Równania różniczkowe: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: równania różniczkowe zwyczajne · równania różniczkowe liniowe

Darmowe zadania z tematu Równania różniczkowe z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: wzrost i zanik wykładniczy, Prawo stygnięcia Newtona, liniowe pierwszego rzędu.

Darmowe zadanieŁatwy
ty1

Układ masa–sprężyna–tłumik opisuje równanie y″ + 4,8y′ + 4y = 0. Porównaj je z y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 i wyznacz współczynnik tłumienia ζ.

y″ + 4,8y′ + 4y = 0
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Równania różniczkoweĆwicz teraz: Równania różniczkowe5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwywzrost i zanik wykładniczy
  2. ŚredniPrawo stygnięcia Newtona
  3. Trudnyliniowe pierwszego rzędu

Najważniejsze wzory

Wzrost/zanik wykładniczy
dy/dt = ky → y = y0ekt
Okres połowicznego rozpadu
k = ln 2 / t½
Prawo stygnięcia Newtona
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Czynnik całkujący
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem
dm/dt = r·c − (r/V)·m

Naucz się tematu Równania różniczkowe od zera

Wcześniej: Pochodne, Całki

1Czym jest równanie różniczkowe

Równanie różniczkowe wiąże wielkość z jej własną szybkością zmian. Opisuje, jak coś się zmienia, a nie czym jest.

Bakterie się dzielą, więc większa kolonia rośnie szybciej. Szybkość wzrostu jest proporcjonalna do liczby komórek N:

dN/dt = k · N

Tu dN/dt to pochodna N względem czasu t, a k to stała szybkości. Przy k = 0,4 h⁻¹ i N = 1000 komórek kolonia rośnie w tej chwili o 400 komórek na godzinę.

Rozwiązanie równania oznacza znalezienie samej funkcji N(t). Potrzebujesz też wartości początkowej, takiej jak N(0) = 200. To warunek początkowy.

Samosprawdzenie Populacja spełnia dN/dt = 0,2 · N. W tej chwili N = 500. Jak szybko rośnie?
  1. 0,2 na godzinę
  2. 100 na godzinę
  3. 2500 na godzinę
  4. 500 na godzinę

Odpowiedź: 100 na godzinę. Podstaw liczby do równania: dN/dt = 0,2 · 500 = 100. Dzielenie 500 przez 0,2 daje 2500, co używa k w złą stronę.

2Wzrost i zanik wykładniczy

Równanie dy/dt = k·y zawsze ma to samo rozwiązanie, funkcję wykładniczą:

y(t) = y0 · ekt

Tu y0 to wartość przy t = 0. Dodatnie k oznacza wzrost. Dla zaniku równanie to dy/dt = −k·y, a rozwiązanie to y = y0e−kt.

Rozpad promieniotwórczy podaje się często przez okres półtrwania t½: czas, po którym zostaje połowa substancji. Stała szybkości wynika z niego:

k = ln 2 / t½

Aby znaleźć czas, weź logarytm naturalny obu stron:

t = ln(y / y0) / k

Na przykład 200 komórek rosnących z k = 0,4 h⁻¹ osiąga 1000 komórek po t = ln(5)/0,4 ≈ 4,02 h.

Samosprawdzenie Substancja ma okres półtrwania 10 dni. Zaczynasz od 80 mg. Ile zostaje po 20 dniach?
  1. 0 mg
  2. 20 mg
  3. 40 mg
  4. 60 mg

Odpowiedź: 20 mg. 20 dni to dwa okresy półtrwania: 80 → 40 → 20 mg. 0 mg bierze się z myślenia, że dwie połowy dają całość; ilość za każdym razem zmniejsza się o połowę.

3Stygnięcie i równania liniowe

Prawo stygnięcia Newtona: gorący przedmiot stygnie szybciej, gdy jest dużo cieplejszy od pomieszczenia. Przy temperaturze pomieszczenia Ta:

dT/dt = −k · (T − Ta) ⇒ T(t) = Ta + (T0 − Ta) · e−kt

Różnica T − Ta zanika wykładniczo, więc temperatura zmierza do temperatury pomieszczenia i nigdy nie spada poniżej niej.

Aby znaleźć k z jednego pomiaru, podstaw znane wartości i weź ln: k = −ln[(T1 − Ta)/(T0 − Ta)] / t1.

Równanie liniowe pierwszego rzędu ma postać y′ + p(x)·y = q(x). Pomnóż je przez czynnik całkujący μ:

μ = e∫p dx, (μ·y)′ = μ·q

Potem scałkuj obie strony i podziel przez μ. Dla p = 2/x, μ = e2 ln x = x².

Samosprawdzenie Herbatę o temperaturze 90 °C zostawiono w pokoju o temperaturze 20 °C. Do jakiej temperatury zbliża się po bardzo długim czasie?
  1. 0 °C
  2. 20 °C
  3. 55 °C
  4. 90 °C

Odpowiedź: 20 °C. Składnik (T0 − Ta)e−kt dąży do 0, więc T zbliża się do Ta = 20 °C. 0 °C byłoby odpowiedzią, gdybyś zapomniał o temperaturze pomieszczenia.

4Metoda krok po kroku

  1. Rozpoznaj typ: dy/dt = ky (wzrost lub zanik), stygnięcie Newtona albo y′ + p(x)y = q(x).
  2. Zapisz standardowe rozwiązanie dla tego typu.
  3. Użyj podanych danych, aby znaleźć stałe: y0 z wartości początkowej, k z okresu półtrwania lub drugiego pomiaru.
  4. Odpowiedz na pytanie: podstaw czas, aby znaleźć wartość, albo użyj ln, aby znaleźć czas.
  5. Sprawdź jednostki k (h⁻¹, min⁻¹) z jednostkami t.

Dla równania liniowego: znajdź μ, scałkuj (μy)′ = μq, dodaj stałą C, potem użyj warunku początkowego, aby znaleźć C.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Znacznik promieniotwórczy ma okres półtrwania 8 dni. Próbka zawiera na początku 60 mg. Rozpad spełnia dm/dt = −k·m. Ile m zostaje po 12 dniach?

1

Rozpoznaj typ

To zanik wykładniczy, więc rozwiązanie ma postać:

m(t) = m0 · e−kt, m0 = 60 mg
2

Znajdź k z okresu półtrwania

k = ln 2 / 8 = 0,6931 / 8 = 0,08664 doba⁻¹
3

Podstaw czas

k · t = 0,08664 · 12 = 1,0397
m = 60 · e−1,0397 = 60 · 0,3536 = 21,21 mg
4

Sprawdź wynik

12 dni to 1,5 okresu półtrwania. Po 8 dniach zostaje 30 mg, a po 16 dniach 15 mg, więc 21,2 mg leży pomiędzy nimi, jak należy się spodziewać.

60 · 0,51,5 = 21,21 mg
tm608301615247,51221,2
Odpowiedź

Po 12 dniach zostaje m ≈ 21,2 mg.

6Typowe błędy

  • W prawie stygnięcia Newtona zapomnienie o odjęciu i dodaniu z powrotem temperatury pomieszczenia Ta.
  • Użycie dodatniego wykładnika przy zaniku, przez co ilość rośnie zamiast maleć.
  • Użycie log10 zamiast logarytmu naturalnego ln.
  • Mieszanie jednostek czasu, na przykład k w min⁻¹ z t w godzinach.
  • Przy czynniku całkującym mnożenie przez μ tylko lewej strony.
Samosprawdzenie Część o temperaturze 80 °C stygnie w pokoju o temperaturze 20 °C. W pewnej chwili t, e−kt = 0,5. Jaka jest wtedy jej temperatura?
  1. 30 °C
  2. 40 °C
  3. 50 °C
  4. 60 °C

Odpowiedź: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0,5 = 20 + 30 = 50 °C. Bezpośrednie zmniejszenie 80 o połowę daje 40 °C, co pomija temperaturę pomieszczenia.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: wzrost i zanik wykładniczy. Znajdź ilość po pewnym czasie albo czas do osiągnięcia ilości, często z okresu półtrwania.
  • Średnie: prawo stygnięcia Newtona. Użyj jednego pomiaru, aby znaleźć k, potem znajdź temperaturę lub czas.
  • Trudne: równanie liniowe pierwszego rzędu, takie jak y′ + 2y/x = 3 z y(1) = 1. Użyj czynnika całkującego i znajdź y dla innego x.

Szybka kontrola: odpowiedzi dla zaniku i stygnięcia muszą leżeć między wartością początkową a końcową (0 lub temperaturą pomieszczenia).

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
rr² + br + c?

Dla równania y″ + 4y′ + 3y = 0 wyznacz pierwiastek r równania charakterystycznego, który leży najbliżej zera. Określa on, jak wolno zanika rozwiązanie.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Oblicz r

Pokaż podpowiedzi
  1. Podstaw y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Rozłóż na czynniki lub użyj wzoru na pierwiastki równania kwadratowego.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = ert: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·er₁t + B·er₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·ert (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Równanie charakterystyczne

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Pierwiastki

r = −1, r = −3
najbliższy zeru: r = −1

Odpowiedź

r = −1

Rozwiązanie ogólne to y = A·e−1t + B·e−3t.

Przykład 2Średni
t (min)T (°C)5Ta​73 °C50 °C

Filiżankę kawy o temperaturze 81 °C zostawiono w pokoju o temperaturze 21 °C. Po 5 min jej temperatura wynosi 73 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Po jakim czasie od początku, t, osiągnie 50 °C?

T0 = 81 °CTa = 21 °CT(5) = 73 °CT = 50 °C

Oblicz t (min)

Pokaż podpowiedzi
  1. Najpierw wyznacz k z pomiaru w chwili t = 5 min.
  2. k = ln(60/52)/5 = 0,02862 min⁻¹.
  3. t = ln((T₀ − Tₐ)/(T − Tₐ))/k.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·ekt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Stała stygnięcia

k = ln(60/52)/5 = 0,02862 min⁻¹

Czas do osiągnięcia celu

t = ln(60/29)/0,02862 = 25,4 min

Odpowiedź

t = 25,4 min
Przykład 3Trudny
ty1y(1) = ?

Rozwiąż y′ + y = 4e−2t z y(0) = 4. Wyznacz y(1).

y′ + y = 4e−2ty(0) = 4

Oblicz y(1)

Pokaż podpowiedzi
  1. Czynnik całkujący to μ = et.
  2. (ety)′ = 4e−t → ety = 4/(−1)·e−t + C.
  3. y = −4·e−2t + C·e−t. Użyj y(0), aby wyznaczyć C.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·ekt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Czynnik całkujący

μ = et
(ety)′ = 4e−t

Rozwiązanie ogólne

y = 4/(−1)·e−2t + C·e−t = −4·e−2t + C·e−t

Warunek początkowy

4 = −4 + C → C = 8

Oblicz

y(1) = −4·0,1353 + 8·0,3679 = 2,402

Odpowiedź

y(1) = 2,402

Pytania i odpowiedzi

Równania różniczkowe: co to jest?

Bakterie się dzielą, więc większa kolonia rośnie szybciej. Szybkość wzrostu jest proporcjonalna do liczby komórek N:

Tu dN/dt to pochodna N względem czasu t, a k to stała szybkości. Przy k = 0,4 h⁻¹ i N = 1000 komórek kolonia rośnie w tej chwili o 400 komórek na godzinę.

Równania różniczkowe: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = ert: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·er₁t + B·er₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·ert (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Równania różniczkowe: jakie błędy są najczęstsze?
  • To drugi pierwiastek, dalej od zera; jego składnik zanika szybciej.
  • r² + br + c = 0 z dodatnimi b i c ma pierwiastki ujemne.
  • −b/2 to środek między pierwiastkami, a nie pierwiastek.
Równania różniczkowe: co ćwiczysz?
  • Łatwy: wzrost i zanik wykładniczy
  • Średni: Prawo stygnięcia Newtona
  • Trudny: liniowe pierwszego rzędu

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

PochodneCałki

Potem przejdź do

Transformaty Laplace’aMetody numeryczne

Kalkulatory

Kalkulator okresu połowicznego rozpadu i zaniku wykładniczego

Przedmioty z tym tematem

Matematyka dla inżynierówRównania różniczkoweMatematyka inżynierska 2Analiza matematyczna 2Metody numeryczneZadania do ćwiczeń z AP Calculus

Więcej tematów: Matematyka i statystyka

GranicePochodneOptymalizacjaCałkiCiągi i szeregiRachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychLiczby zespoloneMetody numeryczneMacierze i wyznacznikiWektory: iloczyn skalarny i wektorowyRachunek zdań i dowodyZbiory, relacje i funkcjeTeoria grafówTeoria liczb i arytmetyka modularnaPrawdopodobieństwoStatystyka opisowaRozkład normalnyPrzedziały ufnościTesty hipotez i przedziały ufnościRegresja liniowa i korelacjaTesty chi-kwadrat

Karta pracy do druku

Równania różniczkowe: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Równania różniczkoweĆwicz teraz: Równania różniczkowe5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.