Matematyka dla inżynierów: zadania i pytania egzaminacyjne

Matematyka, na której opierają się kursy inżynierskie: analiza matematyczna, liczby zespolone, macierze, rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.

Ćwicz ten przedmiot za darmoĆwicz ten przedmiotNapisz egzamin próbny5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Zestaw na powtórkę (PDF)Wzory, kroki metod i zadania z pełnymi rozwiązaniami, gotowe do wydruku.

Tematy w tym przedmiocie

  1. Granicebezpośrednie podstawienie i rozkład na czynniki · granice w nieskończoności · Reguła de l'Hospitalaobliczenia
  2. Pochodnereguła potęgowa · reguły łańcuchowa i iloczynu · styczne i ekstremaobliczenia
  3. Całkiwielomiany · funkcje wykładnicze, logarytmy i podstawienie · pola między krzywymiobliczenia
  4. Liczby zespolonedziałania w postaci algebraicznej · postać biegunowa i wykładnicza · wzór de Moivre’a, pierwiastki i równaniaobliczenia
  5. Równania różniczkowewzrost i zanik wykładniczy · Prawo stygnięcia Newtona · liniowe pierwszego rzęduobliczenia
  6. Macierze i wyznacznikiwyznacznik 2×2 · 3×3 i iloczyny · wartości własne i układy równańobliczenia
  7. Wektory: iloczyn skalarny i wektorowydługość i składowe · iloczyn skalarny · iloczyn wektorowy i momentyobliczenia
  8. Prawdopodobieństwowyniki jednakowo prawdopodobne · zliczanie i zdarzenie przeciwne · rozkład dwumianowyobliczenia
  9. Statystyka opisowaśrednia i mediana · odchylenie standardowe · rozkład normalnyobliczenia
  10. Rozkład normalnypole w jednym ogonie · pole między dwiema wartościami · percentyleobliczenia

Wskazówki egzaminacyjne: Matematyka dla inżynierów

  • Sprawdź wymiary iloczynu macierzy, zanim zaczniesz mnożyć.
  • Wyznacznik równy zero oznacza, że macierz nie ma odwrotności.
  • Naszkicuj funkcję, zanim ją zróżniczkujesz lub scałkujesz; szkic wyłapuje błędy znaku.

Przykłady z rozwiązaniami

GraniceŁatwy
xyx = 1

Oblicz granicę L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Oblicz L

Pokaż podpowiedzi
  1. Podstawienie daje 0/0. Rozłóż licznik na czynniki.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Spróbuj bezpośredniego podstawienia

licznik → 0 i mianownik → 0, więc mamy postać 0/0.

Rozłóż na czynniki i skróć

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Podstaw

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Odpowiedź

L = 4

To pochodna xⁿ w punkcie x = a: n·aⁿ⁻¹.

PochodneŚredni
xyx = 1

Dana jest funkcja f(x) = x3·e−x. Wyznacz f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Oblicz f′(1)

Pokaż podpowiedzi
  1. Reguła iloczynu z u = x3 i v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Podstaw

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Odpowiedź

f′(1) = 0,7358

Jak wygląda ćwiczenie

  • „Ćwicz ten przedmiot” miesza zadania ze wszystkich jego tematów, jak na prawdziwym egzaminie.
  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Egzaminy próbne są mierzone czasem i nie mają podpowiedzi, a na końcu dostajesz wynik i pełne omówienie.

Kalkulatory do tego kursu

Kalkulator wyniku z i prawdopodobieństwa w rozkładzie normalnymKalkulator średniej, mediany i odchylenia standardowegoKalkulator wyznacznika i macierzy odwrotnejKalkulator rozkładu normalnegoKalkulator rozkładu dwumianowegoKalkulator rozkładu PoissonaKalkulator permutacji i kombinacji (nPr i nCr)Kalkulator wartości i wektorów własnychKalkulator wartości oczekiwanej i wariancjiKalkulator okresu połowicznego rozpadu i zaniku wykładniczegoKalkulator cyfr znaczących (liczenie, zaokrąglanie i obliczenia)Kalkulator błędu procentowego (i różnicy procentowej)Rozwiązywanie równania kwadratowego (ax² + bx + c = 0)Rozwiązywanie układów równań liniowych (2×2 i 3×3)Kalkulator pochodnych z krokamiKalkulator całek (oznaczonych i nieoznaczonych)

Powiązane przedmioty

Matematyka inżynierska 2Zadania do ćwiczeń z AP CalculusAnaliza matematyczna 1Wstęp do statystykiRównania różniczkoweZadania do ćwiczeń z AP StatisticsMetodologia badań i statystyka w psychologiiĆwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I
Ćwicz ten przedmiot za darmoĆwicz ten przedmiotNapisz egzamin próbny5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.