Ciągi i szeregi: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Darmowe zadania z tematu Ciągi i szeregi z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: szeregi arytmetyczne i geometryczne, zbieżność i szeregi potęgowe, wielomiany Taylora i Maclaurina.

Darmowe zadanieŁatwy
kak​12345678

Znajdź sumę S8 pierwszych 8 wyrazów ciągu geometrycznego 5, 7,5, 11,25, …

a₁ = 5r = 1,5n = 8
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Ciągi i szeregiĆwicz teraz: Ciągi i szeregi5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwyszeregi arytmetyczne i geometryczne
  2. Średnizbieżność i szeregi potęgowe
  3. Trudnywielomiany Taylora i Maclaurina

Jak rozwiązywać zadania: Ciągi i szeregi

  1. Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
  2. Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
  3. Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
  4. Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Typowe błędy

  • Użycie n zamiast n − 1 w aₙ = a₁ + (n − 1)d lub a₁rⁿ⁻¹.
  • Użycie wzoru na sumę nieskończoną, gdy |r| ≥ 1, albo z błędnym pierwszym wyrazem.
  • Uznanie zbieżności tylko dlatego, że wyrazy dążą do 0.
  • Odwrócenie granicy z kryterium d’Alemberta: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, a nie jej odwrotność.
  • Pominięcie silni lub naprzemiennych znaków w wielomianie Taylora.

Najważniejsze wzory

Ciąg arytmetyczny
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Ciąg geometryczny
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Nieskończony szereg geometryczny
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Szereg p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Kryterium d’Alemberta
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Promień zbieżności
R = lim |ck/ck+1|
Wielomian Taylora
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Szereg Maclaurina
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Oszacowanie Lagrange’a
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Naucz się tematu Ciągi i szeregi od zera

Wcześniej: Granice, Pochodne

1Ciągi arytmetyczne i geometryczne

Ciąg to lista liczb a₁, a₂, a₃, …, a szereg to ich suma. Dwa rodzaje wracają na każdym egzaminie.

Ciąg arytmetyczny dodaje w każdym kroku tę samą różnicę d: 3, 7, 11, 15, … ma d = 4.

aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

Dla 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 i S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Zwróć uwagę na n − 1: od pierwszego do 20. wyrazu jest tylko 19 kroków.

Ciąg geometryczny mnoży w każdym kroku przez ten sam iloraz r: 2, 6, 18, … ma r = 3.

aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Samosprawdzenie Ile wynosi 10. wyraz ciągu 5, 8, 11, 14, …?
  1. 29
  2. 30
  3. 32
  4. 35

Odpowiedź: 32. d = 3, więc a₁₀ = 5 + 9·3 = 32. Użycie 10·3 zamiast 9·3 daje 35.

2Nieskończony szereg geometryczny

Dodawaj dalej wyrazy 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + … i suma zbliża się do 4, nigdy tej wartości nie przekraczając.

nSₙ4123456789233,5

Gdy |r| < 1, składnik rⁿ w Sₙ maleje do 0 i suma nieskończona istnieje:

S = a₁/(1 − r), tylko dla |r| < 1

Tutaj a₁ to pierwszy wyraz sumy. Dla Σk=2∞ 8·(1/2)ᵏ pierwszy wyraz to 8·(1/2)² = 2, więc S = 2/(1 − 1/2) = 4.

Gdy |r| ≥ 1, wyrazy nie maleją i szereg nie ma sumy: jest rozbieżny.

Samosprawdzenie Ile wynosi Σk=0∞ 3·(1/4)ᵏ?
  1. 12
  2. 2,4
  3. 3
  4. 4

Odpowiedź: 4. Pierwszy wyraz (k = 0) to 3, a r = 1/4, więc S = 3/(1 − 1/4) = 4. Użycie 1 + r w mianowniku daje 2,4.

3Czy szereg jest zbieżny?

Większość szeregów nie ma prostego wzoru na sumę, ale nadal można rozstrzygnąć, czy suma jest skończona. Stosuj kryteria w tej kolejności:

  1. Warunek konieczny: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny. Σ k/(k + 1) jest rozbieżny, bo jego wyrazy dążą do 1.
  2. Szeregi standardowe: Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1 (więc Σ1/k, szereg harmoniczny, jest rozbieżny). Σrᵏ jest zbieżny tylko dla |r| < 1.
  3. Porównanie: 1/(k² + 3) jest mniejsze niż 1/k², więc Σ1/(k² + 3) też jest zbieżny.
  4. Kryterium d’Alemberta: L = lim |ak+1/ak|. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie daje odpowiedzi. Używaj go dla silni i potęg o wykładniku k.
  5. Szereg naprzemienny: Σ(−1)ᵏ/k jest zbieżny, ponieważ wyrazy zmieniają znak na przemian i maleją do 0.

Przykład: dla Σ k/2ᵏ iloraz to ((k + 1)/k)·(1/2), który dąży do L = 1/2 < 1, więc szereg jest zbieżny.

Samosprawdzenie Który z tych szeregów jest rozbieżny?
  1. Σ (2/3)ᵏ
  2. Σ 1/k²
  3. Σ 1/√k
  4. Σ 3ᵏ/k!

Odpowiedź: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k1/2 to szereg p z p = 1/2 ≤ 1, więc jest rozbieżny. 1/k² ma p = 2, (2/3)ᵏ jest geometryczny z r < 1, a kryterium d’Alemberta daje L = 0 dla 3ᵏ/k!.

4Szeregi potęgowe i promień zbieżności

Szereg potęgowy Σ ck(x − x₀)ᵏ to wielomian bez końca. Jest zbieżny dla x dostatecznie bliskich środka x₀.

Kryterium d’Alemberta zastosowane do całego wyrazu daje promień zbieżności R: szereg jest zbieżny dla |x − x₀| < R i rozbieżny dla |x − x₀| > R.

R = lim |ck/ck+1|

Przykład: Σ xᵏ/(k·3ᵏ) ma ck/ck+1 = 3(k + 1)/k, co dąży do 3. Zatem R = 3, a szereg jest zbieżny dla −3 < x < 3.

W obu punktach końcowych kryterium nie daje odpowiedzi; sprawdź je osobno, jeśli pytanie dotyczy pełnego przedziału.

5wielomiany Taylora i Maclaurina

W pobliżu punktu a funkcja gładka wygląda jak wielomian. Wielomian Taylora stopnia n zgadza się z wartością i pierwszymi n pochodnymi w punkcie a:

Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!

Dla a = 0 nazywa się go wielomianem Maclaurina. Naucz się tych szeregów na pamięć:

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …
xeˣP₁P₂1

Im więcej wyrazów weźmiesz, tym dłużej wielomian pozostaje blisko funkcji.

Przykład krok po kroku

Przybliż e0,5 wielomianem Maclaurina stopnia 3 i oszacuj błąd.

1

Zapisz wielomian

P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6
2

Podstaw x = 0,5

P₃(0,5) = 1 + 0,5 + 0,125 + 0,020833 = 1,645833
3

Oszacowanie Lagrange’a

Błąd wynosi co najwyżej M·|x|⁴/4!, gdzie M to największa wartość czwartej pochodnej eᵗ między 0 a 0,5: M = e0,5 ≈ 1,6487.

|R₃| ≤ 1,6487·0,5⁴/24 = 0,0043
4

Porównaj

Kalkulator daje e0,5 = 1,648721, więc prawdziwy błąd wynosi 0,0029, czyli mieści się w oszacowaniu.

Odpowiedź

e0,5 ≈ 1,6458, z błędem co najwyżej 0,0043.

6Typowe błędy i pytania egzaminacyjne

  • Użycie n zamiast n − 1 kroków dla wyrazu n-tego.
  • Zapisanie a/(1 − r) z błędnym pierwszym wyrazem, gdy suma nie zaczyna się od k = 0.
  • Uznanie szeregu za zbieżny tylko dlatego, że jego wyrazy dążą do 0. Kontrprzykładem jest Σ1/k.
  • Pominięcie silni w wielomianie Taylora albo znaków minus w sin i cos.
  • Użycie |x|ⁿ/n! zamiast |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! w oszacowaniu błędu.

Łatwe: sumy ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Średnie: rozstrzyganie zbieżności, kryterium d’Alemberta i promień zbieżności. Trudne: wielomiany Taylora, ich współczynniki i oszacowania błędu.

Samosprawdzenie Ile wynosi współczynnik przy x³ w szeregu Maclaurina funkcji sin x?
  1. 1/3
  2. 1/6
  3. −1/3
  4. −1/6

Odpowiedź: −1/6. sin x = x − x³/3! + …, a 3! = 6, więc współczynnik to −1/6. Pominięcie znaku minus daje 1/6.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
kak​13579111315ε = 0,2

Ciąg geometryczny aₙ = 5·0,85ⁿ⁻¹ maleje. Znajdź pierwszy wskaźnik n, dla którego aₙ < 0,2.

a₁ = 5r = 0,85ε = 0,2

Oblicz n

Pokaż podpowiedzi
  1. Rozwiąż 5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 za pomocą logarytmów.
  2. ln 0,85 jest ujemny: dzielenie przez niego odwraca nierówność.
  3. n − 1 > ln(0,2/5)/ln 0,85 = 19,81
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Szeregi arytmetyczne i geometryczne: ciąg arytmetyczny dodaje w każdym kroku tę samą różnicę d, aₙ = a₁ + (n − 1)d, a jego suma to Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Ciąg geometryczny mnoży przez ten sam iloraz r, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, a Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). Gdy |r| < 1, wyrazy maleją dość szybko, by suma nieskończona istniała: S = a₁/(1 − r), gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.

Nierówność

5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 → 0,85ⁿ⁻¹ < 0,04

Logarytmy

(n − 1)·ln 0,85 < ln 0,04 → n − 1 > 19,81
n = 21

Sprawdzenie

a20 = 0,227997 ≥ 0,2
a21 = 0,193798 < 0,2

Odpowiedź

n = 21
Przykład 2Średni
kSn​12345678910S = ?

Znajdź sumę S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Oblicz S

Pokaż podpowiedzi
  1. Ułamki proste: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Wypisz kilka pierwszych wyrazów: większość się skraca (suma teleskopowa).
  3. Zostaje (12/3)·(1 + … + 1/3).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |ak+1/ak|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |ak|1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σck(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |ck/ck+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.

Ułamki proste

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Anuluj

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Odpowiedź

S = 7,333
Przykład 3Trudny

Funkcję f(x) = cos x przybliżono w x = 1 jej wielomianem Maclaurina stopnia n. Z oszacowaniem Lagrange’a M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! i M = 1 znajdź najmniejszy stopień n, który gwarantuje błąd poniżej 1 × 10⁻⁶.

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

Oblicz n

Pokaż podpowiedzi
  1. Wypróbuj n = 1, 2, 3, … i za każdym razem oblicz 1·1ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
  2. Silnia rośnie szybko, więc wystarczy kilka kroków.
  3. Zatrzymaj się na pierwszym n, dla którego oszacowanie jest poniżej 1 × 10⁻⁶.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.

n(n + 1)!oszacowanie011120,5260,16673240,0416741200,00833357200,001389650400,00019847403202,48 × 10⁻⁵83628802,756 × 10⁻⁶936288002,756 × 10⁻⁷

Oszacowania dla rosnących n

n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 2,756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

Najmniejszy stopień

n = 9

Odpowiedź

n = 9

Pytania i odpowiedzi

Ciągi i szeregi: co to jest?

Ciąg arytmetyczny dodaje w każdym kroku tę samą różnicę d: 3, 7, 11, 15, … ma d = 4.

Dla 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 i S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Zwróć uwagę na n − 1: od pierwszego do 20. wyrazu jest tylko 19 kroków.

Ciągi i szeregi: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
  2. Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
  3. Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
  4. Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Ciągi i szeregi: jakie błędy są najczęstsze?
  • Użycie n zamiast n − 1 w aₙ = a₁ + (n − 1)d lub a₁rⁿ⁻¹.
  • Użycie wzoru na sumę nieskończoną, gdy |r| ≥ 1, albo z błędnym pierwszym wyrazem.
  • Uznanie zbieżności tylko dlatego, że wyrazy dążą do 0.
  • Odwrócenie granicy z kryterium d’Alemberta: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, a nie jej odwrotność.
  • Pominięcie silni lub naprzemiennych znaków w wielomianie Taylora.
Ciągi i szeregi: co ćwiczysz?
  • Łatwy: szeregi arytmetyczne i geometryczne
  • Średni: zbieżność i szeregi potęgowe
  • Trudny: wielomiany Taylora i Maclaurina

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

GranicePochodne

Przedmioty z tym tematem

Matematyka inżynierska 2Analiza matematyczna 2Metody numeryczneZadania do ćwiczeń z AP Calculus

Więcej tematów: Matematyka i statystyka

GranicePochodneOptymalizacjaCałkiRachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychRównania różniczkoweLiczby zespoloneMetody numeryczneMacierze i wyznacznikiWektory: iloczyn skalarny i wektorowyRachunek zdań i dowodyZbiory, relacje i funkcjeTeoria grafówTeoria liczb i arytmetyka modularnaPrawdopodobieństwoStatystyka opisowaRozkład normalnyPrzedziały ufnościTesty hipotez i przedziały ufnościRegresja liniowa i korelacjaTesty chi-kwadrat

Karta pracy do druku

Ciągi i szeregi: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Ciągi i szeregiĆwicz teraz: Ciągi i szeregi5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.