Darmowe zadania z tematu Statystyka opisowa z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: średnia i mediana, odchylenie standardowe, rozkład normalny.
Odpowiedź: 21. Po posortowaniu: 4, 17, 20, 22, 29, 40. Dwie środkowe wartości to 20 i 22, więc mediana wynosi 21. Wartość 25,5 wynika z wzięcia środka nieposortowanej listy; 22 to średnia.
2Rozrzut: odchylenie standardowe
Dwa zbiory danych mogą mieć tę samą średnią, ale bardzo różny rozrzut. Odchylenie standardowe s mierzy, jak daleko od średniej leżą zwykle wartości.
Każda wartość ma odchylenie x − x̄. Odchylenia sumują się do zera, więc najpierw podnosisz je do kwadratu, dzięki czemu wszystkie są dodatnie.
s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )
To jest odchylenie standardowe z próby: dzielisz przez n − 1, a nie przez n. Kwadrat s nazywa się wariancją.
Dla 2, 4 i 6: średnia wynosi 4, odchylenia to −2, 0 i 2, kwadraty sumują się do 8, 8/2 = 4, a s = √4 = 2.
Samosprawdzenie Jakie jest odchylenie standardowe z próby dla 2, 4 i 6?
0
1,633
2
4
Odpowiedź: 2. Σ(x − x̄)² = 8, po podzieleniu przez n − 1 = 2 daje 4, a √4 = 2. Dzielenie przez n = 3 daje 1,633; 4 pomija pierwiastek, a 0 to suma odchyleń przed podniesieniem do kwadratu.
3Wyniki standaryzowane z i rozkład normalny
Wiele pomiarów, takich jak wzrost czy wyniki egzaminów, układa się w krzywą w kształcie dzwonu: rozkład normalny. Jego środkiem jest średnia μ, a szerokością odchylenie standardowe σ.
Wynik standaryzowany z mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej:
z = (x − μ) / σ
Przy μ = 70 i σ = 10 wynik 74 ma z = 4/10 = 0,4. Ujemne z oznacza, że wartość leży poniżej średniej.
Reguła 68–95–99,7: około 68% wartości leży w odległości 1σ od średniej, 95% w odległości 2σ i 99,7% w odległości 3σ.
Przy μ = 50 i σ = 5 wartość 60 ma z = 2. Około 95% leży między 40 a 60, więc około 2,5% leży powyżej 60. Tablica rozkładu z podaje dokładną wartość 0,0228.
Samosprawdzenie Wyniki testów IQ mają rozkład normalny z μ = 100 i σ = 15. Jaki procent ludzi uzyskuje wynik powyżej 115?
16%
32%
34%
68%
Odpowiedź: 16%. 115 jest o 1σ powyżej średniej. W zakresie 1σ mieści się 68%, więc 32% leży poza nim, dzieląc się po równo na oba ogony: 16% powyżej. Wartość 32% pomija podział na dwa ogony.
4Metoda krok po kroku
Zapisz dane w rzędzie i policz n.
Średnia: dodaj wszystko i podziel przez n.
Mediana: najpierw posortuj, potem weź wartość środkową lub średnią dwóch wartości środkowych.
Odchylenie standardowe: odejmij średnią od każdej wartości, podnieś do kwadratu, zsumuj, podziel przez n − 1 i wyciągnij pierwiastek.
Wynik standaryzowany: odejmij μ, podziel przez σ. Potem użyj reguły 68–95–99,7 lub tablicy rozkładu z, aby znaleźć odsetek.
Tabela z kolumnami x, x − x̄ i (x − x̄)² pozwala uporządkować obliczanie odchylenia standardowego.
5Przykład krok po kroku
Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.
Przykład krok po kroku
Wyznacz średnią, medianę i odchylenie standardowe z próby s dla danych: 4, 8, 6, 5, 7.
1
Średnia
x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 7) / 5 = 30 / 5 = 6
2
Mediana
Po posortowaniu: 4, 5, 6, 7, 8. Przy n = 5 wartością środkową jest trzecia.
mediana = 6
3
Odchylenia i kwadraty
Odejmij średnią od każdej wartości: −2, 2, 0, −1, 1. Sprawdź: sumują się do 0.
Podnieś je do kwadratu: 4, 4, 0, 1, 1.
Σ(x − x̄)² = 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 10
4
Podziel przez n − 1
s² = 10 / (5 − 1) = 2,5
5
Wyciągnij pierwiastek
s = √2,5 ≈ 1,58
Sprawdź: wartości leżą 0, 1 lub 2 od średniej, więc typowa odległość około 1,6 ma sens.
Odpowiedź
Średnia x̄ = 6, mediana 6 i s ≈ 1,58.
6Typowe błędy
Branie środka listy bez wcześniejszego posortowania.
Dzielenie przez n zamiast przez n − 1 przy odchyleniu standardowym z próby.
Zapomnienie o pierwiastku na końcu, co daje wariancję zamiast s.
Pomylenie znaku wyniku standaryzowanego: wartość poniżej średniej ma ujemne z.
Zapomnienie o dzieleniu przez σ w wyniku standaryzowanym.
Samosprawdzenie Wyniki egzaminu mają średnią 70 i odchylenie standardowe 10. Jaki jest wynik standaryzowany z dla wyniku 60?
1
6
−10
−1
Odpowiedź: −1. z = (60 − 70)/10 = −10/10 = −1. Wynik leży poniżej średniej, więc z jest ujemne. Wartość −10 pomija dzielenie przez σ.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: średnia lub mediana krótkiej listy danych.
Średnie: odchylenie standardowe z próby dla pięciu lub sześciu wartości. Dziel przez n − 1.
Trudne: rozkład normalny. Wyznacz wynik standaryzowany z albo odsetek wartości powyżej lub poniżej danej wartości.
Szybkie sprawdzenie: średnia i mediana leżą między najmniejszą a największą wartością, a s nigdy nie jest ujemne.
Uporządkuj wartości od najmniejszej do największej.
Przy nieparzystej liczbie wartości mediana to wartość środkowa.
uporządkowane: 3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Uporządkuj
3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40
Wartość środkowa
M = 18
Odpowiedź
M = 18
Przykład 2Średni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 26, 57, 34, 22, 53, 13, 59.
n = 7
Oblicz s
Pokaż podpowiedzi
Najpierw wyznacz średnią.
Podnieś do kwadratu każde odchylenie od średniej, dodaj je, podziel przez n − 1 i wyciągnij pierwiastek.
x̄ = 37,71.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 12. Jaka część P wartości leży poniżej 36?
μ = 60σ = 12x = 36
Oblicz P
Pokaż podpowiedzi
Najpierw przelicz na wynik z.
z = (36 − 60)/12 = −2.
Odczytaj Φ(z) z tablicy standardowego rozkładu normalnego.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Odpowiedź
P = 0,02275
Pytania i odpowiedzi
Statystyka opisowa: co to jest?
Statystyka opisowa podsumowuje listę liczb, zwaną danymi, kilkoma wartościami. Pierwsze pytanie brzmi: gdzie jest środek?
Symbol Σ oznacza „dodaj wszystko”, a x̄ czyta się „x z kreską”. Dla 3, 5 i 10 średnia wynosi 18/3 = 6.
Statystyka opisowa: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: co ćwiczysz?
Łatwy: średnia i mediana
Średni: odchylenie standardowe
Trudny: rozkład normalny
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.