Kalkulator rozkładu dwumianowego
Wpisz swoje wartości. Odpowiedź i pełne rozwiązanie aktualizują się w trakcie pisania.
Wynik
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0,02825 | 0,02825 |
| 1 | 0,1211 | 0,1493 |
| 2 | 0,2335 | 0,3828 |
| 3 | 0,2668 | 0,6496 |
| 4 | 0,2001 | 0,8497 |
| 5 | 0,1029 | 0,9527 |
| 6 | 0,03676 | 0,9894 |
| 7 | 0,009002 | 0,9984 |
| 8 | 0,001447 | 0,9999 |
| 9 | 0,0001378 | 1 |
| 10 | 5,905 × 10⁻⁶ | 1 |
Oblicz prawdopodobieństwa dwumianowe dla n niezależnych prób, z których każda kończy się sukcesem z prawdopodobieństwem p: dokładnie x sukcesów, co najwyżej x, co najmniej x, mniej niż x lub więcej niż x. Kalkulator pokazuje wzór dwumianowy, każdy dodawany wyraz (lub krótsze zdarzenie przeciwne), średnią np i odchylenie standardowe √(np(1 − p)). Dla n do 30 wyświetla też cały rozkład w tabeli.
Rozwiązanie krok po kroku
Wzór na prawdopodobieństwo w rozkładzie dwumianowym
Dodaj prawdopodobieństwa
Średnia i odchylenie standardowe
Najważniejsze wzory
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
Jak obliczać prawdopodobieństwa dwumianowe
- Sprawdź, czy sytuacja jest dwumianowa: stała liczba prób n, dwa wyniki w każdej próbie, to samo prawdopodobieństwo sukcesu p za każdym razem i próby niezależne.
- Dla dokładnie x sukcesów użyj P(X = x) = C(n, x)·pˣ·(1 − p)ⁿ⁻ˣ, gdzie C(n, x) = n!/(x!(n − x)!) liczy kolejności, w jakich mogą wystąpić sukcesy.
- Dla „co najwyżej x” dodaj P(X = 0) aż do P(X = x). Dla „co najmniej x” dodaj P(X = x) aż do P(X = n).
- Jeśli suma ma wiele wyrazów, użyj zdarzenia przeciwnego: P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1).
- Uważnie przekładaj słowa na zapis: „mniej niż 4” to X ≤ 3, a „więcej niż 4” to X ≥ 5.
Pytania i odpowiedzi
Jaka jest średnia i odchylenie standardowe rozkładu dwumianowego?
Średnia wynosi μ = np, a wariancja σ² = np(1 − p), więc odchylenie standardowe to σ = √(np(1 − p)). Dla n = 10 i p = 0,3 daje to μ = 3 i σ = 1,449.
Jaka jest różnica między „co najmniej” a „więcej niż”?
„Co najmniej 3” obejmuje 3: P(X ≥ 3). „Więcej niż 3” nie obejmuje: P(X > 3) = P(X ≥ 4). W rozkładzie dyskretnym to różne liczby, więc wybierz opcję zgodną z treścią pytania.
Dlaczego kalkulator czasem używa zdarzenia przeciwnego?
Ponieważ wszystkie prawdopodobieństwa sumują się do 1, P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1). Gdy zdarzenie przeciwne ma mniej wyrazów, ręcznie liczy się szybciej, a kroki pokazują tę drogę. Wynik jest taki sam.
Jak duże może być n?
Do 10 000 prób. Wyrazy są liczone przez logarytmy, więc duże silnie nie powodują przepełnienia, a prawdopodobieństwa pozostają dokładne.
Kiedy rozkład dwumianowy nie jest właściwym modelem?
Gdy próby nie są niezależne lub p się zmienia, na przykład przy losowaniu bez zwracania z małej grupy: wtedy obowiązuje rozkład hipergeometryczny. Gdy n jest duże, a p małe, dobrym przybliżeniem jest rozkład Poissona z λ = np.
Przećwicz to sam
Ćwicz: Prawdopodobieństwo
Kalkulator daje odpowiedź. Na egzaminie potrzebujesz metody: ćwicz ją na nowych zadaniach z podpowiedziami i rozwiązaniami.