
  4. Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Typowe błędy

  • Zapominanie o dzieleniu przez nowy wykładnik.
  • Niezmienienie granic całkowania po podstawieniu.
  • Zapominanie o + C w całce nieoznaczonej.

Najważniejsze wzory

Pochodna potęgi
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi
∫ab (f − g) dx

Naucz się tematu Całki od zera

Wcześniej: Pochodne

1Czym jest całka

Całka sumuje wielkość, która się zmienia. Najczytelniejszy obraz to pole pod wykresem.

Samochód jedzie z prędkością 20 m/s przez 5 s. Pokonuje 20 · 5 = 100 m. Na wykresie prędkości od czasu to pole prostokąta pod linią.

xy520100

Gdy prędkość się zmienia, kształt pod wykresem jest zakrzywiony, ale idea jest ta sama: pole to droga.

Pole pod f między x = a i x = b zapisujemy tak:

∫ab f(x) dx

Liczby a i b to granice całkowania. Symbol dx mówi, że zmienną jest x.

Samosprawdzenie Rowerzysta jedzie ze stałą prędkością 10 m/s przez 4 s. Jakie jest pole pod wykresem prędkości od czasu?
  1. 10 m
  2. 14 m
  3. 2,5 m
  4. 40 m

Odpowiedź: 40 m. Pole jest prostokątem: wysokość 10 m/s razy szerokość 4 s daje 40 m. Dzielenie 10 przez 4 daje 2,5, co nie jest polem.

2Funkcje pierwotne i wzór na potęgę

Całkowanie to różniczkowanie w odwrotną stronę. Funkcja pierwotna F funkcji f to funkcja, której pochodną jest f.

Ponieważ (x³)′ = 3x², funkcją pierwotną 3x² jest x³. Można dodać dowolną stałą, więc piszemy ∫3x² dx = x³ + C.

Wzór na potęgę dla całek: zwiększ potęgę o jeden, potem podziel przez nową potęgę.

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1
  • Stały czynnik zostaje z przodu: ∫5x² dx = 5x³/3 + C.
  • Sama stała: ∫4 dx = 4x + C.
  • W sumie całkuj każdy składnik osobno.

Naucz się też tych: ∫eˣ dx = eˣ, ∫ekx dx = ekx/k, ∫1/x dx = ln|x|, ∫cos x dx = sin x i ∫sin x dx = −cos x.

Funkcję pierwotną zawsze możesz sprawdzić: zróżniczkuj ją, a musisz dostać funkcję wyjściową.

Samosprawdzenie Ile wynosi ∫6x² dx?
  1. 12x + C
  2. 2x³ + C
  3. 3x³ + C
  4. 6x³ + C

Odpowiedź: 2x³ + C. Zwiększ potęgę do 3 i podziel przez 3: 6x³/3 = 2x³. 12x to pochodna, a nie całka, a 6x³ zapomina podzielić przez nową potęgę.

3Całki oznaczone i pola

Całka oznaczona ma granice i daje liczbę. Znajdź funkcję pierwotną F, a potem odejmij jej wartości na dwóch granicach.

∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)

Stała C się w odejmowaniu skraca, więc tutaj możesz ją pominąć.

Przykład: ∫13 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3,296, ponieważ ln 1 = 0.

Podstawienie pomaga, gdy jedna funkcja siedzi wewnątrz drugiej. Dla e0,5x przyjmij u = 0,5x. Wynik to powyższa reguła: podziel przez 0,5.

∫03 e0,5x dx = 2e0,5x |03 = 2(e1,5 − 1) ≈ 6,963

Pole między dwiema krzywymi to całka z górnej krzywej minus dolna krzywa, między punktami, w których się spotykają.

Dla y = 2x i y = x² krzywe spotykają się w x = 0 i x = 2. Na tym przedziale 2x leży wyżej.

A = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3
Samosprawdzenie Krzywe y = x i y = x² spotykają się w x = 0 i x = 1. Między nimi y = x leży wyżej. Jakie jest zamknięte pole?
  1. 1/2
  2. 1/6
  3. 5/6
  4. −1/6

Odpowiedź: 1/6. ∫(x − x²) dx od 0 do 1 wynosi 1/2 − 1/3 = 1/6. Odjęcie górnej od dolnej daje −1/6, a dodanie obu całek daje 5/6.

4Metoda krok po kroku

  1. Zapisz funkcję jako sumę prostych składników. Pierwiastki i ułamki zapisz jako potęgi: √x = x1/2.
  2. Znajdź funkcję pierwotną każdego składnika wzorem na potęgę lub standardową całką.
  3. Sprawdź szybko, różniczkując w myślach.
  4. Dla całki oznaczonej policz osobno F(b) i F(a).
  5. Odejmij: F(b) − F(a). Uważaj na minusy, gdy a jest ujemne.

Dla pola między krzywymi najpierw rozwiąż f(x) = g(x), aby znaleźć granice, potem całkuj górną minus dolną.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Oblicz I = ∫02 (3x² + 2x + 1) dx.

1

Całkuj składnik po składniku

3x² daje 3x³/3 = x³. 2x daje 2x²/2 = x². Stała 1 daje x.

F(x) = x³ + x² + x
2

Sprawdź przez różniczkowanie

F′(x) = 3x² + 2x + 1

To funkcja wyjściowa, więc F jest poprawna.

3

Wartość na górnej granicy

F(2) = 8 + 4 + 2 = 14
4

Wartość na dolnej granicy

F(0) = 0 + 0 + 0 = 0
5

Odejmij

I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14
xy214

Całka to zacieniowane pole pod krzywą między x = 0 i x = 2.

Odpowiedź

I = 14

6Typowe błędy

  • Zapominanie o dzieleniu przez nowy wykładnik.
  • Różniczkowanie zamiast całkowania: obniżanie potęgi zamiast jej podnoszenia.
  • Zapisanie ∫1/x dx jako x⁰/0. Wzór na potęgę nie działa dla n = −1; użyj ln|x|.
  • Zapomnienie o minusach w F(a), gdy a jest ujemne, na przykład (−1)³ = −1.
  • Zapomnienie o + C w całce nieoznaczonej albo niezmienienie granic po podstawieniu.
Samosprawdzenie Ile wynosi ∫02 x³ dx?
  1. 12
  2. 16
  3. 4
  4. 8

Odpowiedź: 4. F(x) = x⁴/4, więc F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4. Zapomnienie o podzieleniu przez nową potęgę 4 daje 16.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: całka oznaczona z wielomianu, czasem z ujemnymi granicami. Użyj wzoru na potęgę i F(b) − F(a).
  • Średnie: funkcje wykładnicze, logarytmy i podstawienie, na przykład ∫e0,5x dx lub ∫3/x dx między dwiema granicami.
  • Trudne: pole zamknięte przez dwie krzywe, na przykład y = x² i y = 4x. Znajdź, gdzie się spotykają, potem całkuj górną minus dolną.

Szybka kontrola: pole zamknięte przez dwie krzywe jest zawsze dodatnie. Jeśli wychodzi liczba ujemna, odjąłeś w złej kolejności.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
xy3y = 0,5x

Obszar pod krzywą y = 0,5x od x = 0 do x = 3 obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły (stożka).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Oblicz V

Pokaż podpowiedzi
  1. Plasterek w punkcie x jest kołem o promieniu y = 0,5x.
  2. V = π∫₀3 (0,5x)² dx.
  3. = π·0,25·x³/3.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Metoda dysków

V = π∫₀3 0,25x² dx

Całkuj

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Odpowiedź

V = 7,069

Sprawdzenie: stożek o promieniu 1,5 i wysokości 3 ma (1/3)πr²h = 7,069.

Przykład 2Średni
xy2y = x·cos x

Oblicz I = ∫₀2 x·cos x dx (x w radianach).

∫₀2 x·cos x dx

Oblicz I

Pokaż podpowiedzi
  1. Weź u = x i dv = cos x dx.
  2. v = sin x.
  3. ∫x cos x dx = x sin x + cos x.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Całkowanie przez części: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, co wynika z reguły różniczkowania iloczynu. Za u wybierz czynnik, który po zróżniczkowaniu staje się prostszy (potęga x lub ln x), a za dv czynnik, który umiesz scałkować (eˣ, sin x, cos x albo x, gdy u = ln x). Dla całki oznaczonej oblicz u·v na obu granicach: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Czynnik x² wymaga dwóch rund.

Wybierz u i dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Funkcja pierwotna

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Granice

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Odpowiedź

I = 0,4024
Przykład 3Trudny
xyy = 2x2​y = x

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 2x2 i y = x.

y = 2x2y = x

Oblicz A

Pokaż podpowiedzi
  1. Najpierw znajdź punkty przecięcia krzywych: przyrównaj je.
  2. Przecinają się w x = 0 i x = 0,5. Pomiędzy nimi prosta leży nad parabolą.
  3. A = ∫00,5 (x − 2x2) dx.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Punkty przecięcia

2x2 = x → x = 0, x = 0,5

Całkuj górną minus dolną

A = [0,5x2 − 0,6667x3]00,5 = 0,04167

Odpowiedź

A = 0,04167

Pytania i odpowiedzi

Całki: co to jest?

Całka sumuje wielkość, która się zmienia. Najczytelniejszy obraz to pole pod wykresem.

Samochód jedzie z prędkością 20 m/s przez 5 s. Pokonuje 20 · 5 = 100 m. Na wykresie prędkości od czasu to pole prostokąta pod linią.

Całki: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
  2. Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla ex, 1/x, sin i cos.
  3. Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
  4. Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).
Całki: jakie błędy są najczęstsze?
  • Zapominanie o dzieleniu przez nowy wykładnik.
  • Niezmienienie granic całkowania po podstawieniu.
  • Zapominanie o + C w całce nieoznaczonej.
Całki: co ćwiczysz?
  • Łatwy: wielomiany
  • Średni: funkcje wykładnicze, logarytmy i podstawienie
  • Trudny: pola między krzywymi

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Pochodne

Potem przejdź do

Splot i układy liniowe stacjonarneTransformaty Laplace’aRachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychMetody numeryczneRównania różniczkowe

Kalkulatory

Kalkulator całek (oznaczonych i nieoznaczonych)

Przedmioty z tym tematem

Analiza matematyczna 1Matematyka dla inżynierówRównania różniczkoweMatematyka inżynierska 2Analiza matematyczna 2Zadania do ćwiczeń z AP Calculus

Więcej tematów: Matematyka i statystyka

GranicePochodneOptymalizacjaCiągi i szeregiRachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychRównania różniczkoweLiczby zespoloneMetody numeryczneMacierze i wyznacznikiWektory: iloczyn skalarny i wektorowyRachunek zdań i dowodyZbiory, relacje i funkcjeTeoria grafówTeoria liczb i arytmetyka modularnaPrawdopodobieństwoStatystyka opisowaRozkład normalnyPrzedziały ufnościTesty hipotez i przedziały ufnościRegresja liniowa i korelacjaTesty chi-kwadrat

Karta pracy do druku

Całki: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: CałkiĆwicz teraz: Całki5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.