Kalkulator transformaty Laplace’a

Wpisz swoje wartości. Odpowiedź i pełne rozwiązanie aktualizują się w trakcie pisania.

Wynik

F(s)6/(s + 2)³ + 20/(s² + 16) − 2(s + 1)/((s + 1)² + 9) + e−s·4/s
Obszar zbieżnościRe(s) > 0

Znajdź transformatę Laplace’a funkcji zbudowanej ze zwykłych składników: potęg t, funkcji wykładniczych, sinusów i cosinusów (z fazą), sinh i cosh, przesuniętych skoków jednostkowych u(t − c) i impulsów δ(t − c). Kalkulator przekształca każdy składnik według standardowej tablicy i twierdzeń o przesunięciu, pokazuje użyte pozycje i podaje F(s) wraz z obszarem zbieżności.

Rozwiązanie krok po kroku

Przekształć każdy składnik

L{3t2·e−2t} → 6/(s + 2)³
L{5sin(4t)} → 20/(s² + 16)
L{−2e−t·cos(3t)} → −2(s + 1)/((s + 1)² + 9)
L{4u(t − 1)} → e−s·4/s

Użyte pozycje z tablicy

L{tneat} = n!/(s − a)n+1
L{eat sin ωt} = ω/((s − a)² + ω²)
L{eat cos ωt} = (s − a)/((s − a)² + ω²)
L{g(t)·u(t − c)} = e−cs·L{g(t + c)}

Dodaj transformaty (liniowość)

F(s) = 6/(s + 2)³ + 20/(s² + 16) − 2(s + 1)/((s + 1)² + 9) + e−s·4/s

Jak znaleźć transformatę Laplace’a za pomocą tablicy

  1. Podziel f(t) na sumę składników; transformata Laplace’a jest liniowa.
  2. Użyj podstawowych par: L{tⁿ} = n!/sⁿ⁺¹, L{sin ωt} = ω/(s² + ω²) i L{cos ωt} = s/(s² + ω²).
  3. Mnożenie przez e^(at) przesuwa s: L{e^(at) f(t)} = F(s − a).
  4. Składnik opóźniony g(t)·u(t − c) przekształca się w e^(−cs)·L{g(t + c)}.
  5. Dodaj transformaty składników; F(s) istnieje dla Re(s) większego niż największy wykładnik a.

Pytania i odpowiedzi

Jak wpisać f(t)?

Na przykład 3t^2 e^(-2t) + 5sin(4t) - 2e^(-t)cos(3t) + 4u(t-1). Użyj ^ dla potęg, e^(at) lub exp(at) dla funkcji wykładniczych, u(t-c) dla skoku i δ(t-c) lub delta(t-c) dla impulsu. Dozwolona jest faza, jak w sin(2t + 1).

Jaka jest różnica między t·u(t − 1) a (t − 1)·u(t − 1)?

Drugie to opóźniona funkcja liniowa (rampa) i przekształca się w e^(−s)/s². Pierwsze to t·u(t − 1) = ((t − 1) + 1)·u(t − 1), co przekształca się w e^(−s)(1/s² + 1/s). Kalkulator obsługuje oba przypadki, zapisując g(t + c).

Jak przekształcają się t·sin(ωt) i t·cos(ωt)?

Przez L{tⁿ e^(jωt)} = n!/(s − jω)ⁿ⁺¹: część urojona daje sinus, a rzeczywista cosinus, na przykład L{t sin ωt} = 2ωs/(s² + ω²)².

Czym jest obszar zbieżności?

Wartości s, dla których całka transformaty jest zbieżna: Re(s) większe niż największa szybkość narastania w f(t). Dla e^(3t) jest to Re(s) > 3.

Czy mogę wpisać iloczyn dwóch sinusów?

Nie bezpośrednio. Najpierw przepisz go wzorem na zamianę iloczynu na sumę, na przykład sin(at)·cos(bt) = ½[sin((a + b)t) + sin((a − b)t)].

Przećwicz to sam

Transformaty Laplace’a: zadania z rozwiązaniami krok po krokuJak rozwiązywać zadania: Transformaty Laplace’aTransformaty Laplace’a: karta pracy z odpowiedziami

Ćwicz: Transformaty Laplace’a

Kalkulator daje odpowiedź. Na egzaminie potrzebujesz metody: ćwicz ją na nowych zadaniach z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Ćwicz za darmo: Transformaty Laplace’aĆwicz teraz: Transformaty Laplace’aPrzykłady z rozwiązaniami
</> Osadź

Bezpłatnie dla nauczycieli i szkół: wklej ten kod na stronę kursu, do LMS lub na swoją stronę. Studenci mogą korzystać z kalkulatora i rozwiązania krok po kroku bez konta.

Więcej kalkulatorów

Kalkulator rezystorów szeregowych i równoległychKalkulator dzielnika napięciaKalkulator stałej czasowej RCKalkulator impedancji RLCKalkulator kompensacji mocy biernejKalkulator wzmocnienia wzmacniacza operacyjnegoKalkulator mocy trójfazowejKalkulator przekładni transformatoraKalkulator częstotliwości rezonansowej (LC i RLC)Kalkulator rezystora do diody LED