Pochodne: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: pochodna funkcji · obliczanie pochodnych · rachunek różniczkowy

Darmowe zadania z tematu Pochodne z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: reguła potęgowa, reguły łańcuchowa i iloczynu, styczne i ekstrema.

Darmowe zadanieŁatwy
xyx = −2

Dana jest funkcja f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9. Wyznacz nachylenie wykresu w x = −2, czyli f′(−2).

f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9x = −2
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: PochodneĆwicz teraz: Pochodne5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwyreguła potęgowa
  2. Średnireguły łańcuchowa i iloczynu
  3. Trudnystyczne i ekstrema

Jak rozwiązywać zadania: Pochodne

  1. Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
  2. Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
  3. W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
  4. Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Typowe błędy

  • Zapominanie o pochodnej funkcji wewnętrznej w regule łańcuchowej.
  • Zła kolejność w regule ilorazu.
  • Traktowanie stałej jako czynnika iloczynu.

Najważniejsze wzory

Pochodna potęgi
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu
(uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Naucz się tematu Pochodne od zera

Wcześniej: Granice

1Czym jest pochodna

Pochodna mierzy, jak szybko coś się zmienia. Jeśli położenie samochodu zmienia się o 50 km na godzinę, jego prędkość wynosi 50 km/h: to szybkość zmiany położenia.

Na wykresie pochodna w danym punkcie to nachylenie krzywej w tym miejscu: jak stromo rośnie lub opada, gdy przybliżysz się bardzo mocno.

To nachylenie jest nachyleniem stycznej, czyli prostej, która w tym punkcie tylko dotyka krzywej.

xy(1, 1)m = 2

Dla y = x² styczna w punkcie x = 1 ma nachylenie 2. Zapisujemy f′(1) = 2 i czytamy „f prim od 1”.

  • Pochodna dodatnia: wykres rośnie.
  • Pochodna ujemna: wykres maleje.
  • Pochodna równa zero: wykres jest tam płaski, na przykład na szczycie lub na dnie.
Samosprawdzenie W punkcie, w którym wykres f opada, pochodna jest…
  1. dodatnia
  2. nieokreślona
  3. równa zero
  4. ujemna

Odpowiedź: ujemna. Pochodna jest nachyleniem. Wykres, który opada od lewej do prawej, ma nachylenie ujemne.

2Podstawowe reguły

Nie musisz za każdym razem korzystać z granic. Kilka reguł obejmuje większość funkcji.

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

To jest reguła potęgowa: zniż wykładnik na początek i zmniejsz wykładnik o jeden. Zatem (x³)′ = 3x² i (x)′ = 1.

  • Sama stała ma pochodną 0: nie zmienia się.
  • Stały czynnik zostaje: (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x².
  • W sumie liczysz pochodną każdego składnika osobno.

Naucz się też tych wzorów: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x i (cos x)′ = −sin x.

Samosprawdzenie Jaka jest pochodna funkcji 4x³ − 2x + 7?
  1. 12x² − 2 + 7
  2. 12x² − 2
  3. 12x³ − 2x
  4. 4x² − 2

Odpowiedź: 12x² − 2. Reguła potęgowa dla każdego składnika: (4x³)′ = 12x², (−2x)′ = −2, a stała 7 daje 0.

3Reguła iloczynu i reguła łańcuchowa

Dwie kolejne reguły obsługują funkcje zbudowane z innych funkcji.

Reguła iloczynu, dla dwóch funkcji pomnożonych przez siebie:

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

Reguła łańcuchowa, dla funkcji wewnątrz innej funkcji: weź pochodną funkcji zewnętrznej, zostaw wnętrze bez zmian, a potem pomnóż przez pochodną funkcji wewnętrznej.

[(3x + 1)⁴]′ = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³

Z tych dwóch reguł wynika reguła ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v².

Samosprawdzenie Jaka jest pochodna funkcji (2x + 5)³?
  1. (2x + 5)² · 2
  2. 3(2x + 5)²
  3. 6(2x + 5)²
  4. 6x(2x + 5)²

Odpowiedź: 6(2x + 5)². Funkcja zewnętrzna: 3(2x + 5)². Wewnętrzna: (2x + 5)′ = 2. Mnożymy: 3 · 2 · (2x + 5)² = 6(2x + 5)². Zapomnienie o wewnętrznej 2 to klasyczna pomyłka.

4Metoda krok po kroku

  1. Przyjrzyj się budowie: suma składników, iloczyn, iloraz albo funkcja wewnątrz funkcji.
  2. Najpierw zapisz pierwiastki i ułamki jako potęgi: √x = x1/2 i 1/x² = x−2.
  3. Stosuj reguły od zewnątrz do wewnątrz, jeden element po drugim.
  4. Uprość wynik.
  5. Jeśli pytają o wartość, podstaw liczbę dopiero na końcu.

Aby znaleźć szczyt lub dno wykresu (ekstremum), rozwiąż f′(x) = 0. Druga pochodna mówi, które to jest: f″ < 0 to maksimum, a f″ > 0 to minimum.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Niech f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. Znajdź nachylenie w x = 0 oraz lokalne maksimum i minimum.

1

Różniczkuj wyraz po wyrazie

Zastosuj regułę potęgową do każdego składnika. Stała 1 znika.

f′(x) = 3x² − 12x + 9
2

Nachylenie w x = 0

f′(0) = 3·0 − 12·0 + 9 = 9

Zatem styczna w x = 0 wznosi się o 9 jednostek na każdą jednostkę w prawo.

3

Przyrównaj pochodną do zera

3x² − 12x + 9 = 0 ⇒ x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 or x = 3
4

Które jest maksimum?

f″(x) = 6x − 12

f″(1) = −6 jest ujemne, więc x = 1 to maksimum. f″(3) = 6 jest dodatnie, więc x = 3 to minimum.

5

Znajdź wartości

f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5
f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
xy(1, 5)(3, 1)

Wykres to potwierdza: płasko w obu punktach, szczyt w (1, 5) i dno w (3, 1).

Odpowiedź

f′(0) = 9. Maksimum lokalne w (1, 5), minimum lokalne w (3, 1).

6Typowe błędy

  • Zapomnienie o pochodnej funkcji wewnętrznej w regule łańcuchowej.
  • Zapisanie (u · v)′ = u′ · v′. Reguła iloczynu ma dwa składniki.
  • Pomylenie kolejności w regule ilorazu: w liczniku jest u′v − uv′, z minusem.
  • Podstawienie liczby przed różniczkowaniem. Najpierw różniczkuj, potem podstawiaj.
  • Traktowanie wielokrotności stałej, takiej jak 5x³, jak iloczynu. To prostsze: 5 po prostu zostaje.
Samosprawdzenie Jaka jest pochodna funkcji √x?
  1. 1/(2√x)
  2. 1/√x
  3. 2√x
  4. ½x

Odpowiedź: 1/(2√x). √x = x1/2, więc pochodna wynosi ½x−1/2 = 1/(2√x). Zapisanie pierwiastka najpierw jako potęgi bardzo to ułatwia.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: wielomian. Użyj reguły potęgowej i znajdź nachylenie dla danego x.
  • Średnie: reguła łańcuchowa lub iloczynu, na przykład (2x + 5)⁵ albo x²·e−x, obliczona w punkcie.
  • Trudne: styczne i ekstrema. Rozwiąż f′(x) = 0 i rozstrzygnij, który punkt jest maksimum.

Szybka kontrola w zadaniach o nachyleniu: wyobraź sobie wykres. Jeśli tam rośnie, odpowiedź powinna być dodatnia.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
xyx = 1

Dana jest funkcja f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7. Wyznacz nachylenie wykresu w x = 1, czyli f′(1).

f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7x = 1

Oblicz f′(1)

Pokaż podpowiedzi
  1. Różniczkuj wyraz po wyrazie z regułą (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Stała znika.
  2. f′(x) = −5x4 + 6x − 7.
  3. Teraz podstaw x = 1.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Różniczkuj wyraz po wyrazie

f′(x) = −5x4 + 6x − 7

Podstaw

f′(1) = (−5)·14 + 6·1 + (−7) = −6

Odpowiedź

f′(1) = −6
Przykład 2Średni
xyx = 1

Dana jest funkcja f(x) = x3·e−x. Wyznacz f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Oblicz f′(1)

Pokaż podpowiedzi
  1. Reguła iloczynu z u = x3 i v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Podstaw

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Odpowiedź

f′(1) = 0,7358
Przykład 3Trudny
xy

Dana jest funkcja f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6. Wyznacz współrzędną x x minimum lokalnego.

f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6

Oblicz x

Pokaż podpowiedzi
  1. W maksimum lub minimum lokalnym pochodna jest równa zero.
  2. f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 0.
  3. Dla funkcji sześciennej z dodatnim wyrazem x³ najpierw jest maksimum (mniejsze x), a potem minimum.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Pochodna

f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 3·(x2 − 9x + 18)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = 3 lub x = 6

Które jest które

f″(x) = 6x − 27: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(3) = −9, f″(6) = 9
x = 6

Odpowiedź

x = 6

Pytania i odpowiedzi

Pochodne: co to jest?

Pochodna mierzy, jak szybko coś się zmienia. Jeśli położenie samochodu zmienia się o 50 km na godzinę, jego prędkość wynosi 50 km/h: to szybkość zmiany położenia.

Na wykresie pochodna w danym punkcie to nachylenie krzywej w tym miejscu: jak stromo rośnie lub opada, gdy przybliżysz się bardzo mocno.

Pochodne: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
  2. Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
  3. W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
  4. Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.
Pochodne: jakie błędy są najczęstsze?
  • Zapominanie o pochodnej funkcji wewnętrznej w regule łańcuchowej.
  • Zła kolejność w regule ilorazu.
  • Traktowanie stałej jako czynnika iloczynu.
Pochodne: co ćwiczysz?
  • Łatwy: reguła potęgowa
  • Średni: reguły łańcuchowa i iloczynu
  • Trudny: styczne i ekstrema

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Granice

Potem przejdź do

CałkiRachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychMetody numeryczneRównania różniczkoweOptymalizacjaCiągi i szeregi

Kalkulatory

Kalkulator pochodnych z krokami

Przedmioty z tym tematem

Analiza matematyczna 1Matematyka dla inżynierówRównania różniczkoweZadania do ćwiczeń z AP Calculus

Więcej tematów: Matematyka i statystyka

GraniceOptymalizacjaCałkiCiągi i szeregiRachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychRównania różniczkoweLiczby zespoloneMetody numeryczneMacierze i wyznacznikiWektory: iloczyn skalarny i wektorowyRachunek zdań i dowodyZbiory, relacje i funkcjeTeoria grafówTeoria liczb i arytmetyka modularnaPrawdopodobieństwoStatystyka opisowaRozkład normalnyPrzedziały ufnościTesty hipotez i przedziały ufnościRegresja liniowa i korelacjaTesty chi-kwadrat

Karta pracy do druku

Pochodne: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: PochodneĆwicz teraz: Pochodne5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.