Rozwiązywanie równania kwadratowego (ax² + bx + c = 0)

Wpisz swoje wartości. Odpowiedź i pełne rozwiązanie aktualizują się w trakcie pisania.

Wynik

Pierwiastkix₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁2,5
x₂−1
Wyróżnik Δ49
Rodzaj pierwiastkówdwa różne pierwiastki rzeczywiste
Wierzchołek(0,75, −6,125)
Oś symetriix = 0,75
Punkt przecięcia z osią y−5
Ramiona paraboli skierowanew górę (minimum w wierzchołku)
Postać iloczynowa(2x − 5)(x + 1)

Rozwiąż dowolne równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0. Kalkulator oblicza wyróżnik, stosuje wzór na pierwiastki i podaje je zarówno w postaci dziesiętnej, jak i dokładnej, jako ułamki lub uproszczone pierwiastki, np. 2 ± √3, także zespolone. Znajduje też wierzchołek, oś symetrii i postać iloczynową oraz sprawdza pierwiastki wzorami Viète’a.

Rozwiązanie krok po kroku

Wskaż a, b i c

2x² − 3x − 5 = 0: a = 2, b = −3, c = −5

Wyróżnik

Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4·2·(−5) = 49
Δ > 0 → dwa różne pierwiastki rzeczywiste

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego

x = (−b ± √Δ)/(2a) = (3 ± √49)/4
dokładnie: x₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁ = 2,5, x₂ = −1

Wierzchołek i oś symetrii

h = −b/(2a) = 3/4 ≈ 0,75
k = c − b²/(4a) = −49/8 ≈ −6,125
postać kanoniczna: y = 2(x − 0,75)2 − 6,125

Postać iloczynowa

2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1)

Sprawdź wzorami Viète’a

x₁ + x₂ = −b/a = 1,5
x₁·x₂ = c/a = −2,5

Najważniejsze wzory

Trójmian kwadratowy z p² < 4q
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Jak rozwiązać równanie kwadratowe

  1. Zapisz równanie w postaci ogólnej ax² + bx + c = 0 i odczytaj a, b i c wraz ze znakami.
  2. Oblicz wyróżnik Δ = b² − 4ac. Jeśli Δ > 0, są dwa pierwiastki rzeczywiste, jeśli Δ = 0 jeden podwójny, a jeśli Δ < 0 dwa sprzężone pierwiastki zespolone.
  3. Użyj wzoru x = (−b ± √Δ)/(2a). Uprość pierwiastek, wyłączając czynniki będące kwadratami: √12 = 2√3.
  4. Dla Δ < 0 zapisz √Δ = i·√|Δ|, więc pierwiastki to −b/(2a) ± i·√|Δ|/(2a).
  5. Wierzchołek paraboli y = ax² + bx + c leży w x = −b/(2a); podstaw tę wartość, aby znaleźć współrzędną y.
  6. Sprawdź: suma pierwiastków wynosi −b/a, a ich iloczyn c/a.

Pytania i odpowiedzi

Kiedy można rozłożyć na czynniki zamiast używać wzoru?

Gdy wyróżnik jest kwadratem liczby całkowitej, a współczynniki są całkowite, pierwiastki są wymierne, a trójmian rozkłada się na czynniki całkowite, jak 2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1). W pozostałych przypadkach niezawodny jest wzór na pierwiastki.

Co oznacza ujemny wyróżnik?

Parabola nie przecina osi x, więc nie ma pierwiastków rzeczywistych. Dwa pierwiastki są sprzężonymi liczbami zespolonymi p ± qi, które mają znaczenie np. w drganiach tłumionych i w analizie obwodów.

Czym jest postać kanoniczna?

y = a(x − h)² + k, gdzie (h, k) to wierzchołek. Od razu pokazuje minimum (a > 0) lub maksimum (a < 0) paraboli i otrzymuje się ją przez dopełnienie do kwadratu.

Co, jeśli a = 0?

Wtedy równanie jest liniowe, bx + c = 0, z jednym rozwiązaniem x = −c/b. Wzór na pierwiastki dzieliłby przez zero, więc kalkulator wymaga a różnego od zera.

Dlaczego kalkulator podaje dokładne pierwiastki?

Na egzaminach często oczekuje się odpowiedzi w rodzaju (3 ± √17)/4, a nie liczb dziesiętnych. Gdy a, b i c są liczbami całkowitymi lub dziesiętnymi, kalkulator liczy na dokładnych ułamkach i upraszcza pierwiastek.

Przećwicz to sam

Liczby zespolone: zadania z rozwiązaniami krok po krokuJak rozwiązywać zadania: Liczby zespoloneLiczby zespolone: karta pracy z odpowiedziami

Ćwicz: Liczby zespolone

Kalkulator daje odpowiedź. Na egzaminie potrzebujesz metody: ćwicz ją na nowych zadaniach z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Ćwicz za darmo: Liczby zespoloneĆwicz teraz: Liczby zespolonePrzykłady z rozwiązaniami
</> Osadź

Bezpłatnie dla nauczycieli i szkół: wklej ten kod na stronę kursu, do LMS lub na swoją stronę. Studenci mogą korzystać z kalkulatora i rozwiązania krok po kroku bez konta.

Więcej kalkulatorów

Kalkulator wyniku z i prawdopodobieństwa w rozkładzie normalnymKalkulator przedziału ufnościKalkulator liczebności próbyKalkulator średniej, mediany i odchylenia standardowegoKalkulator regresji liniowejKalkulator testu zgodności chi-kwadratKalkulator wyznacznika i macierzy odwrotnejKalkulator rozkładu normalnegoKalkulator rozkładu dwumianowegoKalkulator rozkładu Poissona