Równania różniczkowe: zadania i pytania egzaminacyjne

Równania różniczkowe pierwszego rzędu i ich zastosowania: wzrost i zanik, prawo stygnięcia Newtona, zadania o mieszaninach i równania liniowe z czynnikiem całkującym, a także metody Eulera i Heuna dla równań bez rozwiązania w postaci wzoru.

Ćwicz ten przedmiot za darmo Ćwicz ten przedmiot Napisz egzamin próbny5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Zestaw na powtórkę (PDF)Wzory, kroki metod i zadania z pełnymi rozwiązaniami, gotowe do wydruku.

Tematy w tym przedmiocie

Wskazówki egzaminacyjne: Równania różniczkowe

Najpierw rozpoznaj typ: o zmiennych rozdzielonych, liniowe albo standardowy model, taki jak wzrost lub stygnięcie.
Na końcu użyj warunku początkowego, aby wyznaczyć stałą.
Sprawdź odpowiedź, podstawiając ją z powrotem do równania.

Przykłady z rozwiązaniami

Równania różniczkoweŁatwy

Dla równania y″ + 4y′ + 3y = 0 wyznacz pierwiastek r równania charakterystycznego, który leży najbliżej zera. Określa on, jak wolno zanika rozwiązanie.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Oblicz r

Pokaż podpowiedzi

Podstaw y = e^rt.
r² + 4r + 3 = 0.
Rozłóż na czynniki lub użyj wzoru na pierwiastki równania kwadratowego.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = e^rt: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·e^rt (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Równanie charakterystyczne

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Pierwiastki

r = −1, r = −3

najbliższy zeru: r = −1

Odpowiedź

r = −1

Rozwiązanie ogólne to y = A·e^−1t + B·e^−3t.

CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀² x·cos x dx (x w radianach).

∫₀² x·cos x dx

Oblicz I

Pokaż podpowiedzi

Weź u = x i dv = cos x dx.
v = sin x.
∫x cos x dx = x sin x + cos x.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Całkowanie przez części: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, co wynika z reguły różniczkowania iloczynu. Za u wybierz czynnik, który po zróżniczkowaniu staje się prostszy (potęga x lub ln x), a za dv czynnik, który umiesz scałkować (eˣ, sin x, cos x albo x, gdy u = ln x). Dla całki oznaczonej oblicz u·v na obu granicach: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Czynnik x² wymaga dwóch rund.

Wybierz u i dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Funkcja pierwotna

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Granice

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Odpowiedź

I = 0,4024

Jak wygląda ćwiczenie

„Ćwicz ten przedmiot” miesza zadania ze wszystkich jego tematów, jak na prawdziwym egzaminie.
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Egzaminy próbne są mierzone czasem i nie mają podpowiedzi, a na końcu dostajesz wynik i pełne omówienie.

Kalkulatory do tego kursu

Kalkulator okresu połowicznego rozpadu i zaniku wykładniczego Kalkulator pochodnych z krokami Kalkulator całek (oznaczonych i nieoznaczonych)

Powiązane przedmioty

Matematyka dla inżynierów Zadania do ćwiczeń z AP Calculus Analiza matematyczna 1 Matematyka inżynierska 2 Analiza matematyczna 2 Metody numeryczne Wstęp do statystyki Statystyka 2: Wnioskowanie statystyczne

Ćwicz ten przedmiot za darmo Ćwicz ten przedmiot Napisz egzamin próbny5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.