Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Darmowe zadania z tematu Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: częstotliwość drgań własnych, Q i energia, szeregowy i równoległy RLC, projektowanie, straty i zanikanie.

Darmowe zadanieŁatwy
C = ?L = 4,7 mH

Obwód LC z L = 4,7 mH ma rezonować przy 50 kHz. Wyznacz pojemność C w nF.

L = 4,7 mHf0 = 50 kHz
nF
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaĆwicz teraz: Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwyczęstotliwość drgań własnych, Q i energia
  2. Średniszeregowy i równoległy RLC
  3. Trudnyprojektowanie, straty i zanikanie

Jak rozwiązywać zadania: Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

  1. Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
  2. Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
  3. Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
  4. W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.

Typowe błędy

  • Mylenie ω₀ (rad/s) z f₀ (Hz): różnią się o 2π.
  • Użycie wzoru na Q dla obwodu szeregowego w obwodzie równoległym, gdzie większe R oznacza wyższe Q.
  • Umieszczanie f₀ w połowie między f₁ i f₂: to ich średnia geometryczna √(f₁f₂).
  • Zapominanie o przeliczeniu µH, nF i pF na H i F.

Najważniejsze wzory

Częstotliwość drgań własnych
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energia
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy
Imax = V0√(C/L)
Dobroć
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Częstotliwości połowy mocy
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy
e−Rt/(2L)

Naucz się tematu Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma od zera

Wcześniej: Impedancja i wskazy AC

1Co dzieje się w obwodzie LC

Naładuj kondensator i połącz go z cewką. Kondensator wymusza przepływ prądu przez cewkę. Prąd buduje pole magnetyczne, a gdy kondensator jest rozładowany, pole podtrzymuje prąd, więc kondensator ładuje się w przeciwną stronę. Potem wszystko biegnie z powrotem.

C+−Li

Energia przepływa między polem elektrycznym C (½Cv²) a polem magnetycznym L (½Li²), tak jak wahadło przechodzi między wysokością a prędkością. Bez rezystancji całkowita energia ½CV0² pozostaje stała.

Samosprawdzenie W chwili, gdy napięcie na kondensatorze wynosi zero, gdzie znajduje się energia idealnego obwodu LC?
  1. Cała w cewce, a prąd ma wartość szczytową
  2. Cała w kondensatorze
  3. Połowa w C i połowa w L
  4. Została utracona w postaci ciepła

Odpowiedź: Cała w cewce, a prąd ma wartość szczytową. Przy v = 0 kondensator magazynuje ½Cv² = 0, więc cała energia ½Li² jest w cewce: prąd jest maksymalny. Idealny obwód nie ma rezystancji, więc nic nie jest tracone.

2Częstotliwość drgań własnych

Obwód drga z częstotliwością, przy której reaktancje L i C są równe, ωL = 1/(ωC):

ω0 = 1/√(LC) f0 = ω0/(2π) = 1/(2π√(LC))

Dla L = 10 mH i C = 1 µF: LC = 10⁻⁸ s², ω0 = 10 000 rad/s i f0 = 1592 Hz. Energia przechodzi z C do L w ciągu ćwierci okresu T = 1/f0.

Energia daje też prąd szczytowy: ½CV0² = ½LImax², więc Imax = V0√(C/L).

Samosprawdzenie Co dzieje się z f0, gdy podwoisz C?
  1. Maleje o połowę
  2. Podwaja się
  3. Rośnie √2 razy
  4. Spada do f0/√2, czyli do około 0,71·f0

Odpowiedź: Spada do f0/√2, czyli do około 0,71·f0. f0 jest proporcjonalne do 1/√C, więc podwojenie C dzieli je przez √2. Zmniejsza się o połowę dopiero wtedy, gdy C jest cztery razy większe.

3Dobroć i szerokość pasma

Rzeczywiste obwody tracą energię na rezystancji. Dobroć Q porównuje energię zgromadzoną ze stratą: Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Wysoka dobroć daje ostry pik rezonansowy.

f|I|0,707f0​f1​f2​BW

Szerokość pasma to szerokość piku między częstotliwościami połowy mocy f1 i f2, przy których prąd wynosi 0,707 wartości szczytowej:

BW = f2 − f1 = f0/Q f0 = √(f1·f2)
  • Szeregowy RLC: Q = (1/R)·√(L/C) i BW = R/(2πL). Mała rezystancja szeregowa daje wysoką dobroć.
  • Równoległy RLC: Q = R·√(C/L) i BW = 1/(2πRC). Duża rezystancja równoległa daje wysoką dobroć.

4Metoda krok po kroku

  1. Zamień L i C na H i F, a potem wyznacz ω0 = 1/√(LC) i f0 = ω0/(2π).
  2. Ustal, czy R jest połączone szeregowo, czy równolegle, i użyj odpowiedniego wzoru na Q.
  3. Wyznacz szerokość pasma BW = f0/Q.
  4. Częstotliwości połowy mocy wyznacz ze wzoru f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)); dla wysokiej dobroci bliskie przybliżenie daje f0 ∓ BW/2.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Szeregowy obwód RLC ma R = 10 Ω, L = 10 mH i C = 1 µF. Wyznacz jego częstotliwość rezonansową, dobroć, szerokość pasma i częstotliwości połowy mocy.

1

Przyjrzyj się obwodowi

RLC

Wszystkie trzy elementy przewodzą ten sam prąd, więc to obwód szeregowy.

2

Częstotliwość rezonansowa

f0 = 1/(2π√(0,01·10⁻⁶)) = 1/(2π·10⁻⁴) = 1592 Hz
3

Dobroć

Q = (1/10)·√(0,01/10⁻⁶) = (1/10)·100 = 10
4

Pasmo przenoszenia

BW = f0/Q = 1592/10 = 159,2 Hz

Sprawdzenie: R/(2πL) = 10/(2π·0,01) = 159,2 Hz.

5

Częstotliwości połowy mocy

f1,2 = 1592·(√(1 + 1/400) ∓ 0,05) = 1514 Hz i 1673 Hz

Sprawdzenie: 1673 − 1514 = 159 Hz oraz √(1514·1673) = 1592 Hz.

Odpowiedź

f0 = 1,59 kHz, Q = 10, BW = 159 Hz, f1 = 1,51 kHz i f2 = 1,67 kHz.

6Typowe błędy

  • Mylenie ω0 w rad/s z f0 w Hz: różnią się o 2π.
  • Użycie wzoru na Q dla obwodu szeregowego w obwodzie równoległym.
  • Umieszczanie f0 w połowie między f1 i f2: to ich średnia geometryczna.
  • Zapominanie o przeliczeniu mH, µH, nF i pF na H i F.
Samosprawdzenie Równoległy obwód RLC ma R = 10 kΩ, L = 10 mH i C = 1 µF. Ile wynosi jego Q?
  1. 0,01
  2. 10 000
  3. 100
  4. 1

Odpowiedź: 100. W obwodzie równoległym Q = R·√(C/L) = 10 000·√(10⁻⁴) = 100. Wzór szeregowy (1/R)·√(L/C) daje 0,01, a pominięcie pierwiastka daje 1.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: częstotliwość drgań własnych, Q i energia. Wyznaczasz f0 lub C dla zadanej f0, szerokość pasma z Q lub Q z szerokości pasma, zgromadzoną energię albo prąd szczytowy.
  • Średnie: szeregowy i równoległy RLC. Wyznaczasz Q lub szerokość pasma obwodu szeregowego lub równoległego, dokładną częstotliwość połowy mocy, czas przepływu energii z C do L albo energię w L przy danym napięciu na kondensatorze.
  • Trudne: projektowanie, straty i zanikanie. Dobierasz R dla zadanej szerokości pasma lub C dla filtra, wyznaczasz energię traconą w jednym cyklu, rezystancję dynamiczną obwodu rezonansowego, liczbę cykli do zmniejszenia amplitudy o połowę albo Q z dwóch częstotliwości połowy mocy.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
C = ?L = 47 µH

Obwód LC z L = 47 µH ma rezonować przy 500 kHz. Wyznacz pojemność C w nF.

L = 47 µHf0 = 500 kHz

Oblicz C (nF)

Pokaż podpowiedzi
  1. f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. C = 1/(ω₀²·L).
  3. ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Rezonans LC: naładowany kondensator połączony z cewką wymusza prąd, który ładuje go w przeciwną stronę: energia przepływa między polem elektrycznym C (½Cv²) a polem magnetycznym L (½Li²) z częstotliwością drgań własnych f0 = 1/(2π√(LC)). Bez rezystancji całkowita energia ½CV0² jest stała, więc prąd szczytowy wynosi Imax = V0√(C/L). Jeden okres to T = 1/f0; energia przechodzi z C do L w ciągu jego ćwierci.

Pulsacja

ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s

Pojemność

C = 1/(ω₀²L) = 1/(9,87 × 10¹²·4,7 × 10⁻⁵) = 2,156 × 10⁻⁹ F = 2,156 nF

Odpowiedź

C = 2,156 nF
Przykład 2Średni
V2 Ω2,2 mH220 nF

Szeregowy obwód RLC ma R = 2 Ω, L = 2,2 mH i C = 220 nF. Wyznacz jego szerokość pasma BW w Hz.

R = 2 ΩL = 2,2 mHC = 220 nF

Oblicz BW (Hz)

Pokaż podpowiedzi
  1. Szerokość pasma to f₀/Q.
  2. Dla szeregowego RLC upraszcza się to do BW = R/(2πL): C odpada.
  3. R/L = 909,1 rad/s.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f1 i f2 (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f2 − f1 = f0/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f0 = √(f1f2), a f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e−Rt/(2L).

Szerokość pasma w rad/s

R/L = 2/0,0022 = 909,1 rad/s

Szerokość pasma w Hz

BW = 909,1/(2π) = 144,7 Hz = 144,7 Hz

Odpowiedź

BW = 144,7 Hz

Dla f₀ = 7,234 kHz daje to Q = 50.

Przykład 3Trudny
C = 10 nFr = 0,5 ΩL = 47 µH

Równoległy obwód rezonansowy składa się z kondensatora 10 nF i cewki 47 µH o rezystancji uzwojenia 0,5 Ω. W rezonansie zachowuje się jak rezystor o rezystancji dynamicznej RD = L/(C·r). Wyznacz RD w kΩ.

L = 47 µHC = 10 nFr = 0,5 Ω

Oblicz RD (kΩ)

Pokaż podpowiedzi
  1. W rezonansie obwód pobiera tylko mały prąd, więc jego impedancja jest duża.
  2. RD = L/(C·r) = Q²·r.
  3. L/C = 4700 Ω².
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f1 i f2 (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f2 − f1 = f0/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f0 = √(f1f2), a f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e−Rt/(2L).

Rezystancja dynamiczna

RD = 4,7 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁸·0,5) = 9400 Ω = 9,4 kΩ

Sprawdzenie za pomocą Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 137,1, Q²·r = 9400 Ω

Odpowiedź

RD = 9,4 kΩ

Pytania i odpowiedzi

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma: co to jest?

Naładuj kondensator i połącz go z cewką. Kondensator wymusza przepływ prądu przez cewkę. Prąd buduje pole magnetyczne, a gdy kondensator jest rozładowany, pole podtrzymuje prąd, więc kondensator ładuje się w przeciwną stronę. Potem wszystko biegnie z powrotem.

Energia przepływa między polem elektrycznym C (½Cv²) a polem magnetycznym L (½Li²), tak jak wahadło przechodzi między wysokością a prędkością. Bez rezystancji całkowita energia ½CV0² pozostaje stała.

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
  2. Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
  3. Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
  4. W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.
Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma: jakie błędy są najczęstsze?
  • Mylenie ω₀ (rad/s) z f₀ (Hz): różnią się o 2π.
  • Użycie wzoru na Q dla obwodu szeregowego w obwodzie równoległym, gdzie większe R oznacza wyższe Q.
  • Umieszczanie f₀ w połowie między f₁ i f₂: to ich średnia geometryczna √(f₁f₂).
  • Zapominanie o przeliczeniu µH, nF i pF na H i F.
Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma: co ćwiczysz?
  • Łatwy: częstotliwość drgań własnych, Q i energia
  • Średni: szeregowy i równoległy RLC
  • Trudny: projektowanie, straty i zanikanie

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Impedancja i wskazy AC

Kalkulatory

Kalkulator częstotliwości rezonansowej (LC i RLC)

Przedmioty z tym tematem

Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego

Więcej tematów: Elektrotechnika

Rezystory szeregowo i równolegleSuperpozycjaThévenin i NortonMetoda potencjałów węzłowychMetoda prądów oczkowychStany nieustalone RC i RLImpedancja i wskazy ACMoc AC i współczynnik mocyMoc w układach trójfazowychTransformatorySilniki prądu stałegoUkłady ze wzmacniaczami operacyjnymiDiody i tranzystoryPrzetwornice DC-DCLogika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiMostek Wheatstone’a i tensometryAkwizycja danych i próbkowanieTransformaty Laplace’aSchematy blokoweOdpowiedź skokowaWykresy Bodego i zapasyStabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowaUchyb ustalony i regulacja PIDSplot i układy liniowe stacjonarne

Karta pracy do druku

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaĆwicz teraz: Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.