Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: iloczyn skalarny · iloczyn wektorowy

Darmowe zadania z tematu Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: długość i składowe, iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy i momenty.

Darmowe zadanieŁatwy
xyza

Znajdź długość |a| wektora a = (6, −5, 9).

a = (6, −5, 9)
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyĆwicz teraz: Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwydługość i składowe
  2. Średniiloczyn skalarny
  3. Trudnyiloczyn wektorowy i momenty

Jak rozwiązywać zadania: Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

  1. Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
  2. Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
  3. Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Typowe błędy

  • Dodawanie długości zamiast składowych.
  • Zły znak środkowej składowej (y) iloczynu wektorowego.
  • Użycie położenia punktu zamiast r = A − O w momencie siły.
  • Obliczenie arctan bez sprawdzenia ćwiartki.

Najważniejsze wzory

Długość
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Wersor
û = a/|a|
Składowe z kąta
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Iloczyn skalarny
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b
a·b/|b|
Praca
W = F·d
Iloczyn wektorowy
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Pola
równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O
MO = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu
V = |a·(b × c)|

Naucz się tematu Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy od zera

1Czym jest wektor

Niektóre wielkości wymagają tylko liczby: masa 5 kg lub temperatura 20 °C. To skalary.

Inne wielkości wymagają też kierunku. Siła 40 N naciskająca w górę bardzo różni się od 40 N naciskających w bok. To wektory.

Wektor opisujesz jego składowymi: jak daleko sięga wzdłuż x, wzdłuż y i wzdłuż z. Wektor a = (4, 3, 0) sięga 4 jednostki wzdłuż x, 3 wzdłuż y i 0 wzdłuż z.

xyaax​ = 4ay​ = 3θO

Siły, przemieszczenia i prędkości są wektorami. Inżynierowie używają matematyki wektorów do dodawania sił, znajdowania kątów i obliczania momentów w trzech wymiarach.

Wektory dodaje się składowa po składowej: (1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4). Tak znajdujesz wypadkową kilku sił.

Samosprawdzenie Jaka jest długość wektora a = (3, 4, 0)?
  1. 1
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Odpowiedź: 5. Długość to √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5. Dodanie składowych (7) jest błędne, bo są prostopadłe, a 25 zapomina o pierwiastku.

2Długość, kierunek i składowe

Moduł |a| to długość wektora. To twierdzenie Pitagorasa w trzech wymiarach:

|a| = √(ax² + ay² + az²)

Wektor jednostkowy ma długość 1 i wskazuje ten sam kierunek. Dostajesz go, dzieląc każdą składową przez moduł:

û = a / |a|

Dla a = (0, 3, 4) moduł wynosi 5, więc û = (0, 0,6, 0,8). Sprawdzenie: 0,6² + 0,8² = 1.

Siłę w płaszczyźnie xy często podaje się jako wielkość F i kąt θ, mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej osi x. Jej składowe to:

Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ

Cosinus i sinus dają znaki automatycznie. Siła pod kątem 120° ma ujemną składową x, ponieważ cos 120° = −0,5.

Wracając od składowych do kąta, arctan(Ry/Rx) daje tylko wyniki między −90° a 90°. Jeśli Rx jest ujemne, dodaj 180°. Jeśli ujemne jest tylko Ry, dodaj 360°.

Samosprawdzenie Jaka jest składowa y wektora jednostkowego w kierunku a = (0, 3, 4)?
  1. 0,12
  2. 0,43
  3. 0,6
  4. 3

Odpowiedź: 0,6. Podziel przez moduł 5: 3/5 = 0,6. 3 zapomina podzielić, 0,12 dzieli przez |a|² = 25, a 0,43 dzieli przez sumę składowych (7).

3Iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy

Są dwa sposoby mnożenia dwóch wektorów. Iloczyn skalarny daje liczbę. Iloczyn wektorowy daje nowy wektor.

a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ

Tu θ to kąt między dwoma wektorami. Iloczyn skalarny mierzy, jak bardzo wektory wskazują w tę samą stronę. Jest zerowy, gdy są prostopadłe.

dFθ|F|·cos θ
  • Kąt: cos θ = a·b / (|a|·|b|).
  • Rzut skalarny a na b (część a wzdłuż b): a·b / |b|.
  • Praca wykonana przez stałą siłę na przemieszczeniu: W = F·d.
  • Dwa wektory są prostopadłe, gdy a·b = 0.

Iloczyn wektorowy a × b to wektor prostopadły do a i do b. Jego długość równa się polu równoległoboku rozpiętego przez oba wektory.

a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
aba × bA

Dla a = (1, 2, 0) i b = (3, 1, 0): a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5). Równoległobok ma pole 5, a trójkąt połowę tego, 2,5.

Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F działającej w punkcie A względem punktu O to M = r × F, gdzie r = A − O.

Samosprawdzenie Dla a = (2, 1, 0) i b = (1, 4, 0), ile wynosi składowa z iloczynu a × b?
  1. 6
  2. 7
  3. 9
  4. −7

Odpowiedź: 7. Składowa z = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7. −7 to b × a (zamieniona kolejność), 6 to iloczyn skalarny, a 9 dodaje oba iloczyny zamiast odejmować.

4Metoda krok po kroku

  1. Zapisz każdy wektor w składowych. Dla siły podanej wielkością i kątem użyj F·cos θ i F·sin θ.
  2. Jeśli zadanie podaje punkty, zbuduj z nich wektory: wektor od A do B to B − A.
  3. Zdecyduj, jakiego narzędzia potrzebujesz. Długości i kierunki: moduł i wektor jednostkowy. Kąty, rzuty i praca: iloczyn skalarny. Pola, wektory prostopadłe i momenty: iloczyn wektorowy.
  4. Najpierw zapisz wzór, potem wstawiaj liczby składowa po składowej. Zachowuj znaki w nawiasach.
  5. Sprawdź wynik: wektor jednostkowy ma długość 1, a × b jest prostopadłe do a (więc a·(a × b) = 0), a kąt między wektorami leży między 0° a 180°.

Dla wektora jednostkowego prostopadłego do dwóch wektorów weź n = a × b i podziel przez jego długość. Jeśli zadanie chce dodatniej składowej z, a twoja jest ujemna, zmień wszystkie znaki.

Objętość równoległościanu o krawędziach a, b i c to |a·(b × c)|: najpierw iloczyn wektorowy, potem skalarny.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Stała siła F = (6, 2, −3) N przesuwa przedmiot po linii prostej z punktu A(1, 0, 2) do punktu B(3, 4, 2). Współrzędne są w metrach. Znajdź pracę W wykonaną przez siłę i kąt θ między siłą a przemieszczeniem.

1

Zbuduj przemieszczenie

Przemieszczenie to wektor od A do B: odejmij początek od końca.

d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2

Praca z iloczynem skalarnym

Praca to iloczyn skalarny siły i przemieszczenia. Pomnóż odpowiadające sobie składowe i dodaj.

W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3

Dwa moduły

|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4,472 m
4

Kąt

dFθ|F|·cos θ

Użyj drugiej postaci iloczynu skalarnego, F·d = |F|·|d|·cos θ, i rozwiąż względem cos θ.

cos θ = 20 / (7 · 4,472) = 0,6389
θ = arccos 0,6389 ≈ 50,3°
5

Sprawdź wynik

Praca jest dodatnia, więc kąt musi być mniejszy niż 90°. Tak jest.

Część siły wzdłuż ruchu to |F|·cos θ = 7 · 0,6389 ≈ 4,47 N. Razy odległość 4,472 m daje znów 20 J.

Odpowiedź

W = 20 J i θ ≈ 50,3°.

6Typowe błędy

  • Dodawanie modułów zamiast składowych. Dwie siły 3 N i 4 N pod kątem prostym dają 5 N, a nie 7 N.
  • Użycie współrzędnych punktu zamiast r = A − O w momencie.
  • Zły znak środkowej składowej (y) iloczynu wektorowego. To azbx − axbz, a nie na odwrót.
  • Zamiana kolejności w iloczynie wektorowym. b × a wskazuje przeciwnie do a × b.
  • Branie arctan dla kierunku bez sprawdzenia, w której ćwiartce leży wektor.
  • Zapomnienie o ½ dla pola trójkąta: to połowa |AB × AC|.
Samosprawdzenie Siła F = (0, 10, 0) N działa w punkcie A(3, 0, 0) m. Jaka jest wielkość jej momentu względem O(1, 0, 0) m?
  1. 10 N·m
  2. 20 N·m
  3. 30 N·m
  4. 40 N·m

Odpowiedź: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m, więc M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m. Użycie samego punktu A jako r daje 30 N·m, A + O daje 40 N·m, a samo O daje 10 N·m.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: moduł i składowe. Długość wektora, jedna składowa wektora jednostkowego, składowa siły podanej wielkością i kątem albo wielkość lub kierunek wypadkowej dwóch sił.
  • Średnie: iloczyn skalarny. Iloczyn skalarny, kąt między dwoma wektorami, rzut skalarny, praca siły między dwoma punktami albo wartość k, dla której dwa wektory są prostopadłe.
  • Trudne: iloczyn wektorowy i momenty. Jedna składowa a × b, pole równoległoboku lub trójkąta, moment siły względem punktu, jednostkowy wektor normalny albo objętość prostopadłościanu z iloczynu mieszanego.

W pytaniu o prostopadłość przyjmij a·b = 0. Daje to jedno równanie liniowe z k.

Dla trójkąta o wierzchołkach A, B i C użyj wektorów krawędzi AB = B − A i AC = C − A. Pole to ½·|AB × AC|.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
xy135°F1​F2​

W punkcie na płaszczyźnie xy działają dwie siły: F₁ = 110 N pod kątem 0° i F₂ = 190 N pod kątem 135°, oba kąty mierzone przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej osi x. Znajdź kierunek φ ich wypadkowej, mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej osi x (od 0° do 360°).

F1 = 110 N, θ1 = 0°F2 = 190 N, θ2 = 135°

Oblicz φ (°)

Pokaż podpowiedzi
  1. Rozłóż każdą siłę na składowe x i y.
  2. Dodaj osobno składowe x i składowe y.
  3. Rₓ = −24,35 N, Ry = 134,4 N.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Vectors: a vector a = (ax, ay, az) has magnitude |a| = √(ax² + ay² + az²), and the unit vector in its direction is û = a/|a|. A vector of magnitude F at an angle θ measured anticlockwise from the positive x-axis has components Fx = F·cos θ and Fy = F·sin θ. Vectors add component by component.

Składowe wypadkowej

Rₓ = 110·cos 0° + 190·cos 135° = −24,35 N
Ry = 110·sin 0° + 190·sin 135° = 134,4 N

Kierunek

Rₓ jest ujemne, więc wypadkowa leży w drugiej lub trzeciej ćwiartce: dodaj 180° do kąta z kalkulatora.

arctan(Ry/Rₓ) = arctan(134,4/−24,35) = −79,73°
φ = 100,3°

Odpowiedź

φ = 100,3°
Przykład 2Średni
xyzab

Znajdź wartość k, dla której wektory a = (−4, −4, 0) i b = (k, 6, 4) są prostopadłe.

a = (−4, −4, 0)b = (k, 6, 4)

Oblicz k

Pokaż podpowiedzi
  1. Wektory prostopadłe mają iloczyn skalarny równy zero.
  2. Zapisz a·b = 0 z niewiadomą k i rozwiąż równanie liniowe.
  3. (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Iloczyn skalarny równa się zero

a·b = (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0
−24 + (−4)·k = 0

Wyznacz k

k = −(−24)/(−4) = −6

Odpowiedź

k = −6
Przykład 3Trudny
xyzABC

Znajdź pole A trójkąta o wierzchołkach A(−3, −4, −1), B(−4, 3, −3) i C(1, 4, −4). Współrzędne podano w metrach.

A(−3, −4, −1)B(−4, 3, −3)C(1, 4, −4)

Oblicz A (m²)

Pokaż podpowiedzi
  1. Utwórz dwa wektory krawędzi z tego samego wierzchołka: AB = B − A i AC = C − A.
  2. Pole wynosi ½·|AB × AC|.
  3. AB × AC = (−5, −11, −36).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Wektory krawędzi

AB = B − A = (−1, 7, −2)
AC = C − A = (4, 8, −3)

Iloczyn wektorowy

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 7·(−3) − (−2)·8 = −5
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−2)·4 − (−1)·(−3) = −11
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = (−1)·8 − 7·4 = −36
|AB × AC| = √((−5)² + (−11)² + (−36)²) = 37,97

Pole trójkąta

A = ½·37,97 = 18,99 m²

Odpowiedź

A = 18,99 m²

Pytania i odpowiedzi

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy: co to jest?

Niektóre wielkości wymagają tylko liczby: masa 5 kg lub temperatura 20 °C. To skalary.

Inne wielkości wymagają też kierunku. Siła 40 N naciskająca w górę bardzo różni się od 40 N naciskających w bok. To wektory.

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
  2. Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
  3. Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy: jakie błędy są najczęstsze?
  • Dodawanie długości zamiast składowych.
  • Zły znak środkowej składowej (y) iloczynu wektorowego.
  • Użycie położenia punktu zamiast r = A − O w momencie siły.
  • Obliczenie arctan bez sprawdzenia ćwiartki.
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy: co ćwiczysz?
  • Łatwy: długość i składowe
  • Średni: iloczyn skalarny
  • Trudny: iloczyn wektorowy i momenty

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Przedmioty z tym tematem

StatykaMatematyka dla inżynierówMatematyka inżynierska 2

Więcej tematów: Matematyka i statystyka

GranicePochodneOptymalizacjaCałkiCiągi i szeregiRachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychRównania różniczkoweLiczby zespoloneMetody numeryczneMacierze i wyznacznikiRachunek zdań i dowodyZbiory, relacje i funkcjeTeoria grafówTeoria liczb i arytmetyka modularnaPrawdopodobieństwoStatystyka opisowaRozkład normalnyPrzedziały ufnościTesty hipotez i przedziały ufnościRegresja liniowa i korelacjaTesty chi-kwadrat

Karta pracy do druku

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyĆwicz teraz: Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.