Moc AC i współczynnik mocy: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: moc czynna · moc bierna · moc pozorna · kompensacja mocy biernej

Darmowe zadania z tematu Moc AC i współczynnik mocy z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: P i Q odbiornika, prąd linii, kompensacja mocy biernej.

Darmowe zadanieŁatwy
PQ = ?S = V·Iφ

Odbiornik jednofazowy pobiera 11 A (skuteczne) z zasilania 240 V (skuteczne) przy współczynniku mocy 0,7 (indukcyjnym). Wyznacz moc bierną Q, którą pobiera.

V = 240 VI = 11 Apf = cos φ = 0,7
var
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Moc AC i współczynnik mocyĆwicz teraz: Moc AC i współczynnik mocy5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. ŁatwyP i Q odbiornika
  2. Średniprąd linii
  3. Trudnykompensacja mocy biernej

Najważniejsze wzory

Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Naucz się tematu Moc AC i współczynnik mocy od zera

Wcześniej: Impedancja i wskazy AC

1Czym jest moc w obwodach prądu przemiennego

W obwodzie prądu stałego moc to po prostu P = V·I. W obwodzie prądu przemiennego z cewką lub kondensatorem prąd jest przesunięty w czasie względem napięcia o kąt φ.

Z powodu tego przesunięcia część energii tylko krąży tam i z powrotem między źródłem a odbiornikiem. Nie wykonuje pożytecznej pracy, ale przewody nadal muszą przenosić związany z nią prąd.

Pomyśl o kuflu piwa. Piwo to część użyteczna, piana zajmuje miejsce, ale nie da się jej wypić, a kufel musi pomieścić jedno i drugie.

  • Moc czynna P, w watach (W): część użyteczna, która zamienia się w ciepło, światło lub ruch (piwo).
  • Moc bierna Q, w warach (var): część, która krąży tam i z powrotem (piana).
  • Moc pozorna S, w woltoamperach (VA): to, co muszą przenieść źródło i przewody (kufel).
Samosprawdzenie Który rodzaj mocy zamienia się w ciepło, światło lub pracę mechaniczną?
  1. Moc bierna Q, w var
  2. Moc czynna P, w W
  3. Moc pozorna S, w VA
  4. Wszystkie trzy jednakowo

Odpowiedź: Moc czynna P, w W. Tylko moc czynna P wykonuje pożyteczną pracę. Q tylko krąży tam i z powrotem, a S to całość, którą musi dostarczyć źródło.

2Trójkąt mocy i współczynnik mocy

Te trzy moce tworzą trójkąt prostokątny. Kąt φ jest taki sam jak kąt impedancji odbiornika.

PQSφ
S = V·I P = S·cos φ Q = S·sin φ
S = √(P² + Q²) Q = P·tan φ

Współczynnik mocy to cos φ = P/S. Mówi, jaka część mocy pozornej wykonuje pożyteczną pracę. Współczynnik mocy równy 1 jest idealny.

Silniki i inne cewki mają współczynnik mocy indukcyjny: prąd opóźnia się względem napięcia. Kondensatory dają współczynnik mocy pojemnościowy.

Samosprawdzenie Odbiornik pobiera 10 A ze źródła 230 V przy współczynniku mocy 0,8. Jaką moc czynną pobiera?
  1. 1380 W
  2. 1840 W
  3. 2300 W
  4. 2875 W

Odpowiedź: 1840 W. P = V·I·cos φ = 230·10·0,8 = 1840 W. 2300 W to moc pozorna S, 1380 W wynika z użycia sin φ = 0,6 zamiast cos φ, a 2875 W z dzielenia przez współczynnik mocy.

3Metoda krok po kroku

  1. Zapisz, co wiesz: V, I, P, współczynnik mocy cos φ oraz czy jest indukcyjny, czy pojemnościowy.
  2. Wyznacz kąt: φ = arccos(współczynnik mocy). Wtedy masz też sin φ i tg φ.
  3. Jeśli dane są V i I, zacznij od S = V·I. Potem P = S·cos φ i Q = S·sin φ.
  4. Jeśli dane jest P, użyj Q = P·tg φ i S = P / cos φ.
  5. Prąd w przewodzie obliczysz ze wzoru I = P / (V·cos φ), przy P w watach.

Narysuj trójkąt z liczbami, które znasz. Jedno spojrzenie pokaże, czy wynik ma właściwą wielkość: S jest zawsze najdłuższym bokiem.

4Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Jednofazowy silnik pobiera 4,6 kW przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym) ze źródła 230 V. Wyznacz prąd w przewodzie I i moc bierną Q.

1

Wyznacz kąt

φ = arccos(0,8) = 36,9°

Zatem sin φ = 0,6 i tg φ = 0,75.

2

Prąd linii

Pracę wykonuje tylko część czynna mocy, więc dziel przez współczynnik mocy. Użyj watów, nie kilowatów.

I = P / (V·cos φ) = 4600 / (230·0,8) = 25 A
3

Moc bierna

Q = P·tan φ = 4,6·0,75 = 3,45 kvar
4

Sprawdź wynik

4,6 kW3,45 kvar5,75 kVAφ

S = V·I = 230·25 = 5750 VA = 5,75 kVA. Wtedy Q = S·sin φ = 5,75·0,6 = 3,45 kvar, czyli ten sam wynik.

Także √(4,6² + 3,45²) = 5,75, więc trójkąt się zamyka.

Odpowiedź

I = 25 A i Q = 3,45 kvar.

5Kompensacja mocy biernej

Niski współczynnik mocy oznacza duży prąd przy tej samej mocy użytecznej. Kosztuje to pieniądze w postaci grubszych kabli i strat, dlatego często się go poprawia.

Kondensator połączony równolegle z odbiornikiem dostarcza moc bierną lokalnie. Moc czynna P pozostaje taka sama; zmniejsza się tylko moc bierna pobierana ze źródła.

QC = P·(tan φ1 − tan φ2)
12 kW16 kvarS1​φ1​7 kvar

Przykład: odbiornik 12 kW o współczynniku mocy 0,6 ma tg φ1 = 1,33, więc Q1 = 16 kvar. Aby osiągnąć 0,8 (tg φ2 = 0,75), może pobierać tylko Q2 = 9 kvar. Kondensator dostarcza 16 − 9 = 7 kvar.

Przy zasilaniu 400 V prąd maleje z 12000/(400·0,6) = 50 A do 12000/(400·0,8) = 37,5 A.

Pojemność wynika z QC = V²·ωC:

C = QC / (2π·f·V²)
Samosprawdzenie Odbiornik 20 kW ma tg φ1 = 1 i trzeba osiągnąć tg φ2 = 0,5. Jaką moc bierną musi dostarczyć kondensator?
  1. 10 kvar
  2. 20 kvar
  3. 30 kvar
  4. 40 kvar

Odpowiedź: 10 kvar. QC = P·(tg φ1 − tg φ2) = 20·(1 − 0,5) = 10 kvar. 20 kvar to cała dotychczasowa moc bierna, co skompensowałoby współczynnik mocy do 1.

6Typowe błędy

  • Mylenie cos φ i sin φ. P łączy się z cos φ, Q z sin φ.
  • Używanie kW razem z V i uzyskanie prądu 1000 razy za małego. Najpierw zamień na waty.
  • Mnożenie przez współczynnik mocy przy obliczaniu prądu. Prąd jest większy niż P/V, więc się dzieli.
  • Myślenie, że kondensator zmienia moc czynną. Zmienia tylko Q, a więc S i I.
Samosprawdzenie Odbiornik pobiera 2 kW przy współczynniku mocy 0,8 ze źródła 250 V. Jaki jest prąd w przewodzie?
  1. 0,01 A
  2. 10 A
  3. 6,4 A
  4. 8 A

Odpowiedź: 10 A. I = P/(V·cos φ) = 2000/(250·0,8) = 10 A. Pozostawienie P w kW daje 0,01 A, mnożenie przez współczynnik mocy daje 6,4 A, a 8 A pomija współczynnik mocy.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: odbiornik o danych V, I i współczynniku mocy. Wyznaczasz moc czynną P lub bierną Q.
  • Średnie: silnik o danej mocy P (w kW), współczynniku mocy i napięciu V. Wyznaczasz prąd w przewodzie I lub moc bierną Q.
  • Trudne: kompensacja mocy biernej. Wyznaczasz moc bierną kondensatora QC, jego pojemność C lub nowy prąd w przewodzie.

Aby obliczyć nowy prąd w przewodzie po kompensacji, użyj nowego współczynnika mocy: Inew = P / (V·cos φ2).

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
P = ?QS = V·Iφ

Odbiornik jednofazowy pobiera 9 A (skuteczne) z zasilania 400 V (skuteczne) przy współczynniku mocy 0,9 (indukcyjnym). Wyznacz moc czynną P, którą pobiera.

V = 400 VI = 9 Apf = cos φ = 0,9

Oblicz P (W)

Pokaż podpowiedzi
  1. Moc czynna, bierna i pozorna tworzą trójkąt prostokątny: P = S·cos φ, Q = S·sin φ i S = V·I, gdzie cos φ to współczynnik mocy.
  2. P = V·I·cos φ.
  3. S = 3600 VA, φ = 25,84°.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc pozorna i kąt

S = V·I = 400·9 = 3600 VA
φ = arccos(0,9) = 25,84°

Moc czynna

P = S·cos φ = 3600·0,9 = 3240 W

Odpowiedź

P = 3240 W
Przykład 2Średni
P = 35 kWQ = ?Sφ

Silnik jednofazowy pobiera 35 kW przy współczynniku mocy 0,7 (indukcyjnym) z zasilania 230 V. Wyznacz moc bierną Q, którą pobiera.

P = 35 kWpf = 0,7V = 230 V

Oblicz Q (kvar)

Pokaż podpowiedzi
  1. Moc czynna, bierna i pozorna tworzą trójkąt prostokątny: P = S·cos φ, Q = S·sin φ i S = V·I, gdzie cos φ to współczynnik mocy.
  2. Q = P·tan φ.
  3. φ = 45,57°.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Kąt

φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02

Moc bierna

Q = P·tan φ = 35·1,02 = 35,71 kvar

Odpowiedź

Q = 35,71 kvar
Przykład 3Trudny
P = 45 kWQ1​S1​φ1​QC​

Odbiornik jednofazowy pobiera 45 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z zasilania 240 V, 50 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,95. Wyznacz nowy prąd linii Inew.

P = 45 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,95V = 240 Vf = 50 Hz

Oblicz Inew (A)

Pokaż podpowiedzi
  1. Moc czynna, bierna i pozorna tworzą trójkąt prostokątny: P = S·cos φ, Q = S·sin φ i S = V·I, gdzie cos φ to współczynnik mocy.
  2. Kondensator dostarcza QC = P·(tan φ₁ − tan φ₂) i nie zmienia P.
  3. QC = 37,82 kvar.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(49,46°) = 52,61 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(18,19°) = 14,79 kvar
QC = Q1 − Q2 = 37,82 kvar

Nowy prąd linii

Inew = P/(V·cos φ2) = 45000/(240·0,95) = 197,4 A

Odpowiedź

Inew = 197,4 A

Pytania i odpowiedzi

Moc AC i współczynnik mocy: co to jest?

W obwodzie prądu stałego moc to po prostu P = V·I. W obwodzie prądu przemiennego z cewką lub kondensatorem prąd jest przesunięty w czasie względem napięcia o kąt φ.

Z powodu tego przesunięcia część energii tylko krąży tam i z powrotem między źródłem a odbiornikiem. Nie wykonuje pożytecznej pracy, ale przewody nadal muszą przenosić związany z nią prąd.

Moc AC i współczynnik mocy: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc AC i współczynnik mocy: co ćwiczysz?
  • Łatwy: P i Q odbiornika
  • Średni: prąd linii
  • Trudny: kompensacja mocy biernej

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Impedancja i wskazy AC

Potem przejdź do

Moc w układach trójfazowych

Kalkulatory

Kalkulator kompensacji mocy biernej

Przedmioty z tym tematem

Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennegoPodstawy elektrotechnikiSystemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczneEnergoelektronika i napędyPrzygotowanie do egzaminu FE Electrical and Computer

Więcej tematów: Elektrotechnika

Rezystory szeregowo i równolegleSuperpozycjaThévenin i NortonMetoda potencjałów węzłowychMetoda prądów oczkowychStany nieustalone RC i RLImpedancja i wskazy ACRezonans LC, dobroć i szerokość pasmaMoc w układach trójfazowychTransformatorySilniki prądu stałegoUkłady ze wzmacniaczami operacyjnymiDiody i tranzystoryPrzetwornice DC-DCLogika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiMostek Wheatstone’a i tensometryAkwizycja danych i próbkowanieTransformaty Laplace’aSchematy blokoweOdpowiedź skokowaWykresy Bodego i zapasyStabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowaUchyb ustalony i regulacja PIDSplot i układy liniowe stacjonarne

Karta pracy do druku

Moc AC i współczynnik mocy: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Moc AC i współczynnik mocyĆwicz teraz: Moc AC i współczynnik mocy5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.