Przedziały ufności: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: przedział ufności · estymacja przedziałowa

Darmowe zadania z tematu Przedziały ufności z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: przedział z, przedział t, liczebność próby.

Darmowe zadanieŁatwy
LU = ?p̂ = 55/100E90%

W sondażu wśród 100 losowo wybranych wyborców 55 popiera propozycję. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla frakcji zwolenników.

n = 100x = 5590%
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Przedziały ufnościĆwicz teraz: Przedziały ufności5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwyprzedział z
  2. Średniprzedział t
  3. Trudnyliczebność próby

Jak rozwiązywać zadania: Przedziały ufności

  1. Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
  2. Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
  3. Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
  4. Przedział: x̄ ± E.

Typowe błędy

  • Zapominanie o dzieleniu przez √n.
  • Użycie z, gdy próba jest mała, a σ nieznane.
  • Zaokrąglanie liczebności próby w dół zamiast w górę.

Najważniejsze wzory

σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up

Naucz się tematu Przedziały ufności od zera

Wcześniej: Rozkład normalny

1Czym jest przedział ufności

Chcesz poznać średnią μ całej populacji, na przykład średnią żywotność wszystkich baterii produkowanych przez fabrykę. Nie możesz przebadać ich wszystkich, więc badasz próbę n baterii.

Średnia z próby x̄ jest twoim najlepszym przybliżeniem μ, ale inna próba dałaby nieco inne x̄. Pojedyncza liczba ukrywa tę niepewność.

Przedział ufności podaje zamiast tego zakres: od x̄ minus margines do x̄ plus margines.

55x̄52,0657,94E = 2,94E = 2,94

95-procentowy przedział ufności jest budowany metodą, która obejmuje prawdziwe μ w 95% wszystkich prób. Wyższy poziom ufności daje szerszy przedział.

Samosprawdzenie Obliczasz 90-procentowy i 99-procentowy przedział ufności z tej samej próby. Który jest szerszy?
  1. Przedział 90%
  2. Przedział 99%
  3. Są tak samo szerokie
  4. To zależy od średniej z próby

Odpowiedź: Przedział 99%. Aby mieć większą pewność, że przedział zawiera μ, musi być szerszy. Wartość krytyczna dla 99%, 2,576, jest większa niż dla 90%, 1,645.

2Przedział z rozkładu z

Gdy odchylenie standardowe populacji σ jest znane, przedział wyraża się wzorem:

x̄ ± z · σ / √n

Wyraz σ/√n to błąd standardowy: jak bardzo x̄ zmienia się między próbami. Większa próba daje mniejszy błąd standardowy.

Wartość krytyczna z zależy od poziomu ufności. Naucz się tych trzech:

  • 90%: z = 1,645
  • 95%: z = 1,96
  • 99%: z = 2,576

Błąd maksymalny (margines błędu) wynosi E = z · σ/√n. Przedział biegnie od x̄ − E (dolna granica) do x̄ + E (górna granica).

Samosprawdzenie Próba 64 elementów ma średnią 55. Odchylenie standardowe populacji σ wynosi 12. Jaka jest górna granica 95-procentowego przedziału ufności?
  1. 55,37
  2. 57,47
  3. 57,94
  4. 78,52

Odpowiedź: 57,94. E = 1,96 · 12/√64 = 1,96 · 1,5 = 2,94, więc górna granica wynosi 57,94. Pominięcie √n daje 78,52, a 57,47 używa wartości dla 90%, 1,645.

3Przedział z rozkładu t i liczność próby

Zwykle σ nie jest znane. Wtedy używasz odchylenia standardowego z próby s, a wartość krytyczna pochodzi z rozkładu t:

x̄ ± t · s / √n, df = n − 1

Liczba stopni swobody df wynosi n − 1. Wartość t jest większa niż z, więc przedział jest szerszy: uwzględnia dodatkową niepewność s. Dla dużych n t zbliża się do z.

Przy 95%: t = 2,262 dla df = 9, t = 2,131 dla df = 15 i t = 2,045 dla df = 29.

Czasem trzeba zaplanować liczność próby: jak duże musi być n, aby błąd maksymalny wynosił co najwyżej E? Rozwiąż E = zσ/√n względem n:

n = (z · σ / E)²

Zawsze zaokrąglaj w górę do następnej liczby całkowitej. Zaokrąglenie w dół dałoby błąd nieco większy niż E.

Samosprawdzenie σ = 13. Jak duża musi być próba, aby 95-procentowy przedział miał błąd maksymalny co najwyżej 2?
  1. 13
  2. 162
  3. 163
  4. 650

Odpowiedź: 163. (1,96 · 13/2)² = 12,74² = 162,3, po zaokrągleniu w górę 163. Zaokrąglenie w dół do 162 daje błąd tuż powyżej 2, a 13 pomija podniesienie do kwadratu.

4Metoda krok po kroku

  1. Zapisz n, x̄ oraz σ lub s.
  2. Wybierz z (σ znane) lub t z df = n − 1 (znane tylko s).
  3. Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
  4. Oblicz błąd standardowy: σ/√n lub s/√n.
  5. Błąd maksymalny: E = wartość krytyczna × błąd standardowy.
  6. Przedział: od x̄ − E do x̄ + E. Podaj tę granicę, o którą pytają.

W zadaniu o liczność próby: n = (zσ/E)², zaokrąglone w górę.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Próba 16 elementów ma średnią 40 i odchylenie standardowe s = 6. Populacja jest w przybliżeniu normalna. Wyznacz 95-procentowy przedział ufności dla średniej.

1

z czy t?

Znane jest tylko odchylenie standardowe z próby s, a nie σ. Użyj więc t z df = n − 1 = 15.

t(15) = 2,131 at 95%
2

Błąd standardowy

s / √n = 6 / √16 = 6 / 4 = 1,5
3

Margines błędu

E = 2,131 · 1,5 = 3,197
4

Przedział

40 − 3,197 = 36,80, 40 + 3,197 = 43,20
40x̄36,8043,20E = 3,20E = 3,20
5

Sprawdź wynik

Dla z = 1,96 błąd wynosiłby 2,94. Przedział t jest nieco szerszy, tak jak powinien być, gdy σ jest nieznane.

Odpowiedź

95-procentowy przedział ufności to [36,80; 43,20].

6Typowe błędy

  • Zapominanie o dzieleniu przez √n.
  • Użycie z, gdy próba jest mała, a σ nieznane.
  • Użycie df = n zamiast df = n − 1 dla t.
  • Użycie wartości 1,645 dla 90% w przedziale 95%.
  • Zaokrąglanie liczebności próby w dół zamiast w górę.
Samosprawdzenie Próba n = 10 ma odchylenie standardowe s = 5. σ jest nieznane. Jakiej wartości krytycznej użyjesz dla 95-procentowego przedziału?
  1. t = 2,228 (df = 10)
  2. t = 2,262 (df = 9)
  3. z = 1,645
  4. z = 1,96

Odpowiedź: t = 2,262 (df = 9). σ jest nieznane, więc użyj t z df = n − 1 = 9. Użycie z pomija niepewność s, a df = 10 pomija odjęcie jedynki.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: przedział z. σ jest znane; wyznacz dolną lub górną granicę.
  • Średnie: przedział t. Dane jest tylko s; wartość t dla n − 1 stopni swobody jest podana lub pochodzi z tablicy.
  • Trudne: liczność próby. Wyznacz najmniejsze n dla danego błędu maksymalnego i zaokrąglij w górę.

Szybkie sprawdzenie: średnia z próby leży zawsze dokładnie pośrodku przedziału.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
n = 200, σ = 30LU = ?x̄ = 174,5E90%

Próba 200 pomiarów ma średnią 174,5. Odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 30. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 200x̄ = 174,5σ = 3090%

Oblicz górna granica

Pokaż podpowiedzi
  1. σ jest znane, więc użyj wartości krytycznej z.
  2. z = 1,645 (90%).
  3. E = z·σ/√n.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Margines błędu

E = 1,645·30/√200 = 3,49

Przedział

x̄ ± E = 174,5 ± 3,49 → [171, 178]

Odpowiedź

górna granica = 178
Przykład 2Średni
x̄E₁ = 7,895%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 100

Przedział ufności 95 % dla średniej, oparty na 50 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 7,8. Jaki będzie margines błędu E₂, jeśli to samo badanie obejmie 100 obserwacji?

95%n₁ = 50E₁ = 7,8n₂ = 100

Oblicz E₂

Pokaż podpowiedzi
  1. E = z·σ/√n, a σ pozostaje takie samo.
  2. E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂).
  3. z₁ = 1,96, z₂ = 1,96.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Stosunek marginesów

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/100) = 0,7071

Nowy margines

E₂ = 7,8·0,7071 = 5,515

Odpowiedź

E₂ = 5,515
Przykład 3Trudny
n = 21Lσ = ?s = 1,295%

Średnice 21 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 1,2 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 20 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 9,591, a 2,5 % powyżej 34,17.

n = 21s = 1,2 µmχ² = 9,591, 34,17

Oblicz σ (µm)

Pokaż podpowiedzi
  1. Dla populacji normalnej (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody.
  2. Przedział dla σ²: od (n − 1)s²/34,17 do (n − 1)s²/9,591. Wyciągnij pierwiastki, aby otrzymać σ.
  3. (n − 1)s² = 28,8.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 20·1,2² = 28,8

Granice dla σ²

28,8/34,17 = 0,8428
28,8/9,591 = 3,003

Granica dla σ

σ = √3,003 = 1,733 µm

Odpowiedź

σ = 1,733 µm

Przedział 95 % dla σ: [0,9181, 1,733] µm.

Pytania i odpowiedzi

Przedziały ufności: co to jest?

Chcesz poznać średnią μ całej populacji, na przykład średnią żywotność wszystkich baterii produkowanych przez fabrykę. Nie możesz przebadać ich wszystkich, więc badasz próbę n baterii.

Średnia z próby x̄ jest twoim najlepszym przybliżeniem μ, ale inna próba dałaby nieco inne x̄. Pojedyncza liczba ukrywa tę niepewność.

Przedziały ufności: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
  2. Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
  3. Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
  4. Przedział: x̄ ± E.
Przedziały ufności: jakie błędy są najczęstsze?
  • Zapominanie o dzieleniu przez √n.
  • Użycie z, gdy próba jest mała, a σ nieznane.
  • Zaokrąglanie liczebności próby w dół zamiast w górę.
Przedziały ufności: co ćwiczysz?
  • Łatwy: przedział z
  • Średni: przedział t
  • Trudny: liczebność próby

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Rozkład normalny

Potem przejdź do

Testy hipotez i przedziały ufności

Kalkulatory

Kalkulator przedziału ufnościKalkulator liczebności próby

Przedmioty z tym tematem

Metodologia badań i statystyka w psychologiiWstęp do statystykiStatystyka 2: Wnioskowanie statystyczneMedycyna oparta na dowodachZadania do ćwiczeń z AP StatisticsĆwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I

Więcej tematów: Matematyka i statystyka

GranicePochodneOptymalizacjaCałkiCiągi i szeregiRachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychRównania różniczkoweLiczby zespoloneMetody numeryczneMacierze i wyznacznikiWektory: iloczyn skalarny i wektorowyRachunek zdań i dowodyZbiory, relacje i funkcjeTeoria grafówTeoria liczb i arytmetyka modularnaPrawdopodobieństwoStatystyka opisowaRozkład normalnyTesty hipotez i przedziały ufnościRegresja liniowa i korelacjaTesty chi-kwadrat

Karta pracy do druku

Przedziały ufności: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Przedziały ufnościĆwicz teraz: Przedziały ufności5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.