Testy chi-kwadrat: zadania z rozwiązaniami krok po kroku
Inaczej: test chi-kwadrat · test niezależności chi-kwadrat · test χ²
Darmowe zadania z tematu Testy chi-kwadrat z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: test zgodności, test niezależności, decyzja na podstawie wartości krytycznej.
Darmowe zadanieŁatwy
Producent cukierków deklaruje udziały kolorów podane w tabeli. Losowa próba 200 cukierków daje pokazane liczebności obserwowane. Oblicz statystykę testu zgodności chi-kwadrat χ² dla H₀: deklarowane udziały są prawidłowe.
Test chi-kwadrat (χ², czytaj „chi kwadrat”) porównuje liczebności. Pyta, czy liczebności, które obserwujesz, różnią się od oczekiwanych bardziej, niż wynikałoby z przypadku.
Przykład: rzucasz kostką 60 razy. Jeśli jest uczciwa, każda ściana powinna wypaść około 60 · 1/6 = 10 razy. To są liczebności oczekiwane E.
Obserwujesz 8, 12, 9, 11, 6 i 14. To są liczebności obserwowane O. Nigdy nie wynoszą dokładnie 10, nawet dla uczciwej kostki. Pytanie brzmi, czy odbiegają zbyt mocno.
Jak w każdym teście hipotez, H₀ mówi, że nie dzieje się nic szczególnego: kostka jest uczciwa albo dwie zmienne są niezależne.
Samosprawdzenie Kostką rzucono 120 razy, aby sprawdzić, czy jest uczciwa. Jaka jest liczebność oczekiwana dla każdej ściany?
1/6
120
20
6
Odpowiedź: 20. E = n · p = 120 · 1/6 = 20. Prawdopodobieństwo 1/6 nie jest liczebnością; trzeba je pomnożyć przez liczbę rzutów.
2Statystyka testowa
Dla każdej kategorii weź różnicę O − E, podnieś ją do kwadratu i podziel przez E. Potem zsumuj po wszystkich kategoriach:
χ² = Σ (O − E)² / E
Podniesienie do kwadratu sprawia, że każdy wyraz jest dodatni. Dzielenie przez E sprawia, że różnica 4 liczy się bardziej, gdy oczekiwano tylko 10, niż gdy oczekiwano 1000.
Liczba stopni swobody w tym teście zgodności wynosi df = k − 1, gdzie k to liczba kategorii. Sześć ścian daje df = 5.
Duże χ² oznacza, że dane źle pasują do H₀. Odrzuć H₀, jeśli χ² jest większe od wartości krytycznej z tablicy. Przy α = 0,05:
df 1: 3,841, df 2: 5,991, df 3: 7,815
df 4: 9,488, df 5: 11,070, df 6: 12,592
Dla kostki 4,2 jest poniżej 11,070, więc nie ma dowodów, że jest nieuczciwa.
Samosprawdzenie W jednej kategorii O = 14 i E = 10. Ile ta kategoria dodaje do χ²?
0,4
1,6
16
4
Odpowiedź: 1,6. (14 − 10)²/10 = 16/10 = 1,6. Pominięcie podnoszenia do kwadratu daje 0,4, a pominięcie dzielenia przez E daje 16.
3Test niezależności
Tablica kontyngencji zlicza przypadki według dwóch zmiennych jednocześnie, na przykład leczenia (wiersze) i wyniku (kolumny). H₀: obie zmienne są niezależne.
Jeśli są niezależne, liczebność oczekiwana w każdej komórce wynika z sum:
E = suma wiersza × suma kolumny / suma całkowita
Następnie χ² oblicza się tym samym wzorem co poprzednio, po wszystkich komórkach tablicy, bez sum brzegowych.
df = (r − 1)(c − 1)
Tu r to liczba wierszy, a c liczba kolumn, bez sum brzegowych. Tablica 2×2 ma df = 1.
Samosprawdzenie W tablicy o sumie całkowitej 120 komórka ma sumę wiersza 40 i sumę kolumny 30. Jaka jest jej liczebność oczekiwana?
10
1200
3
70
Odpowiedź: 10. E = 40 · 30 / 120 = 1200/120 = 10. Wartość 1200 pomija dzielenie przez sumę całkowitą.
4Metoda krok po kroku
Sformułuj H₀: deklarowane proporcje są poprawne (test zgodności) albo zmienne są niezależne.
Oblicz wszystkie liczebności oczekiwane: E = n · p lub suma wiersza × suma kolumny / suma całkowita.
Dla każdej komórki oblicz (O − E)²/E. Zsumuj je wszystkie, aby otrzymać χ².
Wyznacz df: k − 1 dla testu zgodności, (r − 1)(c − 1) dla niezależności.
Odczytaj wartość krytyczną dla tego df przy α = 0,05.
Odrzuć H₀, jeśli χ² jest większe od wartości krytycznej. Sformułuj wniosek słowami.
Sprawdź: liczebności oczekiwane w każdym wierszu i kolumnie sumują się do tych samych wartości co liczebności obserwowane.
5Przykład krok po kroku
Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.
Przykład krok po kroku
W badaniu 120 pacjentów otrzymuje nowy lek (wiersz A), a 100 placebo (wiersz B). Kolumna 1 zlicza pacjentów, u których nastąpiła poprawa, kolumna 2 tych, u których jej nie było. Sprawdź przy α = 0,05, czy wynik jest niezależny od leczenia.
1
Odczytaj tablicę
Sumy wierszy: 120 i 100. Sumy kolumn: 110 i 110. Suma całkowita: 220.
1,173 jest mniejsze od 3,841, więc χ² nie leży w obszarze odrzucenia. Nie odrzucaj H₀.
Odpowiedź
χ² ≈ 1,17 < 3,841: brak istotnych dowodów, że poprawa zależy od leczenia.
6Typowe błędy
Używanie procentów lub proporcji zamiast liczebności. χ² działa tylko na liczebnościach.
Dzielenie przez O zamiast przez E.
Włączanie do sumy wiersza lub kolumny z sumami brzegowymi.
Użycie złego df: dla tablicy jest to (r − 1)(c − 1), a nie liczba komórek minus jeden.
Odrzucanie H₀, gdy χ² jest mniejsze od wartości krytycznej. Tylko duże χ² jest dowodem przeciwko H₀.
Samosprawdzenie Test niezależności używa tablicy o 3 wierszach i 4 kolumnach (bez sum brzegowych). Ile ma stopni swobody?
11
12
5
6
Odpowiedź: 6. df = (3 − 1)(4 − 1) = 2 · 3 = 6. Wartość 11 to liczba komórek minus jeden, czyli reguła z testu zgodności błędnie zastosowana do tablicy.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: test zgodności. Liczebności ścian kostki lub kolorów cukierków wobec deklarowanych proporcji; oblicz χ².
Średnie: test niezależności. Oblicz liczebności oczekiwane z sum brzegowych, a potem χ², bez poprawki na ciągłość.
Trudne: decyzja na podstawie wartości krytycznej. Wyznacz df i wartość krytyczną χ²crit przy α = 0,05 z tablicy.
Szybkie sprawdzenie: χ² nigdy nie jest ujemne i równa się 0 tylko wtedy, gdy każda liczebność obserwowana jest równa oczekiwanej.
Kostką rzucono 300 razy, aby sprawdzić, czy jest uczciwa. Pokazano liczebności każdej ściany. Oblicz statystykę testu zgodności chi-kwadrat χ² dla H₀: każda ściana ma prawdopodobieństwo 1/6.
n = 300k = 6
Oblicz χ²
Pokaż podpowiedzi
Liczebności oczekiwane przy H₀: E = n·p dla każdej kategorii.
E = 50, 50, 50, 50, 50, 50.
Zsumuj (O − E)²/E po wszystkich kategoriach.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
df = 5. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 11,070, więc decyzja dotycząca H₀: brak podstaw do odrzucenia.
Przykład 2Średni
Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.
N = 1802 × 2
Oblicz χ²
Pokaż podpowiedzi
Liczebność oczekiwana każdej komórki: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna.
E = 32, 48 | 40, 60.
Zsumuj (O − E)²/E po wszystkich 4 komórkach.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.
Przykład 3Trudny
Test niezależności chi-kwadrat przeprowadza się na tabeli kontyngencji o 2 wierszach i 6 kolumnach (bez sum). Ile stopni swobody df ma test?
2 × 6
Oblicz df
Pokaż podpowiedzi
Stopnie swobody to liczba komórek, które mogą się swobodnie zmieniać, gdy sumy (i ewentualne estymowane parametry) są ustalone.
Test zgodności: k − 1, minus jeden za każdy estymowany parametr.
Niezależność: (r − 1)(c − 1).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Stopnie swobody
df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5
Odpowiedź
df = 5
Pytania i odpowiedzi
Testy chi-kwadrat: co to jest?
Test chi-kwadrat (χ², czytaj „chi kwadrat”) porównuje liczebności. Pyta, czy liczebności, które obserwujesz, różnią się od oczekiwanych bardziej, niż wynikałoby z przypadku.
Przykład: rzucasz kostką 60 razy. Jeśli jest uczciwa, każda ściana powinna wypaść około 60 · 1/6 = 10 razy. To są liczebności oczekiwane E.
Testy chi-kwadrat: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Testy chi-kwadrat: jakie błędy są najczęstsze?
Każdą kwadratową różnicę dziel przez liczebność oczekiwaną E, a nie przez obserwowaną O.
Każdą kwadratową różnicę podziel przez jej własną liczebność oczekiwaną E przed dodawaniem, a nie sumę przez n.
Liczebności oczekiwane wynikają z sum brzegowych, a nie z równego podziału sumy: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna.
Testy chi-kwadrat: co ćwiczysz?
Łatwy: test zgodności
Średni: test niezależności
Trudny: decyzja na podstawie wartości krytycznej
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.