Odpowiedź skokowa: zadania z rozwiązaniami krok po kroku
Darmowe zadania z tematu Odpowiedź skokowa z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: układy pierwszego rzędu, parametry układów drugiego rzędu, układy fizyczne i projektowanie.
Darmowe zadanieŁatwy
Nienaładowany kondensator C = 47 µF jest ładowany ze źródła skokowego 5 V przez rezystor R = 4,7 kΩ. Znajdź napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 220,9 ms.
Skok to wymuszenie, które w chwili t = 0 skacze od 0 do stałej wartości i na niej pozostaje. Pomyśl o włączeniu grzejnika albo wciśnięciu pedału gazu i przytrzymaniu go.
Odpowiedź skokowa mówi, jak wyjście za nim podąża. Nie może skoczyć od razu: zmierza do nowej wartości końcowej y(∞) i tam się ustala.
Krzywa a rośnie gładko i nigdy nie przeregulowuje. To układ pierwszego rzędu, jak obwód RC lub ogrzewany zbiornik.
Krzywa b przeregulowuje, kilka razy się wychyla, a potem ustala. To układ drugiego rzędu podtłumiony, jak zawieszenie samochodu lub masa na sprężynie.
Wartość końcowa wynika ze wzmocnienia statycznego G(0): skok o wartości U ustala się na y(∞) = G(0)·U. To twierdzenie o wartości końcowej z transformat Laplace’a.
Samosprawdzenie Układ G(s) = 3/(2s + 1) otrzymuje skok o wartości 4. Ile wynosi wartość końcowa y(∞)?
12
3
4
6
Odpowiedź: 12. G(0) = 3/(0 + 1) = 3, więc y(∞) = 3·4 = 12. Wartość 4 pomija wzmocnienie, 3 pomija wartość skoku, a 6 dzieli przez 2 w 2s, które znika przy s = 0.
2Układy pierwszego rzędu
Układ pierwszego rzędu ma postać standardową poniżej. K to wzmocnienie statyczne, a τ stała czasowa w sekundach.
G(s) = K/(τs + 1) y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)
Jeśli G(s) jest zapisane jako b/(s + a), podziel licznik i mianownik przez a. Wtedy K = b/a i τ = 1/a.
Po 1τ wyjście wykonało 63% swojej zmiany, po 3τ 95%, po 5τ ponad 99%.
Czas osiągnięcia ułamka x wartości końcowej: t = −τ·ln(1 − x). Dla 90% t = τ·ln 10 = 2,3τ.
Czas narastania 10–90% to tr = τ·ln 9 ≈ 2,2τ.
Dla obwodu RC τ = R·C. Zwróć uwagę, że kΩ razy µF daje milisekundy.
Jeśli zmierzysz odpowiedź, możesz znaleźć τ wstecz. Jeśli wyjście osiągnęło ułamek x w czasie t, to τ = −t/ln(1 − x).
Przykład krok po kroku
G(s) = 10/(s + 5) otrzymuje skok o wartości 2 w chwili t = 0. Znajdź wartość końcową i czas osiągnięcia 90% tej wartości.
1
Postać standardowa
Podziel licznik i mianownik przez 5:
G(s) = 2/(0,2s + 1) ⇒ K = 2, τ = 0,2 s
2
Wartość końcowa
y(∞) = K·U = 2·2 = 4
3
Czas do 90%
Rozwiąż 1 − e−t/τ = 0,9, więc e−t/τ = 0,1:
t = −τ·ln(0,1) = 0,2·2,303 = 0,461 s
Odpowiedź
y(∞) = 4, a wyjście osiąga 90% po t ≈ 0,461 s.
Samosprawdzenie Ile wynosi stała czasowa G(s) = 10/(s + 5)?
0,2 s
10 s
2 s
5 s
Odpowiedź: 0,2 s. Zapisana jako 2/(0,2s + 1), stała czasowa to τ = 1/5 = 0,2 s. Wartość 5 s myli τ z a, a 2 to wzmocnienie K, a nie czas.
3Układy drugiego rzędu
Układ drugiego rzędu ma mianownik kwadratowy. Porównaj go z postacią standardową:
G(s) = K/(s² + 2ζωns + ωn²)
Wyraz stały to ωn², więc częstość drgań własnych to ωn = √(wyraz stały), w rad/s.
Współczynnik przy s to 2ζωn, więc współczynnik tłumienia to ζ = (współczynnik przy s)/(2ωn).
Dla 0 < ζ < 1 odpowiedź przeregulowuje i oscyluje. Mniejsze ζ oznacza większe przeregulowanie.
Dla skoku jednostkowego wartość końcowa to G(0) = K/ωn². Pięć liczb opisuje kształt odpowiedzi:
ωd to częstość drgań tłumionych: jak szybko odpowiedź oscyluje.
tp to czas szczytu, gdy wyjście jest najwyższe. %OS to przeregulowanie procentowe ponad wartość końcową.
ts to czas ustalania, po którym wyjście pozostaje w granicach 2% wartości końcowej.
Dwa bieguny to s = σ ± jωd, gdzie część rzeczywista σ = −ζωn. Ich odległość od początku układu to ωn, a cos θ = ζ.
Samosprawdzenie Układ ma mianownik s² + 4s + 25. Ile wynosi współczynnik tłumienia ζ?
0,08
0,4
0,8
2
Odpowiedź: 0,4. ωn = √25 = 5, a 2ζωn = 4 daje ζ = 4/(2·5) = 0,4. Wynik 0,8 pomija 2, 0,08 dzieli przez ωn² zamiast przez ωn, a 2 to ζωn.
4Metoda krok po kroku
Ustal rząd: mianownik stopnia 1 to układ pierwszego rzędu, stopnia 2 drugiego rzędu.
Pierwszy rząd: zapisz G(s) jako K/(τs + 1) i odczytaj K i τ.
Drugi rząd: porównaj mianownik z s² + 2ζωns + ωn². Najpierw znajdź ωn, potem ζ.
Znajdź wartość końcową y(∞) = G(0)·U.
Zastosuj wzór na to, o co pytają: y(t), czas, tp, %OS, ts lub σ.
Sprawdź jednostki: czasy w sekundach, ω w rad/s, a kąt we wzorach z e… i π w radianach.
5Przykład krok po kroku
To typowe zadanie średnie. Spróbuj każdego kroku, zanim go otworzysz.
Przykład krok po kroku
G(s) = 16/(s² + 4s + 16) otrzymuje skok jednostkowy. Znajdź ζ, ωn, przeregulowanie procentowe i czas szczytu.
1
Częstotliwość drgań własnych
Wyraz stały to ωn² = 16.
ωn = √16 = 4 rad/s
2
Współczynnik tłumienia
Współczynnik przy s to 2ζωn = 4.
ζ = 4/(2·4) = 0,5
ζ leży między 0 a 1, więc odpowiedź przeregulowuje.
3
Przeregulowanie procentowe
ζπ/√(1 − ζ²) = 0,5·π/√0,75 = 1,814
%OS = 100·e−1,814 = 16,3%
4
Czas szczytu
ωd = 4·√(1 − 0,25) = 3,464 rad/s
tp = π/3,464 = 0,907 s
5
Sprawdź wynik
Wartość końcowa to G(0) = 16/16 = 1, więc szczyt wynosi około 1,163. Rysunek w poprzedniej sekcji dotyczy tego samego układu.
Czas ustalania 4/(ζωn) = 4/2 = 2 s jest późniejszy niż szczyt, tak jak być musi.
Odpowiedź
ωn = 4 rad/s, ζ = 0,5, %OS ≈ 16,3% oraz tp ≈ 0,907 s.
6Typowe błędy
Traktowanie narastania jako liniowego. Funkcja wykładnicza osiąga 90% po 2,3τ, a nie po 0,9τ: użyj t = −τ·ln(1 − x).
Użycie ln(x) zamiast ln(1 − x). Logarytm dotyczy części, której jeszcze brakuje.
Odczytanie τ = a z b/(s + a). Stała czasowa to 1/a.
Użycie ωn² jako ωn. Weź pierwiastek kwadratowy z wyrazu stałego.
Pominięcie 2 w 2ζωn albo użycie ωn zamiast ωd w tp = π/ωd.
Podanie przeregulowania jako ułamka (0,163), gdy pytano o procent (16,3%).
Samosprawdzenie G(s) = 2/(s + 4) otrzymuje skok. Ile czasu zajmuje wyjściu osiągnięcie 90% wartości końcowej?
0,026 s
0,225 s
0,576 s
9,21 s
Odpowiedź: 0,576 s. τ = 1/4 = 0,25 s, a t = −0,25·ln(0,1) = 0,576 s. Wynik 0,225 s traktuje narastanie jako liniowe (0,9τ). Wynik 0,026 s używa ln(0,9) zamiast ln(0,1). Wynik 9,21 s używa a = 4 zamiast τ.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: układy pierwszego rzędu. Znajdujesz y(∞), wyjście w danej chwili, czas osiągnięcia procentu, τ z zmierzonego punktu albo czas ładowania obwodu RC.
Średnie: parametry drugiego rzędu. Z G(s) = K/(s² + a₁s + a₀) znajdujesz ζ, ωn, %OS, tp, ts lub część rzeczywistą σ biegunów.
Trudne: układy fizyczne i projektowanie. Układ masa–sprężyna–tłumik lub obwód RLC albo ζ i ωn wyznaczone wstecz ze zmierzonego przeregulowania i czasu szczytu.
Dla masy m, tłumika c i sprężyny k równanie m·x″ + c·x′ + k·x = F daje:
ωn = √(k/m) ζ = c/(2√(k·m)) x(∞) = F/k
Aby wyznaczyć wstecz z przeregulowania, rozwiąż wzór na %OS względem ζ:
Układ pierwszego rzędu G(s) = 2/(2s + 1) otrzymuje w chwili t = 0 wymuszenie skokowe o wielkości 2, startując ze stanu spoczynku. Znajdź wartość końcową y(∞) wyjścia.
G(s) = 2/(2s + 1)U = 2
Oblicz y(∞)
Pokaż podpowiedzi
Twierdzenie o wartości końcowej: y(∞) = lim s·G(s)·U/s = G(0)·U.
G(0) to wzmocnienie statyczne.
G(0) = 2.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź skokowa: układ pierwszego rzędu G(s) = K/(τs + 1) odpowiada na skok o wielkości U przebiegiem y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): po jednej stałej czasowej τ osiąga 63,2 % wartości końcowej K·U, a po 4τ 98 %. Układ drugiego rzędu G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) ma bieguny s = −ζωₙ ± jωd, gdzie ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Dla 0 < ζ < 1 odpowiedź skokowa ma przeregulowanie: przeregulowanie procentowe %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), czas szczytu tp = π/ωd, a 2-procentowy czas ustalania ts ≈ 4/(ζωₙ). Porównaj mianownik z s² + 2ζωₙs + ωₙ², aby odczytać ωₙ i ζ. Dla układu masa–sprężyna–tłumik ωₙ = √(k/m) i ζ = c/(2√(km)); dla szeregowego obwodu RLC ωₙ = 1/√(LC) i ζ = (R/2)·√(C/L).
Wzmocnienie statyczne
G(0) = 2
Wartość końcowa
y(∞) = G(0)·U = 2·2 = 4
Odpowiedź
y(∞) = 4
Przykład 2Średni
Układ ma transmitancję G(s) = 213/(s² + 8s + 71) i otrzymuje jednostkowe wymuszenie skokowe. Znajdź przeregulowanie procentowe %OS odpowiedzi skokowej.
G(s) = 213/(s² + 8s + 71)
Oblicz %OS(%)
Pokaż podpowiedzi
Porównaj mianownik z s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ = √71 = 8,426 rad/s, ζ = 8/(2ωₙ).
ζ = 0,4747.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź skokowa: układ pierwszego rzędu G(s) = K/(τs + 1) odpowiada na skok o wielkości U przebiegiem y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): po jednej stałej czasowej τ osiąga 63,2 % wartości końcowej K·U, a po 4τ 98 %. Układ drugiego rzędu G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) ma bieguny s = −ζωₙ ± jωd, gdzie ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Dla 0 < ζ < 1 odpowiedź skokowa ma przeregulowanie: przeregulowanie procentowe %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), czas szczytu tp = π/ωd, a 2-procentowy czas ustalania ts ≈ 4/(ζωₙ). Porównaj mianownik z s² + 2ζωₙs + ωₙ², aby odczytać ωₙ i ζ. Dla układu masa–sprężyna–tłumik ωₙ = √(k/m) i ζ = c/(2√(km)); dla szeregowego obwodu RLC ωₙ = 1/√(LC) i ζ = (R/2)·√(C/L).
Porównaj z postacią standardową
Mianownik musi odpowiadać s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 71 → ωₙ = 8,426 rad/s
2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·8,426) = 0,4747
Wynik
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1,694 = 18,37 %
Odpowiedź
%OS = 18,37 %
Przykład 3Trudny
Masa m = 2,5 kg wisi na sprężynie k = 800 N/m z tłumikiem lepkim c = 9 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). W spoczynku w położeniu równowagi nagle przyłożono stałą siłę F = 10 N. Znajdź czas tp, w którym wychylenie jest największe.
m = 2,5 kgk = 800 N/mc = 9 N·s/mF = 10 N
Oblicz tp(s)
Pokaż podpowiedzi
Podziel przez m: x″ + (c/m)·x′ + (k/m)·x = F/m, więc ωₙ = √(k/m) i ζ = c/(2√(km)).
ωₙ = 17,89 rad/s, ζ = 0,1006.
Wychylenie końcowe wynosi F/k = 12,5 mm.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź skokowa: układ pierwszego rzędu G(s) = K/(τs + 1) odpowiada na skok o wielkości U przebiegiem y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): po jednej stałej czasowej τ osiąga 63,2 % wartości końcowej K·U, a po 4τ 98 %. Układ drugiego rzędu G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) ma bieguny s = −ζωₙ ± jωd, gdzie ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Dla 0 < ζ < 1 odpowiedź skokowa ma przeregulowanie: przeregulowanie procentowe %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), czas szczytu tp = π/ωd, a 2-procentowy czas ustalania ts ≈ 4/(ζωₙ). Porównaj mianownik z s² + 2ζωₙs + ωₙ², aby odczytać ωₙ i ζ. Dla układu masa–sprężyna–tłumik ωₙ = √(k/m) i ζ = c/(2√(km)); dla szeregowego obwodu RLC ωₙ = 1/√(LC) i ζ = (R/2)·√(C/L).
Pulsacja własna i współczynnik tłumienia
ωₙ = √(k/m) = √(800/2,5) = 17,89 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 9/(2·√(800·2,5)) = 0,1006
Wynik
ωd = 17,8 rad/s
tp = π/ωd = 0,1765 s
Odpowiedź
tp = 0,1765 s
Pytania i odpowiedzi
Odpowiedź skokowa: co to jest?
Krzywa a rośnie gładko i nigdy nie przeregulowuje. To układ pierwszego rzędu, jak obwód RC lub ogrzewany zbiornik.
Krzywa b przeregulowuje, kilka razy się wychyla, a potem ustala. To układ drugiego rzędu podtłumiony, jak zawieszenie samochodu lub masa na sprężynie.
Odpowiedź skokowa: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Odpowiedź skokowa: układ pierwszego rzędu G(s) = K/(τs + 1) odpowiada na skok o wielkości U przebiegiem y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): po jednej stałej czasowej τ osiąga 63,2 % wartości końcowej K·U, a po 4τ 98 %. Układ drugiego rzędu G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) ma bieguny s = −ζωₙ ± jωd, gdzie ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Dla 0 < ζ < 1 odpowiedź skokowa ma przeregulowanie: przeregulowanie procentowe %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), czas szczytu tp = π/ωd, a 2-procentowy czas ustalania ts ≈ 4/(ζωₙ). Porównaj mianownik z s² + 2ζωₙs + ωₙ², aby odczytać ωₙ i ζ. Dla układu masa–sprężyna–tłumik ωₙ = √(k/m) i ζ = c/(2√(km)); dla szeregowego obwodu RLC ωₙ = 1/√(LC) i ζ = (R/2)·√(C/L).
Odpowiedź skokowa: jakie błędy są najczęstsze?
Wyjście ustala się na K·U, a nie na U: wzmocnienie statyczne to G(0) = 2.
Podaj przeregulowanie w procentach: pomnóż przez 100.
Wykładnik to −ζπ/√(1 − ζ²).
Odpowiedź skokowa: co ćwiczysz?
Łatwy: układy pierwszego rzędu
Średni: parametry układów drugiego rzędu
Trudny: układy fizyczne i projektowanie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.