Kalkulator wartości i wektorów własnych

Wpisz swoje wartości. Odpowiedź i pełne rozwiązanie aktualizują się w trakcie pisania.

Wynik

λ15
λ23
λ32
Wielomian charakterystycznyλ³ − 10λ² + 31λ − 30
Ślad10
Wyznacznik30
Wartość własnaKrotnośćWektor własnyJednostkowy wektor własny
51(2, 0, 1)(0,8944, 0, 0,4472)
31(1, 1, −1)(0,5774, 0,5774, −0,5774)
21(1, 0, −1)(0,7071, 0, −0,7071)

Znajdź wartości i wektory własne macierzy 2×2 lub 3×3. Kalkulator rozwija det(A − λI) do wielomianu charakterystycznego, rozwiązuje go, znajdując rzeczywiste lub zespolone wartości własne wraz z krotnością, i wyznacza wektory własne każdej rzeczywistej wartości własnej, rozwiązując (A − λI)v = 0. Każdy wektor własny jest sprawdzany przez obliczenie A·v, a dla powtarzających się wartości własnych kalkulator pokazuje, czy macierz można zdiagonalizować.

Rozwiązanie krok po kroku

Równanie charakterystyczne det(A − λI) = 0

det(A − λI) = (4 − λ)[(3 − λ)(3 − λ) − 0·(−1)] − 1[0(3 − λ) − 0·1] + 2[0·(−1) − (3 − λ)·1]
= −(λ³ − 10λ² + 31λ − 30)
tr A = 10, suma głównych minorów 2×2 = 31, det A = 30
λ³ − (tr A)λ² + (ΣM)λ − det A = λ³ − 10λ² + 31λ − 30 = 0

Wartości własne

(λ − 5)(λ − 3)(λ − 2) = 0
λ = 5, 3, 2
Sprawdzenie: Σλ = 10 = tr A

Wektor własny (λ = 5)

A − λI = [−1 1 2; 0 −2 0; 1 −1 −2]
(A − λI)·v = 0 → v = (2, 0, 1)
A·(2, 0, 1) = (10, 0, 5) = 5·(2, 0, 1) ✓

Wektor własny (λ = 3)

A − λI = [1 1 2; 0 0 0; 1 −1 0]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 1, −1)
A·(1, 1, −1) = (3, 3, −3) = 3·(1, 1, −1) ✓

Wektor własny (λ = 2)

A − λI = [2 1 2; 0 1 0; 1 −1 1]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 0, −1)
A·(1, 0, −1) = (2, 0, −2) = 2·(1, 0, −1) ✓

Najważniejsze wzory

Wartości własne
det(A − λI) = 0

Jak znaleźć wartości i wektory własne

  1. Odejmij λ od każdego wyrazu na przekątnej macierzy A, aby otrzymać A − λI.
  2. Przyrównaj wyznacznik do zera: det(A − λI) = 0. Dla macierzy 2×2 jest to λ² − (tr A)λ + det A = 0; dla macierzy 3×3 jest to równanie sześcienne.
  3. Rozwiąż równanie charakterystyczne. Sprawdzenie: wartości własne sumują się do śladu, a ich iloczyn jest równy wyznacznikowi.
  4. Dla każdej wartości własnej rozwiąż (A − λI)v = 0 metodą redukcji wierszy. Rozwiązania tworzą prostą (lub płaszczyznę); każdy niezerowy wektor z niej jest wektorem własnym.
  5. Sprawdź każdy wektor własny: A·v musi być równe λ·v.

Pytania i odpowiedzi

Jak wpisać macierz?

Wpisz wiersze oddzielone średnikami, a liczby w każdym wierszu oddzielone spacjami, na przykład 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3 dla macierzy 3×3. Dozwolone są ułamki dziesiętne i liczby ujemne.

Dlaczego macierz może mieć zespolone wartości własne?

Wielomian charakterystyczny może mieć pierwiastki zespolone, a dla macierzy rzeczywistej zawsze występują one w parach sprzężonych. Macierz obrotu 0 -1; 1 0 ma wartości własne ±i, ponieważ żaden rzeczywisty wektor nie zachowuje kierunku przy obrocie.

Co oznacza powtarzająca się wartość własna?

Pierwiastek wielomianu charakterystycznego o krotności 2 lub 3. Macierz może nadal mieć tyle niezależnych wektorów własnych, jak macierz jednostkowa, albo mniej. Gdy ma ich mniej, jest defektywna i nie można jej zdiagonalizować.

Czy wektor własny jest jednoznaczny?

Nie. Każda niezerowa wielokrotność wektora własnego jest też wektorem własnym. Kalkulator pokazuje prostą postać, w miarę możliwości z liczbami całkowitymi, oraz wektor jednostkowy o długości 1.

Do czego służą wartości własne?

Dają częstości drgań własnych układów drgających, naprężenia główne tensora naprężeń, stabilność układów równań różniczkowych oraz główne kierunki w analizie głównych składowych.

Przećwicz to sam

Macierze i wyznaczniki: zadania z rozwiązaniami krok po krokuJak rozwiązywać zadania: Macierze i wyznacznikiMacierze i wyznaczniki: karta pracy z odpowiedziami

Ćwicz: Macierze i wyznaczniki

Kalkulator daje odpowiedź. Na egzaminie potrzebujesz metody: ćwicz ją na nowych zadaniach z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Ćwicz za darmo: Macierze i wyznacznikiĆwicz teraz: Macierze i wyznacznikiPrzykłady z rozwiązaniami
</> Osadź

Bezpłatnie dla nauczycieli i szkół: wklej ten kod na stronę kursu, do LMS lub na swoją stronę. Studenci mogą korzystać z kalkulatora i rozwiązania krok po kroku bez konta.

Więcej kalkulatorów

Kalkulator wyniku z i prawdopodobieństwa w rozkładzie normalnymKalkulator przedziału ufnościKalkulator liczebności próbyKalkulator średniej, mediany i odchylenia standardowegoKalkulator regresji liniowejKalkulator testu zgodności chi-kwadratKalkulator wyznacznika i macierzy odwrotnejKalkulator rozkładu normalnegoKalkulator rozkładu dwumianowegoKalkulator rozkładu Poissona