Transformatory: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Darmowe zadania z tematu Transformatory z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: przekładnia zwojowa, prądy i moc, sprawność i straty.

Darmowe zadanieŁatwy
N1​ = 5000N2​ = ?11500 V230 V

Idealny transformator ma obniżać napięcie z 11500 V do 230 V. Jego uzwojenie pierwotne ma 5000 zwojów. Ile zwojów N2 potrzebuje uzwojenie wtórne?

V1 = 11500 VV2 = 230 VN1 = 5000
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: TransformatoryĆwicz teraz: Transformatory5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwyprzekładnia zwojowa
  2. Średniprądy i moc
  3. Trudnysprawność i straty

Najważniejsze wzory

Przekładnia zwojowa
a = N1/N2 = V1/V2
Stosunek prądów
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Prąd znamionowy
I = S/V
Impedancja sprowadzona
Z1′ = a²·ZL
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym
Pcu = x²·Pcu,fl
Sprawność
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Sprawność maksymalna
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Naucz się tematu Transformatory od zera

Wcześniej: Impedancja i wskazy AC

1Czym jest transformator

Transformator zmienia napięcie przemienne na wyższe lub niższe napięcie przemienne. Elektrownie podnoszą napięcie, aby przesłać energię daleko; lokalne transformatory obniżają je do 230 V dla domów.

Ma dwie cewki z drutu nawinięte na jednym rdzeniu żelaznym. Cewka podłączona do zasilania to uzwojenie pierwotne (1). Cewka podłączona do obciążenia to uzwojenie wtórne (2).

RL​N1​N2​V1​V2​

Prąd przemienny w uzwojeniu pierwotnym wytwarza zmienne pole magnetyczne w rdzeniu. To zmienne pole indukuje napięcie w każdym zwoju uzwojenia wtórnego.

Stały prąd DC wytwarza stałe pole, a stałe pole niczego nie indukuje. Transformator działa więc tylko z prądem przemiennym.

Samosprawdzenie Co daje idealny transformator na uzwojeniu wtórnym, gdy jego uzwojenie pierwotne jest podłączone do baterii 12 V (DC)?
  1. 0 V, ponieważ stałe pole nie indukuje napięcia
  2. 12 V, tyle samo co po stronie pierwotnej
  3. Napięcie przemienne 12 V
  4. Napięcie ustalone przez przekładnię zwojową

Odpowiedź: 0 V, ponieważ stałe pole nie indukuje napięcia. Napięcie indukuje tylko zmienne pole magnetyczne. Prąd stały wytwarza pole stałe, więc uzwojenie wtórne nie daje nic, gdy prąd się ustali.

2Przekładnia zwojowa

Każdy zwój drutu na rdzeniu ma to samo napięcie. Napięcie każdej cewki jest więc proporcjonalne do liczby jej zwojów N.

a = N1 / N2 = V1 / V2

Idealny transformator nie traci mocy, więc moc wejściowa równa się wyjściowej: V1·I1 = V2·I2. Prądy zależą zatem odwrotnie:

I1 / I2 = N2 / N1 = 1/a
  • Obniżający (a > 1): niższe napięcie, większy prąd po stronie wtórnej.
  • Podwyższający (a < 1): wyższe napięcie, mniejszy prąd po stronie wtórnej.
Samosprawdzenie Idealny transformator ma 400 zwojów po stronie pierwotnej i 200 po wtórnej. Strona pierwotna jest zasilana napięciem 240 V. Jakie jest napięcie wtórne?
  1. 120 V
  2. 240 V
  3. 480 V
  4. 60 V

Odpowiedź: 120 V. V2 = V1·N2/N1 = 240·200/400 = 120 V. Odwrócenie przekładni daje 480 V.

3Metoda krok po kroku

  1. Znajdź przekładnię zwojową a = N1/N2 albo a = V1/V2 z napięć znamionowych.
  2. Znajdź napięcie po drugiej stronie: V2 = V1/a.
  3. Jeśli podłączono obciążenie, znajdź jego prąd z prawa Ohma: I2 = V2/RL.
  4. Znajdź prąd po drugiej stronie: I1 = I2/a. Strona wysokiego napięcia przenosi mały prąd.
  5. Sprawdź mocą: V1·I1 musi być równe V2·I2.

Szybka kontrola sensowności: strona z większą liczbą zwojów ma wyższe napięcie i mniejszy prąd.

4Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Idealny transformator o przekładni zwojowej N1:N2 = 10:1 ma po stronie pierwotnej 2300 V. Do uzwojenia wtórnego podłączono rezystor 23 Ω. Znajdź V2, I2 i prąd pierwotny I1.

1

Przyjrzyj się obwodowi

23 ΩN1​ = 10N2​ = 12300 VV2​ ?I1​I2​

Przekładnia zwojowa to a = 10, więc to transformator obniżający.

2

Napięcie wtórne

V2 = V1 / a = 2300 / 10 = 230 V
3

Prąd wtórny

I2 = V2 / RL = 230 / 23 = 10 A
4

Prąd pierwotny

Stosunek prądów jest odwrotnością stosunku napięć.

I1 = I2 / a = 10 / 10 = 1 A
5

Sprawdź wynik

Moc wejściowa: 2300·1 = 2300 W. Moc wyjściowa: 230·10 = 2300 W. Są równe, jak być musi dla idealnego transformatora.

Odpowiedź

V2 = 230 V, I2 = 10 A oraz I1 = 1 A.

5Dane znamionowe, obciążenie sprowadzone i straty

Moc transformatora podaje się w kVA, na przykład „10 kVA, 7200/240 V”. Prąd znamionowy każdego uzwojenia to moc znamionowa podzielona przez napięcie tego uzwojenia:

I = S / V

Z perspektywy strony pierwotnej obciążenie RL po stronie wtórnej wygląda na większe o a²:

RL′ = a²·RL

W przykładzie 23 Ω wygląda jak 10²·23 = 2300 Ω ze strony pierwotnej. Wtedy I1 = 2300/2300 = 1 A, ta sama odpowiedź.

Rzeczywisty transformator ma dwa rodzaje strat:

  • Straty w rdzeniu (w żelazie) Pcore: są takie same przy każdym obciążeniu.
  • Straty w miedzi Pcu: w uzwojeniach. Rosną z kwadratem ułamka obciążenia x (x = 0,5 przy połowie obciążenia): Pcu = x²·Pcu,fl.
η = x·S·pf / (x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)

Sprawność jest największa przy obciążeniu, gdy straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu:

x = √(Pcore / Pcu,fl)
Samosprawdzenie Transformator 25 kVA ma straty w rdzeniu 75 W i straty w miedzi przy pełnym obciążeniu 300 W. Przy jakim obciążeniu jego sprawność jest największa?
  1. 12,5 kVA
  2. 25 kVA
  3. 50 kVA
  4. 6,25 kVA

Odpowiedź: 12,5 kVA. x = √(75/300) = √0,25 = 0,5, więc 0,5·25 = 12,5 kVA. Pominięcie pierwiastka daje x = 0,25 i 6,25 kVA.

6Typowe błędy

  • Odwrócenie przekładni. Strona z większą liczbą zwojów ma wyższe napięcie.
  • Użycie stosunku napięć dla prądów. Prądy zależą odwrotnie: strona wysokiego napięcia ma mały prąd.
  • Użycie złego napięcia uzwojenia dla prądu znamionowego. Każde uzwojenie używa własnego napięcia w I = S/V.
  • Skalowanie strat w miedzi z x zamiast x². Przy połowie obciążenia to jedna czwarta wartości przy pełnym obciążeniu.
Samosprawdzenie Transformator 10 kVA, 7200/240 V pracuje przy obciążeniu znamionowym. Jaki prąd płynie w uzwojeniu niskiego napięcia?
  1. 0,0417 A
  2. 1,39 A
  3. 30 A
  4. 41,7 A

Odpowiedź: 41,7 A. I = S/V = 10000/240 = 41,7 A. Użycie 7200 V daje prąd po stronie wysokiego napięcia, 1,39 A. Pozostawienie S w kVA daje 0,0417 A, a 30 to tylko przekładnia zwojowa.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: przekładnia zwojowa. Znajdź napięcie wtórne albo liczbę zwojów wtórnych dla danego obniżenia.
  • Średnie: prądy i moc. Znajdź prąd znamionowy uzwojenia, prąd pierwotny przy rezystorze po stronie wtórnej, rezystancję widzianą ze strony pierwotnej albo przekładnię, która dopasowuje głośnik do wzmacniacza.
  • Trudne: sprawność i straty. Znajdź straty całkowite przy częściowym obciążeniu, obciążenie dla maksymalnej sprawności albo straty w miedzi przy pełnym obciążeniu z danej sprawności.

Przy dopasowaniu obciążenie musi wyglądać jak rezystancja źródła: a²·RL = Rsource, więc a = √(Rsource/RL).

Dla strat przy częściowym obciążeniu dodaj stałe straty w rdzeniu i x²·Pcu,fl. Współczynnik mocy ma znaczenie dla mocy wyjściowej, a nie dla strat.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
N1​ = 60N2​ = 3000240 VV2​ = ?

Idealny transformator ma 60 zwojów na uzwojeniu pierwotnym i 3000 zwojów na uzwojeniu wtórnym. Uzwojenie pierwotne jest przyłączone do źródła napięcia przemiennego 240 V. Wyznacz napięcie wtórne V2.

N1 = 60N2 = 3000V1 = 240 V

Oblicz V2 (V)

Pokaż podpowiedzi
  1. Napięcie na zwój jest takie samo w obu uzwojeniach.
  2. V₂/V₁ = N₂/N₁.
  3. N₂/N₁ = 50.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Stosunek napięć równa się przekładni zwojowej

V2 = V1·N2/N1 = 240·3000/60 = 12000 V

Odpowiedź

V2 = 12000 V
Przykład 2Średni
4 ΩN1​N2​256 Ω

Wzmacniacz o rezystancji wyjściowej 256 Ω zasila głośnik 4 Ω przez idealny transformator. Dla maksymalnego przekazu mocy głośnik musi być widziany od strony wzmacniacza jako 256 Ω. Wyznacz przekładnię a = N₁/N₂.

Rs = 256 ΩRL = 4 Ω

Oblicz a

Pokaż podpowiedzi
  1. Od strony pierwotnej obciążenie jest widziane jako a²·RL.
  2. Przyrównaj a²·RL do rezystancji wyjściowej wzmacniacza.
  3. a² = 256/4.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Dopasuj sprowadzone obciążenie

a²·4 = 256
a = √(256/4) = √64 = 8

Odpowiedź

a = 8
Przykład 3Trudny
pf 0,9525 kVA, 25% obciążenie

Jednofazowy transformator 25 kVA ma straty w rdzeniu 75 W i straty w miedzi 300 W przy obciążeniu znamionowym. Dostarcza 25% swojej znamionowej mocy kVA przy współczynniku mocy 0,95 (indukcyjnym). Wyznacz całkowite straty Ploss w watach przy tym obciążeniu.

S = 25 kVAPcore = 75 WPcu,fl = 300 Wx = 0,25pf = 0,95

Oblicz Ploss (W)

Pokaż podpowiedzi
  1. Które straty zmieniają się z obciążeniem, a które nie?
  2. Straty w miedzi ∝ I², a prąd jest proporcjonalny do obciążenia.
  3. x² = 0,0625.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·Pcu,fl. Sprawność η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), z Pout = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Straty w miedzi przy tym obciążeniu

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,0625·300 = 18,75 W

Straty całkowite

Straty w rdzeniu są takie same przy każdym obciążeniu.

Ploss = 75 + 18,75 = 93,75 W

Odpowiedź

Ploss = 93,75 W

Sprawność przy tym obciążeniu wynosi η = 98,45%.

Pytania i odpowiedzi

Transformatory: co to jest?

Transformator zmienia napięcie przemienne na wyższe lub niższe napięcie przemienne. Elektrownie podnoszą napięcie, aby przesłać energię daleko; lokalne transformatory obniżają je do 230 V dla domów.

Ma dwie cewki z drutu nawinięte na jednym rdzeniu żelaznym. Cewka podłączona do zasilania to uzwojenie pierwotne (1). Cewka podłączona do obciążenia to uzwojenie wtórne (2).

Transformatory: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Transformatory: jakie błędy są najczęstsze?
  • Przekładnia jest odwrócona. Uzwojenie wtórne ma więcej zwojów, więc ten transformator podwyższa napięcie: V2 = V1·N2/N1.
  • Impedancja przenosi się z kwadratem przekładni, więc wyciągnij pierwiastek: a = √(Rs/RL).
  • Stosunek jest odwrócony. Uzwojenie pierwotne jest od strony większej rezystancji, więc potrzebuje więcej zwojów.
Transformatory: co ćwiczysz?
  • Łatwy: przekładnia zwojowa
  • Średni: prądy i moc
  • Trudny: sprawność i straty

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Impedancja i wskazy AC

Kalkulatory

Kalkulator przekładni transformatora

Przedmioty z tym tematem

Podstawy elektrotechnikiSystemy elektroenergetyczne i maszyny elektrycznePrzygotowanie do egzaminu FE Electrical and Computer

Więcej tematów: Elektrotechnika

Rezystory szeregowo i równolegleSuperpozycjaThévenin i NortonMetoda potencjałów węzłowychMetoda prądów oczkowychStany nieustalone RC i RLImpedancja i wskazy ACMoc AC i współczynnik mocyRezonans LC, dobroć i szerokość pasmaMoc w układach trójfazowychSilniki prądu stałegoUkłady ze wzmacniaczami operacyjnymiDiody i tranzystoryPrzetwornice DC-DCLogika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiMostek Wheatstone’a i tensometryAkwizycja danych i próbkowanieTransformaty Laplace’aSchematy blokoweOdpowiedź skokowaWykresy Bodego i zapasyStabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowaUchyb ustalony i regulacja PIDSplot i układy liniowe stacjonarne

Karta pracy do druku

Transformatory: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: TransformatoryĆwicz teraz: Transformatory5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.