Darmowe zadania z tematu Transformaty Laplace’a z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: pary z tablic i twierdzenia o wartościach, transformata odwrotna metodą ułamków prostych, równania różniczkowe i transmitancje.
Darmowe zadanieŁatwy
Sygnał f(t) ma transformatę Laplace’a F(s) = 22/(s(s² + 8s + 10)). Za pomocą twierdzenia o wartości końcowej znajdź wartość f(∞), do której zmierza f(t).
Obwody, silniki i zbiorniki opisują równania różniczkowe: wyjście zależy od własnej szybkości zmian. Bezpośrednie rozwiązywanie ich jest powolne.
Transformata Laplace’a zamienia taki problem w algebrę. Zamieniasz każdą funkcję czasu f(t) na funkcję F(s) nowej zmiennej s.
Rozwiązujesz problem zwykłą algebrą w s, a potem przekładasz wynik z powrotem na czas. Ten ostatni krok to transformata odwrotna.
F(s) = ℒ{f(t)} = ∫₀∞ f(t)·e−st dt
Rzadko używasz tej całki samodzielnie. W praktyce szukasz par transformat w tablicy, jak słów w słowniku między dwoma językami.
Rysunek pokazuje trzy typowe sygnały: stałą 1 (skok), zanikający wykładniczy i sinus. Pod każdym z nich jest jego transformata.
Samosprawdzenie Jaka jest transformata Laplace’a sygnału stałego f(t) = 5?
1/(5s)
5/s
5
5s
Odpowiedź: 5/s. Stały czynnik zostaje z przodu, a ℒ{1} = 1/s. Zatem ℒ{5} = 5/s. Odpowiedź 5 pomija to, że transformata stałej zawsze niesie czynnik 1/s.
2Tablica par transformat
Naucz się tych pięciu par. Razem z dwiema regułami obejmują niemal każde zadanie egzaminacyjne.
1 ↔ 1/s e−at ↔ 1/(s + a) t·e−at ↔ 1/(s + a)² sin ωt ↔ ω/(s² + ω²) cos ωt ↔ s/(s² + ω²)
Liniowość: stałe zostają z przodu, a sumę transformuje się wyraz po wyrazie. Zatem 3/(s + 2) ↔ 3·e−2t.
Przesunięcie: zastąpienie s przez s + a mnoży funkcję czasu przez e−at. Zatem (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e−2t·cos 3t.
Uważaj na parę sinusa: licznik musi być samym ω. Dla 12/(s² + 9) masz ω = 3, więc zapisz 12 = 4·3. Wynik to 4·sin 3t.
W sin ωt i cos ωt kąt ωt jest w radianach. Przed obliczeniem ustaw kalkulator na radiany.
Przykład krok po kroku
Znajdź f(t) dla F(s) = 6/(s + 3) + 2/s i oblicz f(0,5).
1
Dopasuj każdy wyraz do pary
6/(s + 3) ma postać 1/(s + a) z a = 3, razy 6. Wyraz 2/s to stała 2.
6/(s + 3) ↔ 6·e−3t 2/s ↔ 2
2
Zapisz f(t)
Dodaj obie części (liniowość):
f(t) = 6·e−3t + 2
3
Oblicz dla t = 0,5
f(0,5) = 6·e−1,5 + 2 = 6·0,2231 + 2 = 3,34
Odpowiedź
f(t) = 6·e−3t + 2, więc f(0,5) ≈ 3,34.
Samosprawdzenie Jaka jest transformata odwrotna 8/(s² + 16)?
2·cos 4t
2·sin 4t
8·sin 16t
8·sin 4t
Odpowiedź: 2·sin 4t. ω² = 16, więc ω = 4. Para wymaga 4 w liczniku: 8 = 2·4, co daje 2·sin 4t. Wynik 8·sin 4t pomija dzielenie przez ω. Cosinus należy do s w liczniku.
3Wartości początkowa i końcowa bez odwracania
Czasem potrzebujesz tylko wiedzieć, gdzie f(t) zaczyna się albo gdzie kończy. Dwa twierdzenia dają to wprost z F(s).
f(0⁺) = lims→∞ s·F(s) f(∞) = lims→0 s·F(s)
Wartość początkowa (s → ∞): dla bardzo dużego s liczy się tylko najwyższa potęga s w liczniku i w mianowniku.
Wartość końcowa (s → 0): skróć czynnik s, a potem podstaw s = 0 w każdym pozostałym czynniku, także w zerach.
Twierdzenie o wartości końcowej działa tylko wtedy, gdy f(t) naprawdę się ustala: wszystkie bieguny s·F(s) muszą mieć ujemną część rzeczywistą.
Wartość końcowa: dla F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) otrzymujesz s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3)). Przy s = 0 to 12/6 = 2, więc f(∞) = 2.
Wartość początkowa: dla F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6) otrzymujesz s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6). Dla dużego s zachowuje się to jak 3s²/s², więc f(0⁺) = 3.
Dla nachylenia początkowego f′(0⁺) użyj transformaty pochodnej, ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺). Potem zastosuj do niej twierdzenie o wartości początkowej:
f′(0⁺) = lims→∞ s·[s·F(s) − f(0⁺)]
Dla tego samego F(s): s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6). Pomnóż przez s i niech s → ∞. Najwyższe potęgi dają −5s²/s², więc f′(0⁺) = −5.
Samosprawdzenie F(s) = 10(s + 2)/(s(s + 4)(s + 5)). Jaką wartość osiąga f(t) po ustaleniu?
0,5
0
1
20
Odpowiedź: 1. s·F(s) = 10(s + 2)/((s + 4)(s + 5)), co przy s = 0 daje 20/20 = 1. Pominięcie czynnika zera (s + 2) daje 0,5. Wartość 0 to granica s → ∞, czyli wartość początkowa.
4Rozkład na ułamki proste, krok po kroku
Większość F(s) nie ma w tablicy tej postaci, jaką ma. Rozbijasz je na proste ułamki, które w niej są. To rozkład na ułamki proste.
Każdy pierwiastek mianownika to biegun. Prosty biegun w s = −a daje jeden wyraz A/(s + a), który w czasie staje się A·e−at.
F(s) = A/(s + a) + B/(s + b) ⇒ f(t) = A·e−at + B·e−bt
Reguła zakrywania (cover-up) znajduje każdy współczynnik. Aby znaleźć A, zakryj czynnik (s + a) w F(s) i podstaw s = −a we wszystkim, co zostało.
Przykład: F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4)). Wtedy A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2 i B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1. Zatem f(t) = 2e−t − e−4t.
Położenie bieguna mówi o kształcie. Rzeczywisty biegun w −3 daje czysty zanik e−3t. Para zespolona −1 ± j2 daje zanikające drgania, e−t razy sin 2t lub cos 2t.
Biegun wielokrotny (s + a)²: zapisz A/(s + a) + B/(s + a)². Drugi wyraz daje B·t·e−at. Zatem (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e−t + 3t·e−t.
Rozłóż mianownik na czynniki i wypisz bieguny. Dla trójmianu kwadratowego znajdź jego pierwiastki albo uzupełnij do kwadratu.
Zapisz po jednym ułamku na biegun: A/s, B/(s + a) i tak dalej. Biegun wielokrotny dostaje też wyraz z kwadratem.
Znajdź każdy współczynnik regułą zakrywania. Zachowaj znaki pozostałych czynników.
Przełóż każdy wyraz z powrotem na czas za pomocą tablicy.
Podstaw czas t (radiany dla sinusa i cosinusa). Sprawdź f(0⁺) i f(∞) twierdzeniami o wartościach.
Samosprawdzenie F(s) = (s + 5)/((s + 1)(s + 3)) = A/(s + 1) + B/(s + 3). Ile wynosi A?
2
4
−1
−2
Odpowiedź: 2. Zasłoń (s + 1) i podstaw s = −1 w reszcie: (−1 + 5)/(−1 + 3) = 4/2 = 2. Wartość −1 to B. Odpowiedź 4 pomija dzielenie przez pozostały czynnik, a −2 odwraca znak pozostałego czynnika: 4/(−2) zamiast 4/2.
5Przykład krok po kroku
To typowe zadanie średnie. Spróbuj każdego kroku sam, zanim go otworzysz.
Przykład krok po kroku
Znajdź f(t) dla F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) metodą ułamków prostych i oblicz f(0,5).
1
Przygotuj ułamki
Mianownik jest już rozłożony. Bieguny to s = 0, s = −2 i s = −3, wszystkie proste.
F(s) = A/s + B/(s + 2) + C/(s + 3)
2
Zakrywanie dla A
Zakryj czynnik s i podstaw s = 0 w reszcie:
A = 12/((0 + 2)(0 + 3)) = 12/6 = 2
3
Zakrywanie dla B i C
Zakryj (s + 2) i podstaw s = −2. Potem zakryj (s + 3) i podstaw s = −3. Zachowaj każdy znak.
B = 12/((−2)(−2 + 3)) = 12/(−2) = −6
C = 12/((−3)(−3 + 2)) = 12/3 = 4
4
Z powrotem do czasu
Każdy wyraz to para z tablicy: 2/s ↔ 2, a B/(s + a) ↔ B·e−at.
Przy t = 0: 2 − 6 + 4 = 0. Twierdzenie o wartości początkowej się zgadza, ponieważ s·F(s) → 0 dla dużego s.
Dla t → ∞ zostaje tylko 2. Twierdzenie o wartości końcowej daje też 12/(2·3) = 2.
Odpowiedź
f(t) = 2 − 6e−2t + 4e−3t, więc f(0,5) ≈ 0,685.
6Typowe błędy
Mylenie twierdzeń: s → ∞ daje wartość początkową f(0⁺), a s → 0 daje wartość końcową f(∞).
Zapomnienie czynnika s w s·F(s) albo pominięcie czynnika zera, takiego jak (s + 2), przy podstawianiu s = 0.
Błędy znaków w regule zakrywania: przy s = −3 czynnik (s + 2) równa się −1, a nie 5.
Użycie pary sinusa bez dzielenia przez ω: ω/(s² + ω²) wymaga ω w liczniku.
Obliczanie sin ωt lub cos ωt na kalkulatorze ustawionym na stopnie. Kąt ωt jest w radianach.
Użycie twierdzenia o wartości końcowej, gdy f(t) nigdy się nie ustala, na przykład F(s) = 1/(s² + 4), czyli czysty sinus.
Samosprawdzenie F(s) = 6/((s + 1)(s + 3)). Ile wynosi współczynnik B przy e−3t według reguły zakrywania?
3
6
−2
−3
Odpowiedź: −3. Zakryj (s + 3) i podstaw s = −3 w reszcie: 6/(−3 + 1) = 6/(−2) = −3. Dodatnie 3 to błąd znaku (to współczynnik A przy e−t). Wynik −2 dzieli przez wartość bieguna zamiast przez pozostały czynnik.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: pary z tablicy i twierdzenia o wartościach. Odwracasz stałą, wykładniczą, t·e−at, sinus lub cosinus i obliczasz wartość albo znajdujesz f(0⁺), f(∞) lub nachylenie początkowe f′(0⁺).
Średnie: transformaty odwrotne metodą ułamków prostych. Znajdujesz jeden współczynnik A, odwracasz trzy proste bieguny s(s + a)(s + b), biegun wielokrotny albo bieguny zespolone przez uzupełnienie do kwadratu.
Trudne: równania różniczkowe i transmitancje, na przykład y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t) z danymi warunkami początkowymi. Znajdujesz y w danej chwili.
Na poziomie trudnym transformuj każdą pochodną razem z jej warunkami początkowymi:
ℒ{y′} = s·Y − y(0) ℒ{y″} = s²·Y − s·y(0) − y′(0)
Potem rozwiąż równanie algebraiczne względem Y(s) i odwróć je metodą ułamków prostych, jak w rozwiązanym przykładzie.
Sygnał f(t) ma transformatę Laplace’a F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)). Za pomocą twierdzenia o wartości końcowej znajdź wartość f(∞), do której zmierza f(t).
F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))
Oblicz f(∞)
Pokaż podpowiedzi
Twierdzenie o wartości końcowej: f(∞) = lim s·F(s) przy s → 0.
Najpierw sprawdź, czy wszystkie bieguny s·F(s) leżą w lewej półpłaszczyźnie, tak aby f(t) rzeczywiście się ustalało.
s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Transformata Laplace’a: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt zamienia pochodne na mnożenie przez s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Podstawowe pary: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), a przesunięcie s → s + σ mnoży funkcję czasu przez e−σt. Aby odwrócić wymierną F(s), rozłóż ją na ułamki proste: residuum prostego bieguna p wynosi A = [(s − p)·F(s)] przy s = p. Twierdzenie o wartości końcowej: f(∞) = lims→0 s·F(s), słuszne tylko wtedy, gdy wszystkie bieguny s·F(s) leżą w lewej półpłaszczyźnie. Twierdzenie o wartości początkowej: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Sprawdź, czy twierdzenie ma zastosowanie
Twierdzenie jest słuszne tylko wtedy, gdy f(t) się ustala; biegun na osi urojonej lub w prawej półpłaszczyźnie dałby zły wynik.
Bieguny s·F(s): s² + 2s + 23 = 0, wszystkie w lewej półpłaszczyźnie.
F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48). Jej transformata odwrotna ma postać f(t) = A·e−6t + B·e−8t. Znajdź współczynnik A metodą rozkładu na ułamki proste.
F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)
Oblicz A
Pokaż podpowiedzi
Rozłóż mianownik na czynniki: s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8).
Metoda zakrywania: A = [(s + 6)·F(s)] przy s = −6.
Przy s = −6: licznik 16, drugi czynnik 2.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Transformata Laplace’a: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt zamienia pochodne na mnożenie przez s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Podstawowe pary: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), a przesunięcie s → s + σ mnoży funkcję czasu przez e−σt. Aby odwrócić wymierną F(s), rozłóż ją na ułamki proste: residuum prostego bieguna p wynosi A = [(s − p)·F(s)] przy s = p. Twierdzenie o wartości końcowej: f(∞) = lims→0 s·F(s), słuszne tylko wtedy, gdy wszystkie bieguny s·F(s) leżą w lewej półpłaszczyźnie. Twierdzenie o wartości początkowej: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Rozłóż mianownik na czynniki
s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)
Metoda zakrywania
Pomnóż przez (s + 6) i podstaw s = −6: składnik z B znika.
A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8
Odpowiedź
A = 8
(B = −7, więc f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)
Przykład 3Trudny
Układ spełnia równanie y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t), przy y(0) = 5 i y′(0) = 0. W chwili t = 0 podano na wejście skok u(t) = 5. Za pomocą transformaty Laplace’a znajdź y(0,6).
Transformata Laplace’a: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt zamienia pochodne na mnożenie przez s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Podstawowe pary: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), a przesunięcie s → s + σ mnoży funkcję czasu przez e−σt. Aby odwrócić wymierną F(s), rozłóż ją na ułamki proste: residuum prostego bieguna p wynosi A = [(s − p)·F(s)] przy s = p. Twierdzenie o wartości końcowej: f(∞) = lims→0 s·F(s), słuszne tylko wtedy, gdy wszystkie bieguny s·F(s) leżą w lewej półpłaszczyźnie. Twierdzenie o wartości początkowej: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Przekształcenie równania
(s² + 7s + 10)·Y(s) = 5s + 35 + 150/s
Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5))
Ułamki proste
A = 150/(2·5) = 15
B = 100/((−2)·3) = −16,67
C = 100/((−5)·(−3)) = 6,667
Wynik
y(t) = 15 − 16,67·e−2t + 6,667·e−5t
y(0,6) = 10,31
Odpowiedź
y(0,6) = 10,31
Sprawdzenie: y(0) = A + B + C = 5.
Pytania i odpowiedzi
Transformaty Laplace’a: co to jest?
Obwody, silniki i zbiorniki opisują równania różniczkowe: wyjście zależy od własnej szybkości zmian. Bezpośrednie rozwiązywanie ich jest powolne.
Rozwiązujesz problem zwykłą algebrą w s, a potem przekładasz wynik z powrotem na czas. Ten ostatni krok to transformata odwrotna.
Transformaty Laplace’a: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Transformata Laplace’a: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt zamienia pochodne na mnożenie przez s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Podstawowe pary: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), a przesunięcie s → s + σ mnoży funkcję czasu przez e−σt. Aby odwrócić wymierną F(s), rozłóż ją na ułamki proste: residuum prostego bieguna p wynosi A = [(s − p)·F(s)] przy s = p. Twierdzenie o wartości końcowej: f(∞) = lims→0 s·F(s), słuszne tylko wtedy, gdy wszystkie bieguny s·F(s) leżą w lewej półpłaszczyźnie. Twierdzenie o wartości początkowej: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transformaty Laplace’a: jakie błędy są najczęstsze?
Przy s = 0 czynnik s² + 2s + 23 jest równy swojemu wyrazowi wolnemu 23.
Policz granicę przy s → 0, a nie podstawiaj s = 1.
To jest B, współczynnik przy e−8t. A należy do bieguna s = −6.
Transformaty Laplace’a: co ćwiczysz?
Łatwy: pary z tablic i twierdzenia o wartościach
Średni: transformata odwrotna metodą ułamków prostych
Trudny: równania różniczkowe i transmitancje
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.