Optymalizacja: zadania z rozwiązaniami krok po kroku
Darmowe zadania z tematu Optymalizacja z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: maksymalne pole lub objętość, minimalny koszt lub zużycie materiału, zysk i przychód.
Darmowe zadanieŁatwy
Rolnik ma 240 m ogrodzenia, aby ogrodzić prostokątne pole wzdłuż prostej rzeki. Wzdłuż rzeki ogrodzenie nie jest potrzebne. Wyznacz największe pole A, jakie można ogrodzić.
Optymalizacja oznacza znalezienie najlepszej wartości: największego pola przy danej długości ogrodzenia, najmniej blachy na puszkę albo największego zysku.
Wielkość, którą chcesz uczynić jak największą lub jak najmniejszą, zależy od jednej zmiennej, na przykład szerokości x pola.
Wyobraź sobie jej wykres. Na szczycie wzgórza i na dnie doliny wykres jest przez chwilę płaski. Nachylenie jest tam więc zerowe.
To kluczowa idea: w maksimum lub minimum pochodna wynosi 0. Najlepsze x znajdujesz, rozwiązując Q′(x) = 0.
Samosprawdzenie Pole A(x) pola uprawnego ma największą wartość przy x = 12. Ile wynosi A′(12)?
0
Liczba dodatnia
Liczba ujemna
Tyle samo co A(12)
Odpowiedź: 0. Na szczycie wykresu styczna jest pozioma, więc nachylenie wynosi 0. Dodatnie nachylenie oznaczałoby, że pole nadal rośnie.
2Cel i warunek ograniczający
Każde zadanie optymalizacyjne ma dwie części. Nazwij je, zanim cokolwiek obliczysz.
Cel: wielkość do zmaksymalizowania lub zminimalizowania, taka jak pole A albo koszt C.
Warunek ograniczający: stały warunek, taki jak łączna długość ogrodzenia albo objętość, jaką ma pomieścić puszka.
Cel ma zwykle dwie zmienne, na przykład A = x · y. Tego jeszcze nie możesz zróżniczkować.
Użyj warunku ograniczającego, aby zapisać y przez x. Wtedy cel zależy tylko od x.
Przykład: prostokąt o obwodzie 20 m ma 2x + 2y = 20, więc y = 10 − x i A(x) = x(10 − x) = 10x − x².
Najpierw narysuj szkic i zapisz na nim każdą długość. Większość błędów powstaje w warunku ograniczającym.
Samosprawdzenie Pole nad rzeką jest ogrodzone z trzech stron 40 m ogrodzenia: dwa boki o długości x i jeden bok y równoległy do rzeki. Jaki jest warunek ograniczający?
2x + 2y = 40
2x + y = 40
x + y = 40
x · y = 40
Odpowiedź: 2x + y = 40. Są trzy ogrodzenia: x, x i y. Strona przy rzece nie potrzebuje ogrodzenia. 2x + 2y byłoby pełnym prostokątem z czterema ogrodzonymi bokami.
3Zadania o kosztach i zysku
W zadaniach biznesowych celem jest zysk: przychód minus koszt.
P(q) = R(q) − C(q), R = p · q
Tu q to liczba sprzedanych sztuk, a p cena za sztukę. Jeśli cena zależy od q, najpierw wstaw ten wzór do R.
Przykład: cena to p = 60 − q, a koszt to C = 100 + 30q.
R = (60 − q)·q = 60q − q²
P = 60q − q² − 100 − 30q = −q² + 30q − 100
P′(q) = −2q + 30 = 0 ⇒ q = 15
Najlepsza cena to wtedy p = 60 − 15 = 45 €. Przeczytaj uważnie pytanie: może pytać o q, p albo o sam zysk P.
Samosprawdzenie Produkt sprzedaje się po 40 € za sztukę. Koszt q sztuk to C = 100 + 10q + 0,5q² euro. Jaka wielkość produkcji q daje największy zysk?
15
30
40
60
Odpowiedź: 30. P = 40q − 100 − 10q − 0,5q², więc P′ = 30 − q = 0 i q = 30. Zapomnienie o 2 przy różniczkowaniu 0,5q² daje 60.
4Metoda krok po kroku
Narysuj szkic i nazwij zmienne.
Zapisz cel Q (pole, koszt, zysk) i warunek ograniczający.
Użyj warunku ograniczającego, aby zapisać Q jako funkcję jednej zmiennej, Q(x).
Zróżniczkuj i rozwiąż Q′(x) = 0.
Sprawdź, czy to punkt właściwego rodzaju: Q″ < 0 dla maksimum, Q″ > 0 dla minimum.
Odpowiedz na zadane pytanie: x, drugi bok albo najlepszą wartość samego Q, z jednostkami.
5Przykład krok po kroku
Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.
Przykład krok po kroku
Rolnik ma 60 m ogrodzenia na prostokątne pole nad prostą rzeką. Przy rzece ogrodzenie nie jest potrzebne. Znajdź bok y równoległy do rzeki i największe pole A.
1
Szkic i warunek ograniczający
Rzeka jest u góry, więc ogrodzenia potrzebują tylko trzy boki: dwa boki x i jeden bok y.
2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x
2
Pole jako funkcja jednej zmiennej
A = x · y = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3
Przyrównaj pochodną do zera
A′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15 m
4
Czy to maksimum?
A″(x) = −4 < 0
Druga pochodna jest ujemna, więc x = 15 m daje największe pole.
5
Drugi bok i pole
y = 60 − 2 · 15 = 30 m
A = 15 · 30 = 450 m²
6
Sprawdź wynik
Spróbuj wartości po obu stronach. x = 14 daje 14 · 32 = 448 m², a x = 16 daje 16 · 28 = 448 m². Obie są mniejsze niż 450 m².
Odpowiedź
y = 30 m, a największe pole to A = 450 m².
6Typowe błędy
Podanie odpowiedzi dla niewłaściwej wielkości: pytanie dotyczy y, a ty podajesz x.
Różniczkowanie celu, który nadal ma dwie zmienne. Najpierw użyj warunku ograniczającego.
Zapisanie złego warunku ograniczającego, na przykład ogrodzenie także strony przy rzece.
Niesprawdzenie, czy punkt jest maksimum, czy minimum.
Zapomnienie o jednostkach albo podanie pola w m zamiast w m².
Samosprawdzenie Przy 40 m ogrodzenia nad rzeką (2x + y = 40) najlepsza szerokość to x = 10 m. Pytanie dotyczy boku y równoległego do rzeki. Co odpowiadasz?
10 m
20 m
200 m²
40 m
Odpowiedź: 20 m. y = 40 − 2 · 10 = 20 m. Odpowiedź 10 m podaje x zamiast y, a 200 m² to pole, a nie bok.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: maksymalne pole lub objętość, takie jak pole nad rzeką albo zagroda podzielona dodatkowym płotem.
Średnie: minimalny koszt lub materiał, taki jak zamknięta puszka (V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh) albo ogrodzenie z dwiema cenami za metr.
Trudne: zysk i przychód. Zbuduj P = R − C, rozwiąż P′(q) = 0, potem znajdź cenę lub maksymalny zysk.
Szybka kontrola: wstaw do Q wartość nieco większą i nieco mniejszą od twojej odpowiedzi. Obie powinny być gorsze.
Otwarte pudełko powstaje z kwadratowego arkusza tektury 18 cm × 18 cm przez wycięcie w czterech rogach jednakowych kwadratów o boku x i zagięcie boków do góry. Wyznacz największą możliwą objętość V.
18 cm × 18 cm
Oblicz V(cm³)
Pokaż podpowiedzi
Podstawa ma wymiary (18 − 2x) na (18 − 2x), a wysokość wynosi x.
V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x.
V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0. Sens ma tylko pierwiastek z 0 < x < 9.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.
Objętość jako funkcja x
V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x
Przyrównaj pochodną do zera
Większy pierwiastek daje bok podstawy ≤ 0, więc leży poza dopuszczalnym przedziałem.
V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0
x = 3 lub x = 9
x = 3 cm
Objętość
V = 3·12·12 = 432 cm³
Odpowiedź
V = 432 cm³
Przykład 2Średni
Zamknięta puszka walcowa (z wieczkiem i dnem) ma mieścić 400 cm³. Zużyty metal jest proporcjonalny do całkowitego pola powierzchni. Wyznacz najmniejsze możliwe pole powierzchni A.
V = 400 cm³
Oblicz A(cm²)
Pokaż podpowiedzi
Użyj objętości, aby wyeliminować h: πr²h = 400, więc h = 400/(πr²).
A(r) = 2πr² + 2·400/r.
A′(r) = 4πr − 2·400/r² = 0 → r³ = 400/(2π).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.
Pole jako funkcja r
h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r
Przyrównaj pochodną do zera
A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, więc jest to minimum.
4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm
Wysokość i pole
h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm
A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²
Odpowiedź
A = 300,5 cm²
Najtańsza zamknięta puszka jest tak wysoka, jak szeroka: h = 2r.
Przykład 3Trudny
Teatr sprzedaje 580 biletów na przedstawienie po €10 za sztukę. Badanie rynku pokazuje, że każdy wzrost ceny biletu o €1 oznacza 20 sprzedanych biletów mniej (a każda obniżka o €1 – 20 więcej). Wyznacz maksymalny przychód R z jednego przedstawienia.
Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.
Przychód jako funkcja ceny
n(p) = 780 − 20p
R(p) = 780p − 20p²
Przyrównaj pochodną do zera
R″(p) = −40 < 0, więc jest to maksimum.
p = 780/40 = €19,5
Maksymalny przychód
n = 780 − 20·19,5 = 390
R = 19,5·390 = €7605
Odpowiedź
R = €7605
Pytania i odpowiedzi
Optymalizacja: co to jest?
Optymalizacja oznacza znalezienie najlepszej wartości: największego pola przy danej długości ogrodzenia, najmniej blachy na puszkę albo największego zysku.
Wielkość, którą chcesz uczynić jak największą lub jak najmniejszą, zależy od jednej zmiennej, na przykład szerokości x pola.
Optymalizacja: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.
Optymalizacja: jakie błędy są najczęstsze?
Każdy bok podstawy traci kwadrat na obu końcach, więc boki podstawy to a − 2x i b − 2x, a nie a − x i b − x.
Puszka jest zamknięta: licz zarówno wieczko, jak i dno, A = 2πr² + 2πrh.
To przychód przy obecnej cenie. Najpierw wyznacz cenę, przy której R′(p) = 0.
Optymalizacja: co ćwiczysz?
Łatwy: maksymalne pole lub objętość
Średni: minimalny koszt lub zużycie materiału
Trudny: zysk i przychód
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.