Macierze i wyznaczniki: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: wyznacznik macierzy · macierz odwrotna · rachunek macierzowy

Darmowe zadania z tematu Macierze i wyznaczniki z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: wyznacznik 2×2, 3×3 i iloczyny, wartości własne i układy równań.

Darmowe zadanieŁatwy
A =9−6−8−5

Wyznacz wyznacznik det A pokazanej macierzy A.

A = [9 −6; −8 −5]

Dokładna odpowiedź: liczba całkowita, bez zaokrąglania.

Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Macierze i wyznacznikiĆwicz teraz: Macierze i wyznaczniki5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwywyznacznik 2×2
  2. Średni3×3 i iloczyny
  3. Trudnywartości własne i układy równań

Najważniejsze wzory

wyznacznik 2×2
det = ad − bc
Macierz odwrotna 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt
(AB)ij = Σk AikBkj
Wartości własne
det(A − λI) = 0
Wzory Cramera
xi = det(Ai)/det(A)

Naucz się tematu Macierze i wyznaczniki od zera

1Macierze i wyznacznik 2×2

Macierz to tabela liczb w wierszach i kolumnach. Macierz z 2 wierszami i 3 kolumnami nazywa się macierzą 2×3: najpierw wiersze, potem kolumny.

Inżynierowie używają macierzy, by zapisać wiele równań naraz. Układ 2x + y = 5 i x − y = 1 zapisuje się jako macierz [2 1; 1 −1] jego współczynników.

Macierz kwadratowa ma jedną szczególną liczbę, swój wyznacznik, zapisywany det A. Dla macierzy 2×2 to iloczyn jednej przekątnej minus iloczyn drugiej.

abcdA =+ad−bc
det A = a·d − b·c

Dla [3 1; 2 4] wyznacznik wynosi 3·4 − 1·2 = 10.

Jeśli det A = 0, macierz nie ma odwrotności, a układ równań nie ma jednego rozwiązania.

Samosprawdzenie Ile wynosi wyznacznik [4 2; 3 5]? (Wiersz 1 to 4 2, wiersz 2 to 3 5.)
  1. 14
  2. 26
  3. 9
  4. −14

Odpowiedź: 14. a·d − b·c = 4·5 − 2·3 = 20 − 6 = 14. Dodanie obu iloczynów daje 26, a wzięcie bc − ad daje −14.

2Wyznaczniki 3×3 i iloczyny

Dla macierzy 3×3 rozwiń wzdłuż pierwszego wiersza. Każdy element mnoży się przez jego minor: wyznacznik 2×2, który zostaje po skreśleniu wiersza i kolumny tego elementu.

det A = a11·M11 − a12·M12 + a13·M13

Znaki idą + − + wzdłuż pierwszego wiersza. Ten wzór znaków najłatwiej zapomnieć.

Iloczyn macierzy AB tworzy się z wierszy A i kolumn B. Element w wierszu i, kolumnie j to wiersz i macierzy A razy kolumna j macierzy B: pomnóż pary i dodaj.

[1 2; 3 4] · [5; 6] = [1·5 + 2·6; 3·5 + 4·6] = [17; 39]

Iloczyn istnieje tylko wtedy, gdy A ma tyle kolumn, ile B ma wierszy. Ogólnie AB to nie to samo co BA.

Samosprawdzenie A = [2 1; 0 3] i B = [1 4; 2 1]. Ile wynosi element w wierszu 1, kolumnie 2 macierzy AB?
  1. 13
  2. 4
  3. 6
  4. 9

Odpowiedź: 9. Wiersz 1 macierzy A to (2, 1), a kolumna 2 macierzy B to (4, 1): 2·4 + 1·1 = 9. Pomnożenie tylko odpowiadających sobie elementów daje 1·4 = 4, a 13 to element macierzy BA.

3Wartości własne i układy

Wartość własna λ macierzy A to liczba, dla której A·v = λ·v dla pewnego wektora v ≠ 0. Macierz tylko rozciąga ten wektor, nie obraca go.

Wartości własne znajdujesz z równania charakterystycznego. Tu I to macierz jednostkowa [1 0; 0 1].

det(A − λI) = 0

Dla macierzy 2×2 staje się to równaniem kwadratowym. Jego środkowy współczynnik to ślad a + d, a wyraz wolny to det A:

λ² − (a + d)·λ + (ad − bc) = 0

Dla [4 1; 2 3]: λ² − 7λ + 10 = 0, więc (λ − 2)(λ − 5) = 0 i wartości własne to 2 i 5.

Wzory Cramera rozwiązują układ za pomocą wyznaczników. Zastąp kolumnę i macierzy A prawą stroną, aby dostać Ai, wtedy xi = det Ai / det A.

Dla 2x + y = 5 i x − y = 1: det A = −3 i det Ax = 5·(−1) − 1·1 = −6, więc x = −6/−3 = 2.

Samosprawdzenie Ile wynosi większa wartość własna [2 1; 1 2]?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Odpowiedź: 3. λ² − 4λ + 3 = 0 daje (λ − 1)(λ − 3) = 0, więc wartości własne to 1 i 3. 4 to ślad, czyli suma wartości własnych, a nie jedna z nich.

4Metoda krok po kroku

  1. Przepisz macierz uważnie, z każdym minusem.
  2. Wyznacznik 2×2: ad − bc.
  3. Wyznacznik 3×3: dla każdego elementu pierwszego wiersza skreśl jego wiersz i kolumnę i znajdź minor 2×2.
  4. Połącz ze znakami + − +: a11M11 − a12M12 + a13M13.
  5. Wartości własne: zapisz λ² − (a + d)λ + det A = 0 i rozwiąż równanie kwadratowe.
  6. Kontrola: wiersz zer albo dwa równe wiersze zawsze dają det A = 0.

Wskazówka: rozwijaj wzdłuż wiersza lub kolumny z wieloma zerami. Każdy zerowy element oszczędza ci jeden minor.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Znajdź wyznacznik macierzy 3×3 A = [2 1 0; 1 3 1; 0 2 4].

1

Pierwszy minor

210131024A =

Skreśl wiersz 1 i kolumnę 1 elementu 2. Zostaje [3 1; 2 4].

M11 = 3·4 − 1·2 = 10
2

Drugi minor

210131024A =

Skreśl wiersz 1 i kolumnę 2 elementu 1. Zostaje [1 1; 0 4].

M12 = 1·4 − 1·0 = 4
3

Trzeci minor

Element a13 wynosi 0, więc jego składnik jest równy 0 niezależnie od minora. Możesz go pominąć.

4

Połącz ze znakami + − +

det A = 2·10 − 1·4 + 0 = 20 − 4 = 16
5

Sprawdź wynik

Dla macierzy 3×3 reguła Sarrusa daje tę samą wartość: trzy iloczyny na przekątnych „w dół” minus trzy iloczyny na przekątnych „w górę”.

(2·3·4 + 1·1·0 + 0·1·2) − (0·3·0 + 2·1·2 + 1·1·4) = 24 − 8 = 16
Odpowiedź

det A = 16

6Typowe błędy

  • Zapomnienie o minusie przy środkowym składniku w rozwinięciu 3×3.
  • Obliczanie bc − ad zamiast ad − bc.
  • Zgubienie minusa, gdy element jest ujemny: −2 · −3 to +6.
  • Mnożenie macierzy element po elemencie zamiast wiersz razy kolumna.
  • Branie śladu lub elementu przekątnej jako wartości własnej zamiast rozwiązania równania charakterystycznego.
Samosprawdzenie Ile wynosi wyznacznik [1 2 0; 3 1 0; 0 0 2]?
  1. 10
  2. 14
  3. −10
  4. −14

Odpowiedź: −10. det = 1·(1·2 − 0) − 2·(3·2 − 0) + 0 = 2 − 12 = −10. Użycie + dla środkowego składnika daje 2 + 12 = 14, najczęstszą pomyłkę.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: wyznacznik macierzy 2×2, często z ujemnymi elementami. Użyj ad − bc.
  • Średnie: wyznacznik 3×3 albo iloczyn macierzy. Rozwiń wzdłuż pierwszego wiersza ze znakami + − +.
  • Trudne: wartości własne macierzy 2×2 albo jedna niewiadoma układu 2×2 wzorami Cramera.

Szybka kontrola wartości własnych: muszą się sumować do śladu a + d i mnożyć do det A.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
A =1−8−10

Wyznacz wyznacznik det A pokazanej macierzy A.

A = [1 −8; −1 0]

Oblicz det A

Pokaż podpowiedzi
  1. Dla macierzy 2×2 det = ad − bc.
  2. a i d leżą na głównej przekątnej, b i c na drugiej.
  3. ad = 0.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.

Iloczyny przekątnych

ad − bc = 1·0 − (−8)·(−1) = 0 − 8 = −8

Odpowiedź

det A = −8
Przykład 2Średni
A =−153−5−1−3−513

Wyznacz wyznacznik det A pokazanej macierzy 3×3 A.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

Oblicz det A

Pokaż podpowiedzi
  1. Rozwiń względem pierwszego wiersza ze znakami + − +.
  2. Każdy składnik to element razy wyznacznik 2×2, który zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny.
  3. minory: 0, −30, −10.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.

Minory 2×2 pierwszego wiersza

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

Rozwinięcie Laplace'a

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

Odpowiedź

det A = 120
Przykład 3Trudny
A =−3−5−2−4b =19

Rozwiąż układ −3x − 5y = 1 i −2x − 4y = 9. Wyznacz x.

−3x − 5y = 1−2x − 4y = 9

Oblicz x

Pokaż podpowiedzi
  1. Wzory Cramera: x = det(Aₓ)/det(A), gdzie w Aₓ pierwszą kolumnę zastąpiono prawą stroną.
  2. det A = 2.
  3. det Aₓ = 41.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.

Wyznacznik macierzy współczynników

det A = (−3)·(−4) − (−5)·(−2) = 2

Zastąp kolumnę x

det Aₓ = 1·(−4) − (−5)·9 = 41
x = 41/2 = 20,5

Odpowiedź

x = 20,5
y = −12,5

Pytania i odpowiedzi

Macierze i wyznaczniki: co to jest?

Inżynierowie używają macierzy, by zapisać wiele równań naraz. Układ 2x + y = 5 i x − y = 1 zapisuje się jako macierz [2 1; 1 −1] jego współczynników.

Macierz kwadratowa ma jedną szczególną liczbę, swój wyznacznik, zapisywany det A. Dla macierzy 2×2 to iloczyn jednej przekątnej minus iloczyn drugiej.

Macierze i wyznaczniki: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.

Macierze i wyznaczniki: co ćwiczysz?
  • Łatwy: wyznacznik 2×2
  • Średni: 3×3 i iloczyny
  • Trudny: wartości własne i układy równań

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Kalkulatory

Kalkulator wyznacznika i macierzy odwrotnejKalkulator wartości i wektorów własnychRozwiązywanie układów równań liniowych (2×2 i 3×3)

Przedmioty z tym tematem

Matematyka dla inżynierówMatematyka inżynierska 2Metody numeryczne

Więcej tematów: Matematyka i statystyka

GranicePochodneOptymalizacjaCałkiCiągi i szeregiRachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychRównania różniczkoweLiczby zespoloneMetody numeryczneWektory: iloczyn skalarny i wektorowyRachunek zdań i dowodyZbiory, relacje i funkcjeTeoria grafówTeoria liczb i arytmetyka modularnaPrawdopodobieństwoStatystyka opisowaRozkład normalnyPrzedziały ufnościTesty hipotez i przedziały ufnościRegresja liniowa i korelacjaTesty chi-kwadrat

Karta pracy do druku

Macierze i wyznaczniki: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Macierze i wyznacznikiĆwicz teraz: Macierze i wyznaczniki5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.