Metody numeryczne: zadania z rozwiązaniami krok po kroku
Darmowe zadania z tematu Metody numeryczne z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: pierwiastki i interpolacja, wzory trapezów i Simpsona, Euler, Heun i Runge–Kutta.
Darmowe zadanieŁatwy
Zastosuj metodę Newtona–Raphsona do f(x) = e−x − x z wartością początkową x₀ = 0. Znajdź x2.
Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.
Typowe błędy
Zachowanie złej połowy przedziału bisekcji albo błędne policzenie kroków.
Zapisanie x − f′/f zamiast x − f/f′ w metodzie Newtona–Raphsona.
Nadanie węzłom wewnętrznym wagi 1 we wzorze trapezów albo użycie wzoru Simpsona z nieparzystą liczbą pasków.
Zbyt wczesne zaokrąglanie iteracji.
Wykonanie o jeden krok Eulera za mało lub za dużo, by dojść do czasu końcowego.
Najważniejsze wzory
Bisekcja
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wiele równań i całek nie ma wzoru na odpowiedź: x = cos x, ∫e−x²dx albo większość równań różniczkowych. Metody numeryczne obliczają odpowiedź krok po kroku z dowolną potrzebną dokładnością.
Metoda bisekcji znajduje pierwiastek f(x) = 0 na przedziale [a, b], na którym f zmienia znak. Weź środek c = (a + b)/2 i zachowaj tę połowę, na której znak nadal się zmienia.
Przykład: f(x) = x² − 2 na [1, 2]. c₁ = 1,5 daje f = 0,25 > 0, więc zachowaj [1; 1,5]. c₂ = 1,25 daje f = −0,4375 < 0, więc zachowaj [1,25; 1,5]. Potem c₃ = 1,375.
Każdy krok połowi przedział, więc po n krokach jego szerokość wynosi (b − a)/2ⁿ. Bisekcja jest wolna, ale zawsze działa, gdy masz zmianę znaku.
Samosprawdzenie Bisekcja zaczyna na przedziale o długości 1. Jak szeroki jest przedział po 10 krokach?
1/100
1/1024
1/10
1/20
Odpowiedź: 1/1024. Każdy krok połowi go: 1/2¹⁰ = 1/1024 ≈ 0,001. Dzielenie przez 10 lub 20 traktuje połowienie tak, jakby było addytywne.
2Newton–Raphson
Newton–Raphson idzie wzdłuż stycznej do osi x i używa tego przecięcia jako następnego przybliżenia:
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Dla f(x) = x² − 2 z f′(x) = 2x i x₀ = 2: x₁ = 2 − 2/4 = 1,5; x₂ = 1,5 − 0,25/3 = 1,416667; x₃ = 1,414216. Pierwiastek to √2 = 1,414214.
W pobliżu pierwiastka metoda Newtona z grubsza podwaja liczbę poprawnych cyfr w każdym kroku. Może zawieść, gdy f′(xₙ) jest bliskie 0 albo gdy start jest daleko od pierwiastka.
Zachowaj co najmniej sześć cyfr w każdej iteracji; zbyt wczesne zaokrąglanie powstrzymuje metodę przed poprawianiem wyniku.
Samosprawdzenie Jeden krok Newtona dla f(x) = x² − 5 od x₀ = 2 daje…
1,75
2,25
2,2
2,5
Odpowiedź: 2,25. f(2) = −1 i f′(2) = 4, więc x₁ = 2 − (−1)/4 = 2,25. Dodanie −1/4 zamiast odjęcia daje 1,75.
3Interpolacja liniowa
Tabele podają wartości tylko w pewnych punktach. Interpolacja liniowa prowadzi prostą między dwoma sąsiednimi punktami tabeli:
y = y₁ + (y₂ − y₁)·(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Przykład: tabela podaje f(1) = 2,0 i f(2) = 2,6. Dla x = 1,4 ułamek wynosi 0,4, więc f(1,4) ≈ 2,0 + 0,6·0,4 = 2,24.
Interpolacja odwrotna działa tak samo w drugą stronę: aby znaleźć, gdzie y = 2,3, ułamek wynosi (2,3 − 2,0)/0,6 = 0,5, więc x ≈ 1,5.
4Wzór trapezów i wzór Simpsona
Aby scałkować f od a do b, podziel przedział na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀, x₁, …, xₙ.
Wzór trapezów zastępuje krzywą w każdym pasku odcinkiem. Każdy węzeł wewnętrzny należy do dwóch pasków, więc liczy się dwa razy:
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]
Wzór Simpsona przeprowadza parabole przez po trzy węzły. Wymaga parzystego n:
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]
Dla ∫01 x² dx = 1/3 przy n = 2 (h = 0,5): T = 0,25·(0 + 0,5 + 1) = 0,375, natomiast S = (0,5/3)·(0 + 1 + 1) = 0,3333, dokładnie.
Błąd wzoru trapezów maleje jak h², a wzoru Simpsona jak h⁴: połowienie h zwiększa dokładność Simpsona około 16 razy.
Samosprawdzenie Jakie wagi wzór trapezów nadaje węzłom x₀, x₁, x₂, x₃?
1, 1, 1, 1
1, 2, 2, 1
1, 4, 2, 1
1, 4, 4, 1
Odpowiedź: 1, 2, 2, 1. Oba końce należą do jednego paska, a punkty wewnętrzne do dwóch, więc 1, 2, 2, 1 z czynnikiem h/2. Czwórki należą do wzoru Simpsona.
5Euler i Heun dla równań różniczkowych
Dla y′ = f(t, y) z y(t₀) = y₀ idź naprzód w czasie z krokiem h. Metoda Eulera używa nachylenia na początku każdego kroku:
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) przewiduje metodą Eulera, a potem uśrednia nachylenia na obu końcach: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂).
Błąd metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h². Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) używa czterech nachyleń i jest dokładna do h⁴.
Przykład krok po kroku
Rozwiąż y′ = y, y(0) = 1 metodą Eulera z h = 0,1 aż do t = 0,3 i porównaj z rozwiązaniem dokładnym eᵗ.
1
Krok 1
y₁ = 1 + 0,1·1 = 1,1
2
Krok 2
y₂ = 1,1 + 0,1·1,1 = 1,21
3
Krok 3
y₃ = 1,21 + 0,1·1,21 = 1,331
4
Porównaj
Dokładna wartość to e0,3 = 1,349859, więc błąd globalny wynosi 0,0189. Jeden krok Heuna od y₀ dałby 1 + 0,05·(1 + 1,1) = 1,105 wobec e0,1 = 1,105171.
Odpowiedź
y(0,3) ≈ 1,331 metodą Eulera; błąd 0,019 maleje z grubsza proporcjonalnie do h.
6Typowe błędy i pytania egzaminacyjne
Liczenie pierwszego środka bisekcji jako kroku 0 albo zachowanie złej połowy przedziału.
Zapisanie x − f′/f zamiast x − f/f′ w metodzie Newtona.
Pominięcie czynnika 2 przy węzłach wewnętrznych albo użycie h zamiast h/2 we wzorze trapezów.
Użycie wzoru Simpsona z nieparzystą liczbą pasków.
W metodzie Eulera użycie nachylenia na końcu kroku albo wykonanie o jeden krok za mało.
Łatwe: bisekcja, iteracje Newtona i interpolacja w tabeli. Średnie: wzory trapezów i Simpsona, ich błąd i potrzebna liczba pasków. Trudne: kroki Eulera, Heuna i Rungego–Kutty dla równań różniczkowych.
Samosprawdzenie y′ = 2y z y(0) = 1. Co daje jeden krok Eulera z h = 0,2?
1,2
1,49
1,4
2,4
Odpowiedź: 1,4. y₁ = 1 + 0,2·(2·1) = 1,4. Pominięcie czynnika 2 w nachyleniu daje 1,2; 1,49 to wartość dokładna e0,4.
Metoda bisekcji zaczyna od przedziału o długości 4. Każdy krok połowi przedział. Ile co najmniej kroków n potrzeba, aby przedział był krótszy niż 0,0001?
b − a = 4ε = 0,0001
Oblicz n
Pokaż podpowiedzi
Po n krokach przedział ma długość (b − a)/2ⁿ.
Rozwiąż 4/2ⁿ < 0,0001, czyli 2ⁿ > 40000.
n > log₂(40000) = 15,29
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Szukanie pierwiastków i interpolacja: bisekcja utrzymuje przedział [a, b], na którym f zmienia znak; w każdym kroku bierze środek c = (a + b)/2 i zachowuje tę połowę, na której znak nadal się zmienia, więc po n krokach przedział ma szerokość (b − a)/2ⁿ. Metoda Newtona–Raphsona idzie wzdłuż stycznej do osi: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); w pobliżu pierwiastka jednokrotnego z grubsza podwaja liczbę poprawnych cyfr w każdym kroku. Interpolacja liniowa między dwoma punktami tabeli: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).
Warunek
4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000
Logarytm
n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16
Sprawdzenie
2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536
Odpowiedź
n = 16
Przykład 2Średni
Przybliż ∫01,5 √(1 + x³) dx wzorem trapezów przy n = 3 paskach. Podaj T.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 3
Oblicz T
Pokaż podpowiedzi
h = (1,5 − 0)/3 = 0,5; węzły to 0, 0,5, 1, 1,5.
Wagi: 1, 2, 2, …, 2, 1; T = (h/2)·Σ wᵢfᵢ.
Suma ważona to Σ wᵢfᵢ = 8,041398.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.
Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.
Wiele równań i całek nie ma wzoru na odpowiedź: x = cos x, ∫e−x²dx albo większość równań różniczkowych. Metody numeryczne obliczają odpowiedź krok po kroku z dowolną potrzebną dokładnością.
Przykład: f(x) = x² − 2 na [1, 2]. c₁ = 1,5 daje f = 0,25 > 0, więc zachowaj [1; 1,5]. c₂ = 1,25 daje f = −0,4375 < 0, więc zachowaj [1,25; 1,5]. Potem c₃ = 1,375.
Metody numeryczne: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.
Metody numeryczne: jakie błędy są najczęstsze?
Zachowanie złej połowy przedziału bisekcji albo błędne policzenie kroków.
Zapisanie x − f′/f zamiast x − f/f′ w metodzie Newtona–Raphsona.
Nadanie węzłom wewnętrznym wagi 1 we wzorze trapezów albo użycie wzoru Simpsona z nieparzystą liczbą pasków.
Zbyt wczesne zaokrąglanie iteracji.
Wykonanie o jeden krok Eulera za mało lub za dużo, by dojść do czasu końcowego.
Metody numeryczne: co ćwiczysz?
Łatwy: pierwiastki i interpolacja
Średni: wzory trapezów i Simpsona
Trudny: Euler, Heun i Runge–Kutta
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.