Schematy blokowe: zadania z rozwiązaniami krok po kroku
Darmowe zadania z tematu Schematy blokowe z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: połączenia szeregowe, równoległe i ze sprzężeniem zwrotnym, transmitancje i uchyby układu zamkniętego, zakłócenia, stabilność i bieguny.
Darmowe zadanieŁatwy
Sygnał R rozdziela się na dwa równoległe bloki G₂ = 11 i G₃ = 8. Ich wyjścia spotykają się w węźle sumacyjnym ze wskazanymi znakami (+ and +), a suma przechodzi przez G₁ = 9. Znajdź wzmocnienie całkowite T = C/R.
Układ sterowania to łańcuch elementów: regulator, silnik, czujnik. Schemat blokowy rysuje każdy element jako prostokąt, a każdy sygnał jako strzałkę.
Blok mnoży swój sygnał wejściowy przez wzmocnienie lub transmitancję G. Jeśli do bloku G = 5 wchodzi 3, wychodzi 15.
Węzeł sumacyjny (koło) dodaje lub odejmuje sygnały. Znak przy każdej wchodzącej strzałce mówi, co robić. Kropka to punkt rozgałęzienia: sygnał jest kopiowany, a nie dzielony.
To najważniejszy rysunek w automatyce. Wyjście C jest mierzone przez H i odejmowane od wartości zadanej R. Różnica E = R − H·C to uchyb, który steruje blokiem G.
To ujemne sprzężenie zwrotne: gdy wyjście jest za wysokie, uchyb maleje i ściąga je z powrotem w dół.
Samosprawdzenie W węźle sumacyjnym R wchodzi ze znakiem +, a sygnał sprzężenia zwrotnego B ze znakiem −. R = 10 i B = 4. Co wychodzi z węzła?
14
40
6
−6
Odpowiedź: 6. Znaki w węźle mówią, że E = R − B = 10 − 4 = 6. Wynik 14 ignoruje znak minus, a −6 odejmuje w złą stronę.
2Trzy reguły upraszczania dowolnego schematu
Schemat redukujesz krok po kroku, aż zostanie jeden blok. Jego wzmocnienie T = C/R to transmitancja układu zamkniętego.
Szeregowo: bloki jeden za drugim mnożą się, G₁·G₂.
Równolegle: bloki zasilające ten sam węzeł sumacyjny dodają się, ze znakami z węzła: G₁ + G₂ lub G₁ − G₂.
Pętla sprzężenia zwrotnego: blok w torze głównym G z ujemnym sprzężeniem H staje się G/(1 + G·H).
Reguła sprzężenia wynika z dwóch równań. W węźle E = R − H·C, a blok daje C = G·E. Zatem C = G·R − G·H·C, a więc:
T = C/R = G/(1 + G·H)
Przy dodatnim sprzężeniu zwrotnym sygnał jest dodawany w węźle, a znak w mianowniku się odwraca: T = G/(1 − G·H).
Iloczyn G·H to wzmocnienie pętli. Gdy jest duże, T zbliża się do 1/H: wzmocnienie ustala czujnik, a nie obiekt.
Samosprawdzenie G₁ = 2 i G₂ = 5 są połączone szeregowo, z ujemnym sprzężeniem H = 0,3. Ile wynosi T = C/R?
0,75
10
2,5
−5
Odpowiedź: 2,5. G = 2·5 = 10 i G·H = 3, więc T = 10/(1 + 3) = 2,5. Wartość 10 ignoruje pętlę, −5 używa 1 − G·H, a 0,75 wstawia H do licznika.
3Pętle z transmitancjami
Rzeczywiste bloki zależą od s, na przykład silnik G(s) = b/(s + a). Obowiązują te same reguły. Potem pozbywasz się ułamków w ułamkach.
Przy sprzężeniu jednostkowym (H = 1) pomnóż licznik i mianownik G/(1 + G) przez (s + a):
T(s) = b/(s + a + b)
Biegun układu zamkniętego to pierwiastek mianownika: p = −(a + b). Leży dalej na lewo niż biegun układu otwartego −a, więc pętla jest szybsza.
Stała czasowa to τ = 1/(a + b).
Wzmocnienie statyczne (DC) to T(0) = b/(a + b). Skok o wartości A ustala się na css = A·T(0).
Przy wzmocnieniu czujnika H mianownik przyjmuje postać s + a + b·H.
Uchyb ustalony ess to to, co zostaje z R − C po ustaleniu. Przy sprzężeniu jednostkowym użyj stałych uchybowych:
Dla skoku o wartości A: ess = A/(1 + Kp), gdzie stała położenia Kp = G(0).
Dla narastania liniowego r(t) = A·t: ess = A/Kv, gdzie stała prędkości Kv = lims→0 s·G(s).
Dla G(s) = 8/(s(s + 4)) czynnik s się skraca: Kv = 8/4 = 2. Narastanie liniowe r(t) = 1·t zostawia wtedy ess = 1/2 = 0,5.
Dla pętli drugiego rzędu, takiej jak G(s) = K/(s(s + 6)), układ zamknięty ma s² + 6s + K = 0. Dwa równe pierwiastki rzeczywiste (tłumienie krytyczne) wymagają 6² = 4K, czyli K = 9.
Przykład krok po kroku
G(s) = 6/(s + 2) umieszczono w pętli jednostkowego ujemnego sprzężenia zwrotnego. Znajdź biegun układu zamkniętego, stałą czasową i wyjście ustalone dla skoku o wartości 4.
1
Zamknij pętlę
T(s) = G/(1 + G) = 6/(s + 2 + 6) = 6/(s + 8)
2
Biegun i stała czasowa
Biegun jest pierwiastkiem s + 8 = 0.
p = −8, τ = 1/8 = 0,125 s
3
Wyjście ustalone
Podstaw s = 0, aby uzyskać wzmocnienie statyczne, a potem pomnóż przez wartość skoku.
T(0) = 6/8 = 0,75, css = 4·0,75 = 3
Uchyb wynosi 4 − 3 = 1. Stała Kp = G(0) = 3 daje to samo: 4/(1 + 3) = 1.
Odpowiedź
p = −8, τ = 0,125 s oraz css = 3.
Samosprawdzenie G(s) = 6/(s + 2) jest w pętli jednostkowego ujemnego sprzężenia zwrotnego. Która liczba jest biegunem układu zamkniętego?
8
−0,125
−2
−8
Odpowiedź: −8. T(s) = 6/(s + 8), więc biegun to −8. Wartość −2 to biegun układu otwartego przed sprzężeniem. Biegun jest wartością s, więc tutaj jest ujemny, a −0,125 myli go z τ = 1/8.
4Metoda krok po kroku
Znajdź najbardziej wewnętrzną pętlę. Zredukuj ją najpierw wzorem G/(1 + G·H) albo G/(1 − G·H) dla sprzężenia dodatniego.
Połącz bloki szeregowe (mnożenie) i równoległe (dodawanie ze znakami z węzła).
Powtarzaj, aż zostanie jeden blok. Ten blok to T(s) = C/R.
Pozbądź się ułamków: pomnóż licznik i mianownik przez mianowniki G(s).
Odczytaj, o co pytają: bieguny z mianownika, T(0) dla stanu ustalonego, τ = 1/(wartość bieguna) dla pętli pierwszego rzędu.
Szybka kontrola: przy s = 0 możesz zredukować schemat na zwykłych liczbach. To daje od razu T(0) i wyłapuje większość pomyłek algebraicznych.
5Przykład krok po kroku
To typowe zadanie średnie z pętlą wewnętrzną. Spróbuj każdego kroku, zanim go otworzysz.
Przykład krok po kroku
Obiekt G(s) = 3/(s + 1) ma wewnętrzną pętlę ujemnego sprzężenia zwrotnego z H₁ = 1. Regulator K = 4 i zewnętrzna pętla jednostkowego ujemnego sprzężenia zamykają układ. Znajdź biegun układu zamkniętego p i wzmocnienie statyczne T(0).
1
Spójrz na schemat
Są dwie pętle. Pętla wewnętrzna obejmuje tylko obiekt. Pętla zewnętrzna obejmuje wszystko, od C z powrotem do R.
2
Zredukuj pętlę wewnętrzną
Użyj G/(1 + G·H₁) i pomnóż licznik i mianownik przez (s + 1):
Gᵢ = 3/(s + 1 + 3·1) = 3/(s + 4)
3
Szeregowo z regulatorem
K i Gᵢ są teraz połączone szeregowo, więc pomnóż:
K·Gᵢ = 4·3/(s + 4) = 12/(s + 4)
4
Zamknij pętlę zewnętrzną
Sprzężenie jednostkowe wokół 12/(s + 4):
T(s) = 12/(s + 4 + 12) = 12/(s + 16)
Biegun to p = −16, a T(0) = 12/16 = 0,75.
5
Sprawdź wynik
Powtórz dla s = 0 na samych liczbach. G(0) = 3, pętla wewnętrzna daje 3/(1 + 3) = 0,75, a K czyni to 3.
Pętla zewnętrzna daje 3/(1 + 3) = 0,75. Zgadza się z T(0).
Odpowiedź
T(s) = 12/(s + 16), więc p = −16 i T(0) = 0,75.
6Typowe błędy
Użycie 1 − G·H dla ujemnego sprzężenia. Ujemne sprzężenie daje 1 + G·H, dodatnie daje 1 − G·H.
Wstawienie H do licznika. T = G/(1 + G·H): H występuje tylko we wzmocnieniu pętli.
Zamknięcie pętli zewnętrznej przed wewnętrzną. Zawsze pracuj od wnętrza na zewnątrz.
Pominięcie wzmocnienia czujnika H w biegunie: mianownik to s + a + b·H, a nie s + a + b.
Podanie bieguna układu otwartego −a albo wzmocnienia układu otwartego G(0). Sprzężenie zmienia oba.
Użycie A/Kp dla uchybu przy skoku. Poprawny wzór to A/(1 + Kp).
Samosprawdzenie Wzmacniacz G = 10 ma dodatnie sprzężenie zwrotne H = 0,05: sygnał sprzężenia jest dodawany w węźle. Ile wynosi T = C/R?
0,5
10
20
6,67
Odpowiedź: 20. Dodatnie sprzężenie daje T = G/(1 − G·H) = 10/(1 − 0,5) = 20. Wartość 6,67 używa wzoru dla ujemnego sprzężenia 10/1,5. Wartość 10 ignoruje pętlę, a 0,5 to tylko wzmocnienie pętli G·H.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: szeregowo, równolegle i sprzężenie zwrotne. Redukujesz wzmocnienia w pętli, bloki równoległe ze znakami albo dodatnie sprzężenie. Albo zamykasz pętlę jednostkową wokół b/(s + a) i podajesz biegun, τ, T(0) lub css.
Średnie: transmitancje układu zamkniętego i uchyby. Pętla wewnętrzna jak w przykładzie, wzmocnienie czujnika H, wzmocnienie K dla tłumienia krytycznego albo uchyb ustalony dla skoku lub narastania liniowego.
Trudne: zakłócenia, stabilność i bieguny. Zakłócenie D dodane na wejściu obiektu albo największe wzmocnienie Kmax dla stabilności z kryterium Routha–Hurwitza.
Dla zakłócenia użyj superpozycji: znajdź C z R przy D = 0, potem C z D przy R = 0, i dodaj oba wyniki.
Sygnał R rozdziela się na dwa równoległe bloki G₂ = 7 i G₃ = 12. Ich wyjścia spotykają się w węźle sumacyjnym ze wskazanymi znakami (+ and −), a suma przechodzi przez G₁ = 10. Znajdź wzmocnienie całkowite T = C/R.
G₁ = 10G₂ = 7G₃ = 12znaki: + G₂, − G₃
Oblicz T
Pokaż podpowiedzi
Bloki równoległe zasilające węzeł sumacyjny dodają się ze znakami z tego węzła.
Ta kombinacja jest połączona szeregowo z G₁, więc mnóż.
G₂ − G₃ = -5.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Algebra schematów blokowych: bloki połączone szeregowo mnożą się (G₁·G₂), bloki połączone równolegle dodają się (G₁ + G₂), a pętla ze ścieżką prostą G i ścieżką sprzężenia zwrotnego H redukuje się do T = G/(1 + G·H) dla ujemnego sprzężenia zwrotnego i G/(1 − G·H) dla dodatniego. Najpierw redukuj pętle wewnętrzne, potem idź na zewnątrz. Bieguny układu zamkniętego są pierwiastkami równania charakterystycznego 1 + G(s)H(s) = 0. Dla stabilnej pętli wymuszenie skokowe o wielkości A daje w stanie ustalonym wyjście A·T(0); przy jednostkowym sprzężeniu zwrotnym uchyb ustalony przy skoku wynosi A/(1 + Kp), gdzie Kp = G(0).
Bloki równoległe
G₂ − G₃ = 7 − 12 = −5
Szeregowo z G₁
T = G₁·(G₂ − G₃) = 10·(−5) = −50
Odpowiedź
T = −50
Przykład 2Średni
Pętla jednostkowego ujemnego sprzężenia zwrotnego ma G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4)). Na wartość zadaną podano skok o wielkości 2. Znajdź uchyb ustalony ess.
G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4))R = 2
Oblicz ess
Pokaż podpowiedzi
Stała uchybu położeniowego Kₚ = G(0).
Uchyb ustalony dla skoku o wielkości A: A/(1 + Kₚ).
Kₚ = 1·3/(2·4) = 0,375.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Algebra schematów blokowych: bloki połączone szeregowo mnożą się (G₁·G₂), bloki połączone równolegle dodają się (G₁ + G₂), a pętla ze ścieżką prostą G i ścieżką sprzężenia zwrotnego H redukuje się do T = G/(1 + G·H) dla ujemnego sprzężenia zwrotnego i G/(1 − G·H) dla dodatniego. Najpierw redukuj pętle wewnętrzne, potem idź na zewnątrz. Bieguny układu zamkniętego są pierwiastkami równania charakterystycznego 1 + G(s)H(s) = 0. Dla stabilnej pętli wymuszenie skokowe o wielkości A daje w stanie ustalonym wyjście A·T(0); przy jednostkowym sprzężeniu zwrotnym uchyb ustalony przy skoku wynosi A/(1 + Kp), gdzie Kp = G(0).
Stała uchybu położeniowego
Kₚ = G(0) = 1·3/(2·4) = 0,375
Uchyb ustalony
ess = A/(1 + Kₚ) = 2/(1 + 0,375) = 1,455
Odpowiedź
ess = 1,455
Przykład 3Trudny
Zredukuj schemat blokowy dla G₁ = 5/(s + 2), G₂ = 10/(s + 4), z wewnętrznym ujemnym sprzężeniem zwrotnym H₁ = 4 wokół G₂ i zewnętrznym ujemnym sprzężeniem zwrotnym H₂ = 1. Znajdź wzmocnienie statyczne T(0) transmitancji C(s)/R(s).
G₁ = 5/(s + 2)G₂ = 10/(s + 4)H₁ = 4H₂ = 1
Oblicz T(0)
Pokaż podpowiedzi
Pętla wewnętrzna: G₂/(1 + G₂·H₁). Potem T = G₁·Gᵢ/(1 + G₁·Gᵢ·H₂).
W sumie T = G₁G₂/(1 + G₂H₁ + G₁G₂H₂). Dla wzmocnienia statycznego podstaw s = 0 w każdym bloku.
G₁(0) = 2,5, G₂(0) = 2,5.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Algebra schematów blokowych: bloki połączone szeregowo mnożą się (G₁·G₂), bloki połączone równolegle dodają się (G₁ + G₂), a pętla ze ścieżką prostą G i ścieżką sprzężenia zwrotnego H redukuje się do T = G/(1 + G·H) dla ujemnego sprzężenia zwrotnego i G/(1 − G·H) dla dodatniego. Najpierw redukuj pętle wewnętrzne, potem idź na zewnątrz. Bieguny układu zamkniętego są pierwiastkami równania charakterystycznego 1 + G(s)H(s) = 0. Dla stabilnej pętli wymuszenie skokowe o wielkości A daje w stanie ustalonym wyjście A·T(0); przy jednostkowym sprzężeniu zwrotnym uchyb ustalony przy skoku wynosi A/(1 + Kp), gdzie Kp = G(0).
Układ sterowania to łańcuch elementów: regulator, silnik, czujnik. Schemat blokowy rysuje każdy element jako prostokąt, a każdy sygnał jako strzałkę.
To najważniejszy rysunek w automatyce. Wyjście C jest mierzone przez H i odejmowane od wartości zadanej R. Różnica E = R − H·C to uchyb, który steruje blokiem G.
Schematy blokowe: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Algebra schematów blokowych: bloki połączone szeregowo mnożą się (G₁·G₂), bloki połączone równolegle dodają się (G₁ + G₂), a pętla ze ścieżką prostą G i ścieżką sprzężenia zwrotnego H redukuje się do T = G/(1 + G·H) dla ujemnego sprzężenia zwrotnego i G/(1 − G·H) dla dodatniego. Najpierw redukuj pętle wewnętrzne, potem idź na zewnątrz. Bieguny układu zamkniętego są pierwiastkami równania charakterystycznego 1 + G(s)H(s) = 0. Dla stabilnej pętli wymuszenie skokowe o wielkości A daje w stanie ustalonym wyjście A·T(0); przy jednostkowym sprzężeniu zwrotnym uchyb ustalony przy skoku wynosi A/(1 + Kp), gdzie Kp = G(0).
Schematy blokowe: jakie błędy są najczęstsze?
Sprawdź znak w węźle sumacyjnym: ścieżka G₃ wchodzi ze znakiem −.
Dodają się tylko bloki równoległe; G₁ jest połączony z nimi szeregowo i mnoży.
Bloki równoległe dodają się (z uwzględnieniem znaków); nie mnożą się.
Schematy blokowe: co ćwiczysz?
Łatwy: połączenia szeregowe, równoległe i ze sprzężeniem zwrotnym
Średni: transmitancje i uchyby układu zamkniętego
Trudny: zakłócenia, stabilność i bieguny
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.