Rozwiązywanie układów równań liniowych (2×2 i 3×3)

Wpisz swoje wartości. Odpowiedź i pełne rozwiązanie aktualizują się w trakcie pisania.

Wynik

x2
y3
z−1
Rząd macierzy współczynników3
Wyznacznik−1

Rozwiąż układ dwóch lub trzech równań liniowych. Wpisz równania tak, jak byś je zapisał, np. 2x + y − z = 8, albo wpisz macierz rozszerzoną. Kalkulator pokazuje każdą operację na wierszach eliminacji Gaussa–Jordana lub wyznaczniki wzorów Cramera, liczy na dokładnych ułamkach i rozpoznaje układy bez rozwiązań oraz z nieskończenie wieloma rozwiązaniami, które zapisuje z parametrem.

Rozwiązanie krok po kroku

Układ

2x + y − z = 8
−3x − y + 2z = −11
−2x + y + 2z = −3

Macierz rozszerzona

[ 2   1   −1  │  8 ]
[ −3   −1   2  │  −11 ]
[ −2   1   2  │  −3 ]

Słup 1 (x): element wiodący w wierszu 1

R1 → (1/2)·R1
R2 → R2 + 3·R1
R3 → R3 + 2·R1
[ 1   1/2   −1/2  │  4 ]
[ 0   1/2   1/2  │  1 ]
[ 0   2   1  │  5 ]

Słup 2 (y): element wiodący w wierszu 2

R2 → 2·R2
R1 → R1 − (1/2)·R2
R3 → R3 − 2·R2
[ 1   0   −1  │  3 ]
[ 0   1   1  │  2 ]
[ 0   0   −1  │  1 ]

Słup 3 (z): element wiodący w wierszu 3

R3 → (−1)·R3
R1 → R1 + R3
R2 → R2 − R3
[ 1   0   0  │  2 ]
[ 0   1   0  │  3 ]
[ 0   0   1  │  −1 ]

Odczytaj rozwiązanie

x = 2
y = 3
z = −1

Sprawdź w równaniach wyjściowych

2·2 + 1·3 + (−1)·(−1) = 8 ✓
(−3)·2 + (−1)·3 + 2·(−1) = −11 ✓
(−2)·2 + 1·3 + 2·(−1) = −3 ✓

Najważniejsze wzory

wyznacznik 2×2
det = ad − bc
Macierz odwrotna 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Wzory Cramera
xi = det(Ai)/det(A)

Jak rozwiązać układ równań liniowych metodą eliminacji

  1. Zapisz układ jako macierz rozszerzoną: jeden wiersz na równanie, współczynniki przy x, y i z oraz prawa strona za kreską.
  2. Wybierz element wiodący w pierwszej kolumnie (niezerowy, najlepiej 1) i w razie potrzeby zamień go do pierwszego wiersza.
  3. Podziel wiersz z elementem wiodącym przez ten element, a potem odejmuj jego wielokrotności od pozostałych wierszy, aby wyzerować resztę kolumny.
  4. Powtarzaj dla następnej kolumny i następnego wiersza, aż część ze współczynnikami będzie w zredukowanej postaci schodkowej.
  5. Odczytaj rozwiązanie. Wiersz 0 = c z c ≠ 0 oznacza brak rozwiązań; kolumna bez elementu wiodącego oznacza zmienną swobodną i nieskończenie wiele rozwiązań.
  6. Sprawdź, podstawiając rozwiązanie do równań wyjściowych.

Pytania i odpowiedzi

Kiedy użyć wzorów Cramera?

Dla małych układów o niezerowym wyznaczniku, zwłaszcza 2×2. Każda niewiadoma jest ilorazem wyznaczników: x = Dx/D. Dla większych układów lub gdy D = 0 szybsza jest eliminacja, która też pokazuje, czy nie ma rozwiązań, czy jest ich nieskończenie wiele.

Skąd wiem, że układ nie ma rozwiązań?

Gdy eliminacja daje wiersz ze wszystkimi współczynnikami równymi zero, ale z niezerową prawą stroną, np. 0 = 3. Geometrycznie proste lub płaszczyzny nie mają wspólnego punktu, na przykład dwie proste równoległe.

Co oznacza nieskończenie wiele rozwiązań?

Jedno równanie jest kombinacją pozostałych, więc niezależnych równań jest mniej niż niewiadomych. Rozwiązania tworzą prostą lub płaszczyznę, zapisaną z parametrem t: na przykład x = 2 − t, y = 1 + t, z = t.

Jak wpisać równania?

Oddziel równania średnikami i zapisz współczynnik przed każdą zmienną: 2x + 3y − z = 5; x − y = 1; 4y + z = 0. Dozwolone są ułamki, takie jak 1/2x, i liczby dziesiętne, a zmienna może występować po obu stronach.

Czym jest rząd?

Liczba elementów wiodących po eliminacji, czyli liczba równań niezależnych. Układ kwadratowy ma jedno rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy rząd równa się liczbie niewiadomych, czyli gdy wyznacznik jest niezerowy.

Przećwicz to sam

Macierze i wyznaczniki: zadania z rozwiązaniami krok po krokuJak rozwiązywać zadania: Macierze i wyznacznikiMacierze i wyznaczniki: karta pracy z odpowiedziami

Ćwicz: Macierze i wyznaczniki

Kalkulator daje odpowiedź. Na egzaminie potrzebujesz metody: ćwicz ją na nowych zadaniach z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Ćwicz za darmo: Macierze i wyznacznikiĆwicz teraz: Macierze i wyznacznikiPrzykłady z rozwiązaniami
</> Osadź

Bezpłatnie dla nauczycieli i szkół: wklej ten kod na stronę kursu, do LMS lub na swoją stronę. Studenci mogą korzystać z kalkulatora i rozwiązania krok po kroku bez konta.

Więcej kalkulatorów

Kalkulator wyniku z i prawdopodobieństwa w rozkładzie normalnymKalkulator przedziału ufnościKalkulator liczebności próbyKalkulator średniej, mediany i odchylenia standardowegoKalkulator regresji liniowejKalkulator testu zgodności chi-kwadratKalkulator wyznacznika i macierzy odwrotnejKalkulator rozkładu normalnegoKalkulator rozkładu dwumianowegoKalkulator rozkładu Poissona