Prawdopodobieństwo: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: rachunek prawdopodobieństwa · prawdopodobieństwo warunkowe · drzewko stochastyczne

Darmowe zadania z tematu Prawdopodobieństwo z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: wyniki jednakowo prawdopodobne, zliczanie i zdarzenie przeciwne, rozkład dwumianowy.

Darmowe zadanieŁatwy
suma ≥ 4kostka 1kostka 2112345672234567833456789445678910556789101166789101112P = ?

Rzucamy dwiema uczciwymi kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że suma wynosi co najmniej 4?

2 kostki≥ 4

Podaj prawdopodobieństwo jako liczbę dziesiętną od 0 do 1.

Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: PrawdopodobieństwoĆwicz teraz: Prawdopodobieństwo5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwywyniki jednakowo prawdopodobne
  2. Średnizliczanie i zdarzenie przeciwne
  3. Trudnyrozkład dwumianowy

Najważniejsze wzory

Zdarzenie przeciwne
P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Naucz się tematu Prawdopodobieństwo od zera

1Czym jest prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo to liczba od 0 do 1, która mówi, jak bardzo coś jest prawdopodobne. 0 oznacza, że nigdy się nie zdarza, a 1, że zdarza się zawsze.

Gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, policz je:

P(A) = liczba wyników sprzyjających / liczba wszystkich wyników

W worku jest 3 czerwone, 5 niebieskich i 2 zielone kule, razem 10. Jeśli losowo wyciągniesz jedną, P(niebieska) = 5/10 = 0,5.

Uczciwa kostka ma 6 ścianek, więc P(szóstka) = 1/6 ≈ 0,167 i P(parzysta) = 3/6 = 0,5.

Prawdopodobieństwo można też zapisać jako procent: 0,5 to 50%. Odpowiedzi na egzaminie zwykle są ułamkami dziesiętnymi od 0 do 1.

Samosprawdzenie W worku jest 2 czerwone, 8 niebieskich i 4 zielone kule. Losujesz jedną. Ile wynosi P(czerwona)?
  1. 2/12 ≈ 0,167
  2. 2/14 ≈ 0,143
  3. 2/8 = 0,25
  4. 2

Odpowiedź: 2/14 ≈ 0,143. Kul jest 2 + 8 + 4 = 14, a 2 są czerwone: 2/14 ≈ 0,143. Dzielenie przez 12 liczy tylko pozostałe kule, a całość musi obejmować także czerwone.

2Reguły łączenia zdarzeń

  • Dopełnienie: P(nie A) = 1 − P(A). Użyj go w zadaniach „co najmniej jeden”: P(co najmniej jeden) = 1 − P(żaden).
  • I, zdarzenia niezależne: mnóż. Dwie uczciwe monety dają P(dwa orły) = 0,5 · 0,5 = 0,25.
  • Lub: P(A lub B) = P(A) + P(B) − P(A i B). Odejmij część wspólną, aby nie policzyć jej dwa razy.

Losowanie bez zwracania zmienia zawartość worka. Po wyjęciu jednej czerwonej kuli jest o jedną czerwoną kulę mniej i o jedną kulę mniej w sumie.

Przy 5 czerwonych i 4 niebieskich kulach P(dwie czerwone) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278.

Aby policzyć grupy, w których kolejność nie ma znaczenia, użyj kombinacji. Liczba sposobów wyboru k elementów z n wynosi:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Tutaj n! = n · (n − 1) · … · 1. Zatem C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15 komisji po 4 osoby z 6.

Samosprawdzenie W worku jest 5 czerwonych i 4 niebieskie kule. Losujesz dwie bez zwracania pierwszej. Ile wynosi P(obie czerwone)?
  1. 0,139
  2. 0,278
  3. 0,309
  4. 0,556

Odpowiedź: 0,278. 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278. Użycie 5/9 · 5/9 ≈ 0,309 pomija to, że pierwszej czerwonej kuli nie ma już w worku.

3Rozkład dwumianowy

Niektóre zadania powtarzają tę samą próbę n razy: sprawdź 5 elementów, zgadnij 8 odpowiedzi, rzuć monetą 3 razy. Każda próba kończy się sukcesem z prawdopodobieństwem p, niezależnie od pozostałych.

Liczba sukcesów X ma wtedy rozkład dwumianowy:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
  • pᵏ: k sukcesów.
  • (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: n − k porażek.
  • C(n, k): liczba różnych kolejności, w których mogą wystąpić sukcesy.

Dla „co najwyżej jeden” dodaj P(X = 0) i P(X = 1). Dla „co najmniej jeden” użyj 1 − P(X = 0).

Samosprawdzenie Rzucasz uczciwą monetą 3 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo dokładnie 2 orłów?
  1. 0,125
  2. 0,25
  3. 0,375
  4. 0,667

Odpowiedź: 0,375. C(3, 2) · 0,5² · 0,5 = 3 · 0,125 = 0,375. Pominięcie C(3, 2) daje 0,125: to tylko jedna kolejność, np. OOR, ale liczą się też ROO i ORO.

4Metoda krok po kroku

  1. Zapisz, czym jest jeden wynik i ile jest wszystkich wyników.
  2. Przetłumacz słowa: „i” oznacza mnożenie, „lub” oznacza dodawanie (minus część wspólna), „nie” oznacza 1 − P.
  3. Dla „co najmniej jeden” najpierw oblicz dopełnienie „żaden”.
  4. Bez zwracania: zmniejszaj liczby po każdym losowaniu. Albo licz kombinacjami.
  5. Powtarzane niezależne próby ze stałym p: użyj wzoru dwumianowego.
  6. Sprawdź, czy odpowiedź leży między 0 a 1.

Drzewo probabilistyczne pomaga, gdy jest kilka kroków: mnóż wzdłuż gałęzi i dodaj potrzebne gałęzie.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

W worku jest 4 czerwone i 6 niebieskich kul. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że co najmniej jedna z nich jest czerwona?

1

Użyj dopełnienia

„Co najmniej jedna czerwona” ma trzy przypadki: czerwona–czerwona, czerwona–niebieska i niebieska–czerwona. Przeciwieństwo, „żadna czerwona”, ma tylko jeden przypadek: niebieska–niebieska.

P(co najmniej jedna czerwona) = 1 − P(obie niebieskie)
2

Pierwsze losowanie

Jest 6 niebieskich kul na 10.

P(pierwsza niebieska) = 6/10
3

Drugie losowanie

Jednej niebieskiej kuli już nie ma, więc zostaje 5 niebieskich kul na 9.

P(obie niebieskie) = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3
4/10R3/9R12/906/9B24/906/10B4/9R24/905/9B30/90

Na drzewie R to kula czerwona, a B niebieska. Pogrubiona gałąź to niebieska–niebieska.

4

Weź dopełnienie

P = 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 0,667
5

Sprawdź wynik

Policz kombinacjami: jest C(10, 2) = 45 par, a C(6, 2) = 15 z nich to niebieska–niebieska. 15/45 = 1/3, tyle samo co wcześniej.

Trzy pozostałe gałęzie drzewa sumują się do 12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3, także tyle samo.

Odpowiedź

P = 2/3 ≈ 0,667

6Typowe błędy

  • Dodawanie prawdopodobieństw dla „co najmniej jeden” zamiast użycia 1 − P(żaden).
  • Zapomnienie o zmniejszeniu liczb przy losowaniu bez zwracania.
  • Zapomnienie o czynniku C(n, k) we wzorze dwumianowym.
  • Dzielenie przez zły licznik wszystkich wyników, na przykład tylko pozostałe kolory.
  • Podanie prawdopodobieństwa powyżej 1 lub poniżej 0. To zawsze znak błędu.
Samosprawdzenie Rzucasz uczciwą kostką dwa razy. Jakie jest prawdopodobieństwo co najmniej jednej szóstki?
  1. 1/3 ≈ 0,333
  2. 1/36 ≈ 0,028
  3. 11/36 ≈ 0,306
  4. 25/36 ≈ 0,694

Odpowiedź: 11/36 ≈ 0,306. 1 − P(brak szóstki) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36. Dodanie 1/6 + 1/6 daje 1/3, co liczy dwa razy przypadek dwóch szóstek.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: jednakowo prawdopodobne wyniki. Jedno losowanie z worka kolorowych kul albo jeden rzut kostką.
  • Średnie: zliczanie i dopełnienia. Komisje z C(n, k) albo dwa losowania bez zwracania.
  • Trudne: rozkład dwumianowy. Dokładnie k sukcesów albo „co najwyżej jeden” jako P(X = 0) + P(X = 1).

Podaj odpowiedź jako ułamek dziesiętny od 0 do 1, zaokrąglony do trzech lub czterech miejsc po przecinku.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
xp(x)1?20,2530,1540,250,15

Tabela podaje rozkład prawdopodobieństwa X, ale brakuje jednego prawdopodobieństwa. Wyznacz P(X = 1).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): ?, 0,25, 0,15, 0,2, 0,15

Oblicz P(X = 1)

Pokaż podpowiedzi
  1. Wszystkie prawdopodobieństwa rozkładu sumują się do 1.
  2. Dodaj znane prawdopodobieństwa.
  3. P = 1 − 0,75.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Suma znanych prawdopodobieństw

0,25 + 0,15 + 0,2 + 0,15 = 0,75

Brakujące prawdopodobieństwo

P(X = 1) = 1 − 0,75 = 0,25

Odpowiedź

P(X = 1) = 0,25
Przykład 2Średni
xp(x)10,1520,3530,0540,350,15μ = 2,95

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,35, 0,05, 0,3, 0,15

Oblicz Var(X)

Pokaż podpowiedzi
  1. μ = Σx·p(x) = 2,95.
  2. Wtedy E(X²) = Σx²·p(x).
  3. Var(X) = E(X²) − μ².
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,3 + 5·0,15 = 2,95

Średnia kwadratów

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,3 + 25·0,15 = 10,55

Wariancja

Var(X) = 10,55 − 2,95² = 1,848

Odpowiedź

Var(X) = 1,848
Przykład 3Trudny
n = 12, p = 0,3: P(X = 5) = ?k0123456789101112

Test ma 12 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,3, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 5 poprawnych odpowiedzi?

n = 12p = 0,3k = 5

Oblicz P

Pokaż podpowiedzi
  1. To rozkład dwumianowy: stała liczba niezależnych prób, to samo prawdopodobieństwo sukcesu.
  2. P(X = k) = C(n, k)·pk·(1 − p)n−k.
  3. C(12, 5) = 792.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Wzór dwumianowy

P(X = 5) = 792·0,35·0,77 = 792·0,00243·0,08235 = 0,1585

Odpowiedź

P = 0,1585

Pytania i odpowiedzi

Prawdopodobieństwo: co to jest?

Prawdopodobieństwo to liczba od 0 do 1, która mówi, jak bardzo coś jest prawdopodobne. 0 oznacza, że nigdy się nie zdarza, a 1, że zdarza się zawsze.

Gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, policz je:

Prawdopodobieństwo: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Prawdopodobieństwo: jakie błędy są najczęstsze?
  • To suma znanych prawdopodobieństw. Brakujące to 1 minus ta suma.
  • Wartości nie są jednakowo prawdopodobne: skorzystaj z tego, że wszystkie prawdopodobieństwa sumują się do 1.
  • E(X²) to nie wariancja: odejmij μ².
Prawdopodobieństwo: co ćwiczysz?
  • Łatwy: wyniki jednakowo prawdopodobne
  • Średni: zliczanie i zdarzenie przeciwne
  • Trudny: rozkład dwumianowy

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Potem przejdź do

Statystyka w praktyce opartej na dowodach

Kalkulatory

Kalkulator rozkładu dwumianowegoKalkulator rozkładu PoissonaKalkulator permutacji i kombinacji (nPr i nCr)Kalkulator wartości oczekiwanej i wariancji

Przedmioty z tym tematem

Metodologia badań i statystyka w psychologiiWstęp do statystykiMatematyka dla inżynierówZadania do ćwiczeń z AP StatisticsĆwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I

Więcej tematów: Matematyka i statystyka

GranicePochodneOptymalizacjaCałkiCiągi i szeregiRachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychRównania różniczkoweLiczby zespoloneMetody numeryczneMacierze i wyznacznikiWektory: iloczyn skalarny i wektorowyRachunek zdań i dowodyZbiory, relacje i funkcjeTeoria grafówTeoria liczb i arytmetyka modularnaStatystyka opisowaRozkład normalnyPrzedziały ufnościTesty hipotez i przedziały ufnościRegresja liniowa i korelacjaTesty chi-kwadrat

Karta pracy do druku

Prawdopodobieństwo: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: PrawdopodobieństwoĆwicz teraz: Prawdopodobieństwo5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.