Stabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowa: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Darmowe zadania z tematu Stabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowa z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: Tablica Routha i liczba biegunów, zakres K zapewniający stabilność, linia pierwiastkowa.

Darmowe zadanieŁatwy
s⁴16−2s³416s²??s¹?s⁰?

Wielomian charakterystyczny układu ze sprzężeniem zwrotnym to Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2. Zbuduj tablicę Routha i wyznacz, ile pierwiastków N wielomianu Q(s) leży w prawej półpłaszczyźnie.

Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2

Dokładna odpowiedź: liczba całkowita, bez zaokrąglania.

Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Stabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowaĆwicz teraz: Stabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowa5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. ŁatwyTablica Routha i liczba biegunów
  2. Średnizakres K zapewniający stabilność
  3. Trudnylinia pierwiastkowa

Jak rozwiązywać zadania: Stabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowa

  1. Zapisz wielomian charakterystyczny układu zamkniętego: mianownik 1 + K·G(s) = 0, po wymnożeniu.
  2. Wpisz współczynniki naprzemiennie w dwa pierwsze wiersze tablicy Routha i zbuduj pozostałe wiersze.
  3. Policz zmiany znaku w pierwszej kolumnie: każda to jeden biegun w prawej półpłaszczyźnie. Gdy w tablicy występuje K, żądaj, by każdy element pierwszej kolumny pozostał dodatni.
  4. Dla linii pierwiastkowej zaznacz bieguny i zera, odcinki osi rzeczywistej, asymptoty wychodzące ze środka asymptot oraz punkty rozgałęzienia, w których dK/ds = 0. Użyj K = 1/|G(s)| dla wzmocnienia w danym punkcie.

Typowe błędy

  • Wniosek, że układ jest stabilny, bo wszystkie współczynniki są dodatnie; dla wielomianu trzeciego stopnia lub wyższego to za mało.
  • Zapominanie o wyrazie wolnym obiektu po dodaniu K: przy trzech biegunach poza początkiem układu element s⁰ to abc + K.
  • Przyjmowanie środka odcinka między dwoma biegunami za punkt rozejścia, gdy w pobliżu jest trzeci biegun lub zero.
  • Używanie położeń biegunów bez znaków we wzorze na środek asymptot.

Najważniejsze wzory

Stabilność
wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego w lewej półpłaszczyźnie
tablica Routha, element s¹ wielomianu trzeciego stopnia
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
Pierwiastki w prawej półpłaszczyźnie
liczba zmian znaku w pierwszej kolumnie
Wielomian trzeciego stopnia s³ + a₂s² + a₁s + a₀
stabilny, gdy wszystkie a > 0 oraz a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
Równanie charakterystyczne
1 + K·G(s) = 0
Asymptoty
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Punkty rozejścia i zejścia
dK/ds = 0
Warunek modułu
K = 1/|G(s)|
Kąt wyjścia
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Naucz się tematu Stabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowa od zera

Wcześniej: Transformaty Laplace’a, Schematy blokowe

1Co oznacza stabilność

Układ jest stabilny, gdy każde ograniczone wejście daje ograniczone wyjście. Po zakłóceniu układ stabilny się ustala; niestabilny ucieka lub oscyluje ze wzrastającą amplitudą.

Zachowanie wyznaczają bieguny układu zamkniętego: pierwiastki jego wielomianu charakterystycznego. Biegun w s = p dodaje do odpowiedzi składnik ept.

ReIm−2−1 + j2−1 − j2+1Re < 0Re > 0
  • Biegun o ujemnej części rzeczywistej (lewa półpłaszczyzna) daje składnik, który zanika.
  • Biegun o dodatniej części rzeczywistej (prawa półpłaszczyzna) daje składnik, który rośnie bez ograniczeń.
  • Zatem układ jest stabilny tylko wtedy, gdy wszystkie bieguny leżą w lewej półpłaszczyźnie.
Samosprawdzenie Układ zamknięty ma bieguny w −3, −1 + j2, −1 − j2 oraz +0,5. Czy jest stabilny?
  1. Nie, biegun w +0,5 czyni go niestabilnym
  2. Nie, ponieważ bieguny zespolone zawsze czynią układ niestabilnym
  3. Tak, ponieważ bieguny zespolone mają ujemne części rzeczywiste
  4. Tak, ponieważ trzy z czterech biegunów leżą w lewej półpłaszczyźnie

Odpowiedź: Nie, biegun w +0,5 czyni go niestabilnym. Wystarczy jeden biegun w prawej półpłaszczyźnie: jego składnik e0,5t rośnie. Bieguny zespolone w lewej półpłaszczyźnie nie przeszkadzają; dają oscylację gasnącą.

2Tablica Routha

Dla wielomianu trzeciego stopnia lub wyższego trudno znaleźć pierwiastki ręcznie. Kryterium Routha–Hurwitza mówi, ile pierwiastków leży w prawej półpłaszczyźnie, bez ich wyznaczania.

Wpisz współczynniki naprzemiennie w dwa pierwsze wiersze. Dla s³ + a₂s² + a₁s + a₀:

s³: 1, a1 s²: a2, a0

Każdy nowy wiersz powstaje z dwóch wierszy powyżej. Dla wielomianu trzeciego stopnia element wiersza s¹ to:

b1 = (a2·a1 − 1·a0)/a2, s⁰: a0

Liczba zmian znaku w pierwszej kolumnie jest równa liczbie pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie.

Przykład: s³ + 2s² + 3s + 10. Pierwsza kolumna to 1, 2, (2·3 − 10)/2 = −2, 10. Znaki to +, +, −, +: dwie zmiany, więc dwa bieguny leżą w prawej półpłaszczyźnie.

Samosprawdzenie Dla s³ + 4s² + 5s + 2 jaki jest pierwszy element wiersza s¹?
  1. 18
  2. 4,5
  3. 5
  4. −4,5

Odpowiedź: 4,5. b₁ = (4·5 − 1·2)/4 = 18/4 = 4,5. Brak dzielenia przez 4 daje 18; zamiana iloczynów daje −4,5.

3Metoda krok po kroku

  1. Zapisz równanie charakterystyczne układu zamkniętego 1 + K·G(s) = 0 i wymnóż je do wielomianu.
  2. Wpisz współczynniki w dwa pierwsze wiersze tablicy Routha.
  3. Zbuduj pozostałe wiersze; zachowaj K jako symbol, jeśli występuje.
  4. Policz zmiany znaku w pierwszej kolumnie albo żądaj, by każdy element pierwszej kolumny był dodatni, aby znaleźć dopuszczalny zakres K.
  5. Przy granicznym wzmocnieniu wiersz s¹ jest zerowy. Wiersz s² daje wtedy równanie pomocnicze a·s² + b = 0, którego pierwiastki ±jω pokazują częstotliwość oscylacji.

Szybki test dla wielomianu trzeciego stopnia s³ + a₂s² + a₁s + a₀: jest stabilny dokładnie wtedy, gdy wszystkie współczynniki są dodatnie i a₂·a₁ > a₀.

4Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Pętla poniżej ma L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)). Dla jakich wzmocnień K układ zamknięty jest stabilny i z jaką częstotliwością oscyluje na granicy?

1

Przyjrzyj się pętli

R+K1/(s(s + 2)(s + 4))C−

Równanie charakterystyczne to 1 + L(s) = 0, więc s(s + 2)(s + 4) + K = 0.

2

Wymnóż

s³ + 6s² + 8s + K = 0
3

Zbuduj tablicę Routha

s³: 1, 8 s²: 6, K s¹: (48 − K)/6 s⁰: K

Element wiersza s¹ to (6·8 − 1·K)/6.

4

Utrzymaj pierwszą kolumnę dodatnią

Z wiersza s⁰: K > 0. Z wiersza s¹: 48 − K > 0, więc K < 48.

5

Częstotliwość na granicy

Przy K = 48 wiersz s¹ jest zerowy. Wiersz s² daje 6s² + 48 = 0, więc s² = −8.

ω = √8 = 2,83 rad/s
6

Sprawdź wynik

Przy K = 48 wielomian to s³ + 6s² + 8s + 48 = (s + 6)(s² + 8). Jego pierwiastki to −6 oraz ±j2,83, zgodnie z oczekiwaniem.

Odpowiedź

Układ jest stabilny dla 0 < K < 48; przy K = 48 oscyluje z pulsacją ω = 2,83 rad/s.

5Linia pierwiastkowa

Linia pierwiastkowa pokazuje, jak poruszają się bieguny układu zamkniętego, gdy K rośnie od 0 do ∞. Zaczyna się w biegunach układu otwartego (×), a kończy w zerach układu otwartego (○) lub w nieskończoności.

  • Punkt osi rzeczywistej leży na linii, gdy liczba biegunów i zer rzeczywistych na prawo od niego jest nieparzysta.
  • n − m gałęzi biegnących do nieskończoności zbliża się do asymptot nachylonych pod kątami (2q + 1)·180°/(n − m).
  • Asymptoty wychodzą ze środka asymptot σa = (Σ biegunów − Σ zer)/(n − m).
  • Gałęzie opuszczają oś rzeczywistą lub do niej wracają tam, gdzie dK/ds = 0, przy K = −1/G(s) na osi.
  • Wzmocnienie w dowolnym punkcie s linii to K = 1/|G(s)|, czyli iloczyn odległości od biegunów podzielony przez iloczyn odległości od zer.

Dla L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) środek asymptot to (0 − 2 − 4)/3 = −2, a asymptoty wychodzą pod kątami 60°, 180° i 300°.

ReIm0−2−460°

Punkt rozejścia między 0 a −2 wynika z dK/ds = 0: 3s² + 12s + 8 = 0, więc s = −0,845.

Samosprawdzenie Dla L(s) = K/((s + 1)(s + 5)) gdzie obie gałęzie opuszczają oś rzeczywistą?
  1. s = −1
  2. s = −2,5
  3. s = −3
  4. s = −6

Odpowiedź: s = −3. Przy dwóch biegunach rzeczywistych i braku zer K = −(s + 1)(s + 5) jest największe w połowie między nimi: dK/ds = −(2s + 6) = 0 daje s = −3.

6Typowe błędy

  • Uznawanie układu za stabilny, bo wszystkie jego współczynniki są dodatnie. Dla wielomianu trzeciego stopnia lub wyższego potrzebny jest też test Routha.
  • Zapominanie o wyrazie wolnym obiektu: dla K/((s + a)(s + b)(s + c)) współczynnik przy s⁰ to abc + K, a nie K.
  • Przyjmowanie środka odcinka między dwoma biegunami za punkt rozejścia, gdy trzeci biegun lub zero odciąga linię.
  • Pomijanie znaków w środku asymptot: czynnik (s + 4) to biegun w s = −4.
Samosprawdzenie Czy s³ + s² + 2s + 8 = 0 jest stabilnym równaniem charakterystycznym?
  1. Nie: a₂·a₁ = 2 jest mniejsze niż a₀ = 8
  2. Nie: wielomian trzeciego stopnia nigdy nie jest stabilny
  3. Tak: współczynniki nie zmieniają znaku
  4. Tak: wszystkie współczynniki są dodatnie

Odpowiedź: Nie: a₂·a₁ = 2 jest mniejsze niż a₀ = 8. Element wiersza s¹ to (1·2 − 8)/1 = −6, więc pierwsza kolumna 1, 1, −6, 8 dwukrotnie zmienia znak: dwa bieguny leżą w prawej półpłaszczyźnie. Dodatnie współczynniki nie wystarczają.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwy: tablica Routha i liczba biegunów. Liczysz bieguny w prawej półpłaszczyźnie wielomianu trzeciego lub czwartego stopnia, wyznaczasz jeden element tablicy, biegun układu zamkniętego dla obiektu pierwszego rzędu albo wzmocnienie, które umieszcza go w danym punkcie.
  • Średni: zakres K. Wyznaczasz największe stabilne wzmocnienie, częstotliwość oscylacji przy tym wzmocnieniu, najmniejsze wzmocnienie stabilizujące obiekt niestabilny albo o ile można zwiększyć wzmocnienie.
  • Trudny: linia pierwiastkowa. Wyznaczasz środek asymptot, przecięcie osi urojonej, punkty rozejścia i zejścia, kąt wyjścia z bieguna zespolonego albo wzmocnienie w danym punkcie lub dla danego współczynnika tłumienia.

Dla wzmocnienia przy danym współczynniku tłumienia zapisz wielomian charakterystyczny i porównaj go z s² + 2ζωns + ωn².

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
R(s)+K1s + 10C(s)−

Wzmocnienie proporcjonalne K steruje obiektem G(s) = 1/(s + 10) w pętli ze sprzężeniem jednostkowym. Wyznacz wzmocnienie K, przy którym biegun układu zamkniętego leży w s = −10,5.

G(s) = 1/(s + 10)p = −10,5

Oblicz K

Pokaż podpowiedzi
  1. Biegun układu zamkniętego jest pierwiastkiem równania s + 10 + 1K = 0.
  2. Podstaw s = −10,5 do tego równania.
  3. 1K = 10,5 − 10.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Kryterium Routha–Hurwitza: układ liniowy jest stabilny, gdy wszystkie pierwiastki jego wielomianu charakterystycznego leżą w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny s. Współczynniki wpisuje się naprzemiennie w dwa pierwsze wiersze tablicy Routha. Każdy element nowego wiersza powstaje z dwóch wierszy powyżej; dla wielomianu trzeciego stopnia a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ element w wierszu s¹ to b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Liczba zmian znaku w pierwszej kolumnie jest równa liczbie pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie. Gdy we współczynnikach występuje wzmocnienie K, każdy element pierwszej kolumny musi pozostać dodatni: wzmocnienie, przy którym element wiersza s¹ zeruje się, to granica stabilności, a wiersz s² daje wtedy częstotliwość drgań niegasnących.

Równanie charakterystyczne

s + 10 + 1K = 0

Wymagane wzmocnienie

−10,5 + 10 + 1K = 0 → K = (10,5 − 10)/1 = 0,5

Odpowiedź

K = 0,5
Przykład 2Średni
R(s)+Ks + 2(s − 4)(s + 1)C(s)−

Obiekt G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1)) ma biegun niestabilny w s = 4. Wzmocnienie proporcjonalne K zamyka wokół niego pętlę ze sprzężeniem jednostkowym. Wyznacz najmniejsze wzmocnienie Kmin, przy którym układ zamknięty jest stabilny.

G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1))

Oblicz Kmin

Pokaż podpowiedzi
  1. Wielomian charakterystyczny to (s − 4)(s + 1) + K(s + 2).
  2. s² + (-3 + K)s + (2K − 4).
  3. Wielomian drugiego stopnia jest stabilny, gdy oba współczynniki są dodatnie.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Kryterium Routha–Hurwitza: układ liniowy jest stabilny, gdy wszystkie pierwiastki jego wielomianu charakterystycznego leżą w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny s. Współczynniki wpisuje się naprzemiennie w dwa pierwsze wiersze tablicy Routha. Każdy element nowego wiersza powstaje z dwóch wierszy powyżej; dla wielomianu trzeciego stopnia a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ element w wierszu s¹ to b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Liczba zmian znaku w pierwszej kolumnie jest równa liczbie pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie. Gdy we współczynnikach występuje wzmocnienie K, każdy element pierwszej kolumny musi pozostać dodatni: wzmocnienie, przy którym element wiersza s¹ zeruje się, to granica stabilności, a wiersz s² daje wtedy częstotliwość drgań niegasnących.

Wielomian charakterystyczny

(s − 4)(s + 1) + K(s + 2) = s² + (-3 + K)s + (2K − 4)

Warunki

Dla s² + c₁s + c₀ wszystkie pierwiastki leżą w lewej półpłaszczyźnie dokładnie wtedy, gdy c₁ > 0 i c₀ > 0.

-3 + K > 0 → K > 3
2K − 4 > 0 → K > 2
Kmin = 3

Odpowiedź

Kmin = 3
Przykład 3Trudny
ReIm−2−4−6−8−10−12j2

Linia pierwiastkowa dla L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10)) opuszcza oś rzeczywistą między s = 0 a s = −4. Wyznacz punkt rozejścia sb.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))

Oblicz sb

Pokaż podpowiedzi
  1. Na osi rzeczywistej K = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s).
  2. Przyrównaj dK/ds = 0: 3s² + 28s + 40 = 0.
  3. Weź pierwiastek leżący między 0 a −4.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Linia pierwiastkowa: gdy wzmocnienie K rośnie od 0 do ∞, bieguny układu zamkniętego, czyli pierwiastki równania 1 + K·G(s) = 0, przesuwają się od biegunów układu otwartego do jego zer lub do nieskończoności. Punkt osi rzeczywistej należy do linii, gdy liczba biegunów i zer rzeczywistych na prawo od niego jest nieparzysta. n − m gałęzi biegnących do nieskończoności zbliża się do asymptot nachylonych pod kątami (2q + 1)·180°/(n − m), wychodzących ze środka asymptot σₐ = (Σ biegunów − Σ zer)/(n − m). Gałęzie opuszczają oś rzeczywistą lub do niej wracają tam, gdzie dK/ds = 0. Warunek kąta ∠G(s) = 180° wyznacza kształt, a warunek modułu K = 1/|G(s)| daje wzmocnienie w dowolnym punkcie linii.

Wzmocnienie wzdłuż osi rzeczywistej

K(s) = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s)

Punkty stacjonarne

dK/ds = −(3s² + 28s + 40) = 0
s = (−28 ± √(784 − 480))/6 = −1,761, −7,573

Wybierz punkt należący do linii

Linia leży na osi rzeczywistej między 0 a −4; drugi pierwiastek do niej nie należy.

sb = −1,761

Odpowiedź

sb = −1,761

Pytania i odpowiedzi

Stabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowa: co to jest?

Układ jest stabilny, gdy każde ograniczone wejście daje ograniczone wyjście. Po zakłóceniu układ stabilny się ustala; niestabilny ucieka lub oscyluje ze wzrastającą amplitudą.

Zachowanie wyznaczają bieguny układu zamkniętego: pierwiastki jego wielomianu charakterystycznego. Biegun w s = p dodaje do odpowiedzi składnik ept.

Stabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowa: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Zapisz wielomian charakterystyczny układu zamkniętego: mianownik 1 + K·G(s) = 0, po wymnożeniu.
  2. Wpisz współczynniki naprzemiennie w dwa pierwsze wiersze tablicy Routha i zbuduj pozostałe wiersze.
  3. Policz zmiany znaku w pierwszej kolumnie: każda to jeden biegun w prawej półpłaszczyźnie. Gdy w tablicy występuje K, żądaj, by każdy element pierwszej kolumny pozostał dodatni.
  4. Dla linii pierwiastkowej zaznacz bieguny i zera, odcinki osi rzeczywistej, asymptoty wychodzące ze środka asymptot oraz punkty rozgałęzienia, w których dK/ds = 0. Użyj K = 1/|G(s)| dla wzmocnienia w danym punkcie.
Stabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowa: jakie błędy są najczęstsze?
  • Wniosek, że układ jest stabilny, bo wszystkie współczynniki są dodatnie; dla wielomianu trzeciego stopnia lub wyższego to za mało.
  • Zapominanie o wyrazie wolnym obiektu po dodaniu K: przy trzech biegunach poza początkiem układu element s⁰ to abc + K.
  • Przyjmowanie środka odcinka między dwoma biegunami za punkt rozejścia, gdy w pobliżu jest trzeci biegun lub zero.
  • Używanie położeń biegunów bez znaków we wzorze na środek asymptot.
Stabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowa: co ćwiczysz?
  • Łatwy: Tablica Routha i liczba biegunów
  • Średni: zakres K zapewniający stabilność
  • Trudny: linia pierwiastkowa

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Transformaty Laplace’aSchematy blokowe

Kalkulatory

Kalkulator kryterium stabilności Routha–Hurwitza

Przedmioty z tym tematem

Automatyka 1Automatyka 2: projektowanie regulacji ze sprzężeniem zwrotnymPrzygotowanie do egzaminu FE Electrical and Computer

Więcej tematów: Elektrotechnika

Rezystory szeregowo i równolegleSuperpozycjaThévenin i NortonMetoda potencjałów węzłowychMetoda prądów oczkowychStany nieustalone RC i RLImpedancja i wskazy ACMoc AC i współczynnik mocyRezonans LC, dobroć i szerokość pasmaMoc w układach trójfazowychTransformatorySilniki prądu stałegoUkłady ze wzmacniaczami operacyjnymiDiody i tranzystoryPrzetwornice DC-DCLogika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiMostek Wheatstone’a i tensometryAkwizycja danych i próbkowanieTransformaty Laplace’aSchematy blokoweOdpowiedź skokowaWykresy Bodego i zapasyUchyb ustalony i regulacja PIDSplot i układy liniowe stacjonarne

Karta pracy do druku

Stabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowa: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Stabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowaĆwicz teraz: Stabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowa5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.