Kalkulator pochodnych z krokami

Wpisz swoje wartości. Odpowiedź i pełne rozwiązanie aktualizują się w trakcie pisania.

Wynik

f(x)x2·sin(3x) + ln(x)/x + e−x2
f′(x)2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x) + (1 − ln(x))/x2 − 2x·e−x2
f(1)0,509
f′(1)−2,423
Stycznay = −2,423x + 2,932

Zróżniczkuj funkcję zmiennej x i zobacz, jak stosowana jest każda reguła. Kalkulator obsługuje wielomiany, potęgi i pierwiastki, funkcje wykładnicze, logarytmy, funkcje trygonometryczne i cyklometryczne oraz łączy je regułami sumy, iloczynu, ilorazu i łańcuchową, na bieżąco upraszczając wynik. Znajdzie też drugą i trzecią pochodną oraz obliczy pochodną i styczną w punkcie.

Rozwiązanie krok po kroku

Odczytaj funkcję

f(x) = x2·sin(3x) + ln(x)/x + e−x2

Reguła sumy: różniczkuj wyraz po wyrazie

d/dx[x2·sin(3x)] = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x)
d/dx[ln(x)/x] = (1 − ln(x))/x2
d/dx[e−x2] = −2x·e−x2
f′(x) = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x) + (1 − ln(x))/x2 − 2x·e−x2

Reguła iloczynu

(uv)′ = u′v + uv′
u = x2, u′ = 2x
v = sin(3x), v′ = 3cos(3x)
d/dx[x2·sin(3x)] = 2x·sin(3x) + x2·(3cos(3x)) = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x)

Reguła łańcuchowa

d/dx[f(u)] = f′(u)·u′
u = 3x, u′ = 3
d/dx[sin(3x)] = cos(3x)·3 = 3cos(3x)

Pochodna ilorazu

(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
u = ln(x), u′ = 1/x
v = x, v′ = 1
d/dx[ln(x)/x] = ((1/x)·x − ln(x)·1)/x2 = (1 − ln(x))/x2

Reguła łańcuchowa

d/dx[eu] = eu·u′
u = −x2, u′ = −2x
d/dx[e−x2] = e−x2·(−2x) = −2x·e−x2

Użyte reguły różniczkowania

d/dx[f + g] = f′ + g′
d/dx[c·f] = c·f′
d/dx[xn] = n·xn−1
(uv)′ = u′v + uv′
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
d/dx[f(u)] = f′(u)·u′
d/dx[ex] = ex
sin(u) → cos(u)
ln(u) → 1/u

Wynik

f′(x) = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x) + (1 − ln(x))/x2 − 2x·e−x2

Oblicz w tym punkcie

f(1) = 0,509
f′(1) = −2,423
styczna: y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀) = 0,509 + (−2,423)·(x − 1)

Najważniejsze wzory

Pochodna potęgi
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu
(uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Jak znaleźć pochodną krok po kroku

  1. Rozbij sumę na składniki i zróżniczkuj każdy osobno (reguła sumy). Stałe czynniki zostają z przodu (reguła stałej krotności).
  2. Dla potęg użyj reguły potęgowej, d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹. Działa też dla pierwiastków i odwrotności: √x = x^(1/2) oraz 1/x² = x⁻².
  3. Dla iloczynu u·v użyj reguły iloczynu (uv)′ = u′v + uv′; dla ilorazu u/v użyj reguły ilorazu (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
  4. Dla funkcji złożonej, takiej jak sin(3x) lub e^(x²), użyj reguły łańcuchowej: zróżniczkuj funkcję zewnętrzną, zostaw wnętrze i pomnóż przez pochodną wnętrza.
  5. Uprość: zredukuj wyrazy podobne i skróć wspólne czynniki licznika i mianownika.

Pytania i odpowiedzi

Jak wpisać funkcję?

Użyj ^ dla potęg i nawiasów dla argumentów funkcji: x^3 - 2x, sin(3x), e^(2x), ln(x)/x, sqrt(x^2 + 1). Znak mnożenia można pominąć: 3x^2 sin(x) oznacza 3x²·sin(x). Zapisuj e^(2x) w nawiasie; e^2x jest odczytywane jako e²·x.

Jakie funkcje są obsługiwane?

sin, cos, tan, sec, csc, cot, arcsin, arccos, arctan, exp, ln, log (o podstawie 10) i sqrt, w dowolnych połączeniach +, −, ·, / i potęg, także takich jak x^x, gdzie podstawa i wykładnik zawierają x.

Czym różni się ln od log?

ln to logarytm naturalny o podstawie e, z d/dx[ln x] = 1/x. W tym kalkulatorze log oznacza logarytm dziesiętny, którego pochodna to 1/(x·ln 10).

Jak kalkulator znajduje styczną?

Wpisz punkt x₀. Styczna to y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀): przechodzi przez punkt na krzywej, a jej nachylenie to pochodna.

Czy odpowiedź jest zawsze w najprostszej postaci?

Wynik jest upraszczany przez redukcję wyrazów podobnych, łączenie potęg i skracanie wspólnych czynników, ale może być zapisany inaczej niż w podręczniku, np. cos(x)/sin(x) zamiast cot(x). Obie postacie są równe.

Przećwicz to sam

Pochodne: zadania z rozwiązaniami krok po krokuJak rozwiązywać zadania: PochodnePochodne: karta pracy z odpowiedziami

Ćwicz: Pochodne

Kalkulator daje odpowiedź. Na egzaminie potrzebujesz metody: ćwicz ją na nowych zadaniach z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Ćwicz za darmo: PochodneĆwicz teraz: PochodnePrzykłady z rozwiązaniami
</> Osadź

Bezpłatnie dla nauczycieli i szkół: wklej ten kod na stronę kursu, do LMS lub na swoją stronę. Studenci mogą korzystać z kalkulatora i rozwiązania krok po kroku bez konta.

Więcej kalkulatorów

Kalkulator wyniku z i prawdopodobieństwa w rozkładzie normalnymKalkulator przedziału ufnościKalkulator liczebności próbyKalkulator średniej, mediany i odchylenia standardowegoKalkulator regresji liniowejKalkulator testu zgodności chi-kwadratKalkulator wyznacznika i macierzy odwrotnejKalkulator rozkładu normalnegoKalkulator rozkładu dwumianowegoKalkulator rozkładu Poissona