Matematyka inżynierska 2: zadania i pytania egzaminacyjne

Drugi kurs matematyki dla inżynierów: równania różniczkowe drugiego rzędu, macierze i wektory, techniki całkowania z objętościami brył obrotowych, pochodne cząstkowe i całki podwójne, szeregi i wielomiany Taylora, transformata Laplace’a i splot. To narzędzia, na których opierają się kursy obwodów, drgań i automatyki.

Ćwicz ten przedmiot za darmoĆwicz ten przedmiotNapisz egzamin próbny5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Zestaw na powtórkę (PDF)Wzory, kroki metod i zadania z pełnymi rozwiązaniami, gotowe do wydruku.

Tematy w tym przedmiocie

  1. Równania różniczkowewzrost i zanik wykładniczy · Prawo stygnięcia Newtona · liniowe pierwszego rzęduobliczenia
  2. Macierze i wyznacznikiwyznacznik 2×2 · 3×3 i iloczyny · wartości własne i układy równańobliczenia
  3. Wektory: iloczyn skalarny i wektorowydługość i składowe · iloczyn skalarny · iloczyn wektorowy i momentyobliczenia
  4. Całkiwielomiany · funkcje wykładnicze, logarytmy i podstawienie · pola między krzywymiobliczenia
  5. Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychpochodne cząstkowe i całki podwójne · gradient, płaszczyzna styczna i reguła łańcuchowa · punkty krytyczne i całki po obszarachobliczenia
  6. Ciągi i szeregiszeregi arytmetyczne i geometryczne · zbieżność i szeregi potęgowe · wielomiany Taylora i Maclaurinaobliczenia
  7. Transformaty Laplace’apary z tablic i twierdzenia o wartościach · transformata odwrotna metodą ułamków prostych · równania różniczkowe i transmitancjeobliczenia
  8. Splot i układy liniowe stacjonarnesplot dyskretny · splot ciągły · odpowiedź impulsowa i szereg Fourieraobliczenia

Wskazówki egzaminacyjne: Matematyka inżynierska 2

  • Dla liniowego równania różniczkowego najpierw zapisz równanie charakterystyczne: jego pierwiastki decydują o postaci rozwiązania.
  • W całkowaniu przez części wybierz za u ten czynnik, który po zróżniczkowaniu staje się prostszy.
  • Użyj tablicy transformat Laplace'a i rozkładu na ułamki proste zamiast całkować transformatę ręcznie.

Przykłady z rozwiązaniami

Równania różniczkoweŁatwy
rr² + br + c?

Dla równania y″ + 4y′ + 3y = 0 wyznacz pierwiastek r równania charakterystycznego, który leży najbliżej zera. Określa on, jak wolno zanika rozwiązanie.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Oblicz r

Pokaż podpowiedzi
  1. Podstaw y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Rozłóż na czynniki lub użyj wzoru na pierwiastki równania kwadratowego.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = ert: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·er₁t + B·er₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·ert (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Równanie charakterystyczne

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Pierwiastki

r = −1, r = −3
najbliższy zeru: r = −1

Odpowiedź

r = −1

Rozwiązanie ogólne to y = A·e−1t + B·e−3t.

Macierze i wyznacznikiŚredni
A =−153−5−1−3−513

Wyznacz wyznacznik det A pokazanej macierzy 3×3 A.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

Oblicz det A

Pokaż podpowiedzi
  1. Rozwiń względem pierwszego wiersza ze znakami + − +.
  2. Każdy składnik to element razy wyznacznik 2×2, który zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny.
  3. minory: 0, −30, −10.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.

Minory 2×2 pierwszego wiersza

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

Rozwinięcie Laplace'a

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

Odpowiedź

det A = 120

Jak wygląda ćwiczenie

  • „Ćwicz ten przedmiot” miesza zadania ze wszystkich jego tematów, jak na prawdziwym egzaminie.
  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Egzaminy próbne są mierzone czasem i nie mają podpowiedzi, a na końcu dostajesz wynik i pełne omówienie.

Kalkulatory do tego kursu

Kalkulator odwrotnej transformaty Laplace’a (ułamki proste)Kalkulator transformaty Laplace’aKalkulator wyznacznika i macierzy odwrotnejKalkulator wartości i wektorów własnychKalkulator okresu połowicznego rozpadu i zaniku wykładniczegoRozwiązywanie układów równań liniowych (2×2 i 3×3)Kalkulator całek (oznaczonych i nieoznaczonych)

Powiązane przedmioty

Matematyka dla inżynierówAnaliza matematyczna 2Metody numeryczneZadania do ćwiczeń z AP CalculusRównania różniczkoweSygnały i układyAnaliza matematyczna 1Statyka
Ćwicz ten przedmiot za darmoĆwicz ten przedmiotNapisz egzamin próbny5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.