Liczby zespolone: zadania z rozwiązaniami krok po kroku
Darmowe zadania z tematu Liczby zespolone z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: działania w postaci algebraicznej, postać biegunowa i wykładnicza, wzór de Moivre’a, pierwiastki i równania.
Darmowe zadanieŁatwy
Dla z₁ = 1 + j4 i z₂ = 5 + j6 znajdź część urojoną w = 2z₁ + 5z̄₂.
Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Typowe błędy
Traktowanie j² jako +1 przy wymnażaniu.
Dzielenie osobno części rzeczywistej i urojonej.
Przyjmowanie atan(b/a) za argument dla punktu w lewej półpłaszczyźnie.
Mieszanie stopni i radianów, zwłaszcza w ejθ.
Podanie tylko jednego pierwiastka zⁿ = w albo zapomnienie o wzięciu pierwiastka n-tego stopnia z modułu.
Najważniejsze wzory
Postać algebraiczna
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Moduł i argument
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Równanie x² = −1 nie ma rozwiązania rzeczywistego. Inżynierowie dodają nową liczbę j z j² = −1. Matematycy piszą i; w inżynierii używa się j, bo i oznacza już prąd.
Liczba zespolona ma postać z = a + jb. Liczba a to część rzeczywista, a b to część urojona: Re(z) = a i Im(z) = b.
Możesz narysować z jako punkt (a, b) na płaszczyźnie Arganda: część rzeczywista wzdłuż osi poziomej, część urojona wzdłuż pionowej.
Odległość od początku to moduł |z| = √(a² + b²). Kąt od dodatniej osi rzeczywistej to argument θ. Odbicie lustrzane względem osi rzeczywistej, z̄ = a − jb, to liczba sprzężona.
Samosprawdzenie Ile wynosi moduł z = 3 − j4?
25
5
7
−1
Odpowiedź: 5. |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5. Dodanie 3 i 4 daje 7, a pominięcie pierwiastka daje 25.
2Dodawanie, mnożenie i dzielenie
Dodawaj i odejmuj część po części: (2 + j3) + (1 − j4) = 3 − j.
Mnóż, wymnażając nawiasy i zastępując j² przez −1:
Odpowiedź: 2. To liczba razy jej sprzężenie: 1² + 1² = 2. Zapisanie 1 − j² jako 1 − 1 = 0 pomija to, że j² = −1, więc −j² = +1.
3Postać biegunowa i wykładnicza
Punkt można też podać przez jego odległość i kąt: z = r∠θ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ i b = r sin θ.
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
Ostatnia postać używa wzoru Eulera ejθ = cos θ + j sin θ. W postaci wykładniczej θ musi być w radianach.
Uważaj na ćwiartkę. Kalkulator daje atan(b/a) między −90° a 90°. Jeśli a < 0, punkt leży po lewej stronie, więc dodaj lub odejmij 180°.
Przykład: z = −2 + j2. Wtedy r = √8 = 2,828. Kąt odniesienia to atan(2/2) = 45°, a punkt leży w drugiej ćwiartce, więc θ = 180° − 45° = 135°.
Samosprawdzenie Ile wynosi argument z = −1 − j, między −180° a 180°?
135°
45°
−135°
−45°
Odpowiedź: −135°. Punkt leży w trzeciej ćwiartce. Kąt odniesienia to 45°, więc θ = −(180° − 45°) = −135°. atan(−1/−1) = 45° wskazuje przeciwną ćwiartkę.
4Mnożenie w postaci biegunowej, potęgi i pierwiastki
W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty. Przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.
(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)
Powtarzanie tego daje wzór de Moivre’a: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ.
Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków. Wszystkie mają moduł R1/n i argumenty (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1.
Dla z³ = 8 = 8∠0°: moduł wynosi 2, a argumenty to 0°, 120° i 240° (czyli −120°). Pierwiastki tworzą na okręgu trójkąt foremny.
Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone −p/2 ± j√(q − p²/4). Wielomiany rzeczywiste mają pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych.
5Przykład krok po kroku
Potęgi liczb takich jak 1 + j liczy się w postaci biegunowej znacznie szybciej niż przez wymnażanie.
Przykład krok po kroku
Oblicz (1 + j)6 wzorem de Moivre’a.
1
Zapisz 1 + j w postaci biegunowej
r = √(1² + 1²) = √2. Punkt leży w pierwszej ćwiartce, więc θ = atan(1/1) = 45°.
1 + j = √2∠45°
2
Zastosuj wzór de Moivre’a
Podnieś moduł do potęgi 6 i pomnóż kąt przez 6.
(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3
Sprowadź kąt do zakresu
270° to ten sam kierunek co −90°.
(1 + j)6 = 8∠−90°
4
Powrót do postaci algebraicznej
8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
Odpowiedź
(1 + j)6 = −j8: część rzeczywista 0, część urojona −8.
6Typowe błędy i pytania egzaminacyjne
Zapominanie, że j² = −1 przy wymnażaniu, przez co wyraz dostaje zły znak.
Dzielenie część po części: (a + jb)/(c + jd) to nie a/c + jb/d. Użyj liczby sprzężonej.
Przyjmowanie atan(b/a) za argument, gdy a < 0. Najpierw naszkicuj punkt.
Używanie stopni w ejθ albo zostawienie kalkulatora w radianach dla r∠θ podanego w stopniach.
We wzorze de Moivre’a: zapomnienie o podniesieniu modułu do potęgi albo podanie tylko jednego pierwiastka zⁿ = w.
Łatwe pytania dotyczą części iloczynu, ilorazu lub sumy. Średnie zamieniają między postacią algebraiczną, biegunową i wykładniczą. Trudne używają wzoru de Moivre’a, pierwiastków n-tego stopnia i równań wielomianowych.
Samosprawdzenie z₁ = 2∠30° i z₂ = 4∠50°. Ile wynosi z₁·z₂?
6∠80°
8∠1500°
8∠20°
8∠80°
Odpowiedź: 8∠80°. Pomnóż moduły (2·4 = 8) i dodaj argumenty (30° + 50° = 80°). Dodanie modułów daje 6, a mnożenie kątów nie ma sensu.
Dla z₁ = −7 + j i z₂ = 4 + j2 znajdź część rzeczywistą iloczynu z₁·z₂.
z₁ = −7 + jz₂ = 4 + j2
Oblicz Re(z₁z₂)
Pokaż podpowiedzi
Wymnóż nawiasy jak (a + b)(c + d), co daje cztery wyrazy.
Zastąp j² przez −1, aby jeden z czterech wyrazów stał się rzeczywisty.
(−7 + j)(4 + j2) = (−28) + j(−14) + j4 + j²·2
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Liczby zespolone: z = a + jb ma część rzeczywistą a i część urojoną b, gdzie j² = −1 (matematycy piszą i). Dodawaj i odejmuj część po części; wymnóż nawiasy i zastąp j² przez −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika, z̄ = a − jb, ponieważ z·z̄ = a² + b² jest rzeczywiste. Na płaszczyźnie Arganda z to punkt (a, b): jego odległość od początku to moduł |z| = √(a² + b²), a kąt od dodatniej osi rzeczywistej to argument θ.
Zapisz z = 4∠160° w postaci algebraicznej a + jb i podaj część urojoną b.
r = 4θ = 160°
Oblicz b
Pokaż podpowiedzi
a = r·cos θ i b = r·sin θ.
sin(160°) = 0,342
Pomnóż przez r = 4.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.
Składowe
a = 4·cos(160°) = −3,759
b = 4·sin(160°) = 1,368
Postać algebraiczna
z = −3,759 + j1,368
b = 1,368
Odpowiedź
b = 1,368
Przykład 3Trudny
Pierwiastki zⁿ = w z n = 4 i w = 16∠−60° to zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Znajdź część rzeczywistą z₂.
w = 16∠−60°n = 4k = 2
Oblicz Re(z₂)
Pokaż podpowiedzi
Każdy pierwiastek ma moduł R1/n = 161/4 = 2.
Argument z₂ to (φ + 360°·k)/n, gdzie φ = −60°, k = 2 i n = 4.
a = R1/n·cos(165°).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.
Moduł pierwiastków
161/4 = 2
Argument pierwiastka
θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°
Postać algebraiczna
z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1,932 + j0,5176
Re(z₂) = −1,932
Odpowiedź
Re(z₂) = −1,932
Pierwiastki (4) leżą na okręgu o promieniu 2, w odstępach 90°.
Pytania i odpowiedzi
Liczby zespolone: co to jest?
Równanie x² = −1 nie ma rozwiązania rzeczywistego. Inżynierowie dodają nową liczbę j z j² = −1. Matematycy piszą i; w inżynierii używa się j, bo i oznacza już prąd.
Możesz narysować z jako punkt (a, b) na płaszczyźnie Arganda: część rzeczywista wzdłuż osi poziomej, część urojona wzdłuż pionowej.
Liczby zespolone: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Liczby zespolone: jakie błędy są najczęstsze?
Traktowanie j² jako +1 przy wymnażaniu.
Dzielenie osobno części rzeczywistej i urojonej.
Przyjmowanie atan(b/a) za argument dla punktu w lewej półpłaszczyźnie.
Mieszanie stopni i radianów, zwłaszcza w ejθ.
Podanie tylko jednego pierwiastka zⁿ = w albo zapomnienie o wzięciu pierwiastka n-tego stopnia z modułu.
Liczby zespolone: co ćwiczysz?
Łatwy: działania w postaci algebraicznej
Średni: postać biegunowa i wykładnicza
Trudny: wzór de Moivre’a, pierwiastki i równania
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.