Metody numeryczne: zadania i pytania egzaminacyjne

Obliczanie odpowiedzi, które nie mają wzoru: pierwiastki równań metodą bisekcji i Newtona–Raphsona, interpolacja w tabelach, całkowanie numeryczne wzorami trapezów i Simpsona oraz równania różniczkowe metodami Eulera, Heuna i Rungego–Kutty. Egzaminy wymagają kilku iteracji w tabeli i podania wielkości błędu.

Ćwicz ten przedmiot za darmo Ćwicz ten przedmiot Napisz egzamin próbny5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Zestaw na powtórkę (PDF)Wzory, kroki metod i zadania z pełnymi rozwiązaniami, gotowe do wydruku.

Tematy w tym przedmiocie

Wskazówki egzaminacyjne: Metody numeryczne

Zachowaj co najmniej sześć cyfr znaczących w każdej iteracji i zaokrąglaj tylko ostateczną odpowiedź.
Zapisz wagi wzoru całkowania pod tabelą wartości, zanim cokolwiek dodasz.
Użyj wielomianów Taylora do wyjaśnienia błędu: błąd metody Eulera jest proporcjonalny do h, wzoru Simpsona do h⁴.

Przykłady z rozwiązaniami

Metody numeryczneŁatwy

Metoda bisekcji zaczyna od przedziału o długości 4. Każdy krok połowi przedział. Ile co najmniej kroków n potrzeba, aby przedział był krótszy niż 0,0001?

b − a = 4ε = 0,0001

Oblicz n

Pokaż podpowiedzi

Po n krokach przedział ma długość (b − a)/2ⁿ.
Rozwiąż 4/2ⁿ < 0,0001, czyli 2ⁿ > 40000.
n > log₂(40000) = 15,29

Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Szukanie pierwiastków i interpolacja: bisekcja utrzymuje przedział [a, b], na którym f zmienia znak; w każdym kroku bierze środek c = (a + b)/2 i zachowuje tę połowę, na której znak nadal się zmienia, więc po n krokach przedział ma szerokość (b − a)/2ⁿ. Metoda Newtona–Raphsona idzie wzdłuż stycznej do osi: x_n+1 = x_n − f(x_n)/f′(x_n); w pobliżu pierwiastka jednokrotnego z grubsza podwaja liczbę poprawnych cyfr w każdym kroku. Interpolacja liniowa między dwoma punktami tabeli: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).

Warunek

4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000

Logarytm

n > ln(40000)/ln 2 = 15,29

n = 16

Sprawdzenie

2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536

Odpowiedź

n = 16

Ciągi i szeregiŚredni

Znajdź sumę S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 3)).

a_k = 12/(k(k + 3))

Oblicz S

Pokaż podpowiedzi

Ułamki proste: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
Wypisz kilka pierwszych wyrazów: większość się skraca (suma teleskopowa).
Zostaje (12/3)·(1 + … + 1/3).

Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σc_k(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |c_k/c_k+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.

Ułamki proste

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Anuluj

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Odpowiedź

S = 7,333

Jak wygląda ćwiczenie

„Ćwicz ten przedmiot” miesza zadania ze wszystkich jego tematów, jak na prawdziwym egzaminie.
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Egzaminy próbne są mierzone czasem i nie mają podpowiedzi, a na końcu dostajesz wynik i pełne omówienie.

Kalkulatory do tego kursu

Kalkulator wyznacznika i macierzy odwrotnej Kalkulator wartości i wektorów własnych Kalkulator okresu połowicznego rozpadu i zaniku wykładniczego Rozwiązywanie układów równań liniowych (2×2 i 3×3)

Powiązane przedmioty

Matematyka inżynierska 2 Matematyka dla inżynierów Równania różniczkowe Analiza matematyczna 2 Zadania do ćwiczeń z AP Calculus Analiza matematyczna 1 Wstęp do statystyki Statystyka 2: Wnioskowanie statystyczne

Ćwicz ten przedmiot za darmo Ćwicz ten przedmiot Napisz egzamin próbny5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.