Wykresy Bodego i zapasy: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: charakterystyki Bodego · zapas fazy · zapas wzmocnienia

Darmowe zadania z tematu Wykresy Bodego i zapasy z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: filtry i asymptoty, moduł i faza, zapasy stabilności.

Darmowe zadanieŁatwy
vin​C = 4,7 nFR = 10 kΩvout​

Znajdź częstotliwość graniczną (−3 dB) fc układu Filtr górnoprzepustowy RC pokazanego na rysunku, z R = 10 kΩ, C = 4,7 nF. Podaj ją w Hz.

R = 10 kΩC = 4,7 nF
Hz
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Wykresy Bodego i zapasyĆwicz teraz: Wykresy Bodego i zapasy5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwyfiltry i asymptoty
  2. Średnimoduł i faza
  3. Trudnyzapasy stabilności

Naucz się tematu Wykresy Bodego i zapasy od zera

Wcześniej: Impedancja i wskazy AC, Transformaty Laplace’a

1Co pokazuje wykres Bodego

Podaj sinusoidę na filtr lub wzmacniacz, a wyjdzie sinusoida o tej samej częstotliwości. Zmieniają się tylko dwie rzeczy: jej wielkość i przesunięcie w czasie.

tvvin​vout​

Wzmocnienie |H| to stosunek amplitudy wyjściowej do wejściowej. Faza φ to przesunięcie wyjścia, w stopniach. Ujemna faza oznacza, że wyjście się opóźnia.

Obie wielkości zależą od częstotliwości. Wykres Bodego rysuje je względem częstotliwości: wzmocnienie w decybelach u góry, faza poniżej. Oś częstotliwości jest logarytmiczna, więc każda dekada (×10) ma taką samą szerokość.

Decybele zamieniają stosunek na liczbę, którą można dodawać:

|H|dB = 20·log₁₀|H|
  • Wzmocnienie 1 to 0 dB, 10 to 20 dB, 100 to 40 dB, a 0,1 to −20 dB.
  • Wzmocnienie 1/√2 ≈ 0,707 to −3 dB. To brzeg pasma przepustowego filtra.
Samosprawdzenie Wzmacniacz ma wzmocnienie 100. Ile to decybeli?
  1. 100 dB
  2. 2 dB
  3. 20 dB
  4. 40 dB

Odpowiedź: 40 dB. 20·log₁₀(100) = 20·2 = 40 dB. Wynik 20 dB używa 10·log₁₀, co dotyczy stosunków mocy, a nie napięć. Wynik 2 to tylko log₁₀(100).

2Filtry pierwszego rzędu

Rezystor z kondensatorem lub cewką tworzy najprostszy filtr. Filtr dolnoprzepustowy przepuszcza niskie częstotliwości i osłabia wysokie. Filtr górnoprzepustowy robi odwrotnie.

vin​RCvout​vin​CRvout​

W filtrze dolnoprzepustowym RC (po lewej) wyjście jest na kondensatorze. W filtrze górnoprzepustowym RC (po prawej) jest na rezystorze. Z cewką wyjście filtra dolnoprzepustowego jest na R, a górnoprzepustowego na L.

Zmiana następuje w okolicy częstotliwości granicznej, gdzie wzmocnienie wynosi −3 dB. Jest taka sama dla wersji dolno- i górnoprzepustowej:

ωc = 1/(R·C) ωc = R/L fc = ωc/(2π)

ωc jest w rad/s, a fc w Hz. Najpierw wyraź R, C i L w jednostkach podstawowych: Ω, F i H.

0−20−40dB−20 dB/dec−3 dB0°−45°−90°−45°0,010,1110100ω/ωc​

Wykres pokazuje filtr dolnoprzepustowy. Poniżej ωc wzmocnienie wynosi około 0 dB. Powyżej spada o 20 dB na dekadę. Faza przechodzi od 0° do −90° i wynosi −45° przy częstotliwości granicznej.

Przy dowolnej częstotliwości, ze stosunkiem x = f/fc = ω/ωc:

  • Dolnoprzepustowy: |H| = 1/√(1 + x²) i φ = −atan x.
  • Górnoprzepustowy: |H| = x/√(1 + x²) i φ = 90° − atan x.
Przykład krok po kroku

Znajdź częstotliwość graniczną fc filtra górnoprzepustowego RL z R = 470 Ω i L = 47 mH.

1

Jednostki podstawowe

L = 47 mH = 0,047 H
2

Częstość graniczna w rad/s

ωc = R/L = 470/0,047 = 10 000 rad/s
3

Częstotliwość graniczna w Hz

fc = 10 000/(2π) = 1592 Hz
Odpowiedź

fc ≈ 1592 Hz (ωc = 10 000 rad/s).

Samosprawdzenie Filtr dolnoprzepustowy RC ma R = 1 kΩ i C = 1 µF. Ile wynosi jego częstotliwość graniczna fc?
  1. 1000 Hz
  2. 159 Hz
  3. 159 kHz
  4. 6283 Hz

Odpowiedź: 159 Hz. ωc = 1/(1000·0,000001) = 1000 rad/s, więc fc = 1000/(2π) = 159 Hz. Wartość 1000 to ωc w rad/s, a nie w Hz. Wynik 6283 mnoży przez 2π, a 159 kHz pomija k w kΩ.

3Wykresy Bodego z linii prostych

Dla transmitancji G(s) możesz naszkicować moduł liniami prostymi. Każdy czynnik zmienia nachylenie przy swojej częstotliwości granicznej.

  • Czynnik bieguna (s + p) w mianowniku zagina linię w dół o 20 dB/dekadę od ω = p.
  • Czynnik zera (s + z) w liczniku zagina ją w górę o 20 dB/dekadę od ω = z.
  • Czynnik s w mianowniku (całkowanie) daje −20 dB/dekadę przy każdej częstotliwości i −90° fazy.
  • Bez całkowania wykres zaczyna się płasko od wzmocnienia statycznego (DC) G(0), zamienionego na dB.
200−20−40−60dB0−20−401101001000ω

Rysunek pokazuje G(s) = 10 000/((s + 10)(s + 100)). G(0) = 10 000/1000 = 10, więc wykres zaczyna się od 20 dB. Zagina się do −20 dB/dekadę przy 10 rad/s i do −40 dB/dekadę przy 100 rad/s.

Aby znaleźć nachylenie w paśmie: zacznij od −20 dB/dekadę za każde całkowanie, potem dodaj −20 za każdą częstość graniczną bieguna i +20 za każdą częstość graniczną zera poniżej tego pasma.

Samosprawdzenie G(s) = 20(s + 50)/(s(s + 5)). Jakie jest nachylenie wykresu z linii prostych między 5 a 50 rad/s?
  1. 0 dB/dekadę
  2. −20 dB/dekadę
  3. −40 dB/dekadę
  4. −60 dB/dekadę

Odpowiedź: −40 dB/dekadę. Całkowanie daje −20 od początku. Biegun przy 5 dodaje −20, więc nachylenie wynosi −40 między 5 a 50. Zero przy 50 przywraca −20 powyżej 50. Wynik −60 traktuje zero jak biegun.

4Dokładne wartości przy jednej częstotliwości

Linie proste to szkic. Dla dokładnej wartości podstaw s = jω. Każdy czynnik (jω + a) jest liczbą zespoloną o:

|jω + a| = √(ω² + a²) ∠(jω + a) = atan(ω/a)

Moduł G to iloczyn modułów licznika podzielony przez iloczyn modułów mianownika. Faza to suma kątów licznika minus suma kątów mianownika.

Przykład: G(s) = 150/((s + 3)(s + 4)) przy ω = 4 rad/s. |j4 + 3| = 5 i |j4 + 4| = 5,657, więc |G| = 150/28,28 = 5,30, czyli 14,5 dB.

Faza wynosi −atan(4/3) − atan(4/4) = −53,1° − 45° = −98,1°.

Szeregowy obwód RLC z wyjściem na R to filtr pasmowoprzepustowy. Przepuszcza częstotliwości w pobliżu częstości rezonansowej ω₀ = 1/√(LC). Szerokość pasma to BW = R/L w rad/s, a dobroć Q = ω₀/BW.

  1. Zapisz G(s) lub H(jω). Dla filtra RC lub RL najpierw znajdź ωc i stosunek x = ω/ωc.
  2. Dla każdego czynnika znajdź jego moduł √(ω² + a²) i kąt atan(ω/a).
  3. Pomnóż i podziel moduły. Dodaj kąty zer i odejmij kąty biegunów; całkowanie dodaje −90°.
  4. Zamień moduł na dB wzorem 20·log₁₀.
  5. Porównaj ze szkicem z linii prostych: dokładna wartość powinna leżeć blisko niego, a przy pojedynczej częstości granicznej 3 dB poniżej.

5Przykład krok po kroku

To typowe zadanie średnie. Spróbuj każdego kroku, zanim go otworzysz.

Przykład krok po kroku

Filtr dolnoprzepustowy RC ma R = 10 kΩ i C = 100 nF. Podano sinusoidę 480 Hz. Znajdź wzmocnienie |H| w dB i przesunięcie fazowe φ.

1

Częstotliwość graniczna

Użyj jednostek podstawowych: R = 10 000 Ω i C = 0,0000001 F.

ωc = 1/(10 000·0,0000001) = 1000 rad/s
fc = 1000/(2π) = 159,2 Hz
2

Stosunek częstotliwości

x = f/fc = 480/159,2 = 3,016

Sygnał wejściowy jest powyżej częstotliwości granicznej, więc spodziewaj się wyraźnej straty wzmocnienia.

3

Wzmocnienie

|H| = 1/√(1 + 3,016²) = 1/3,177 = 0,315
20·log₁₀(0,315) = −10,0 dB
4

Faza

Filtr dolnoprzepustowy opóźnia wyjście, więc faza jest ujemna.

φ = −atan(3,016) = −71,7°
5

Sprawdź wynik

0−20−40dB−20 dB/dec−10,0 dB0,010,1110100ω/ωc​

Linia prosta daje −20·log₁₀(3,016) = −9,6 dB, blisko dokładnej wartości −10,0 dB.

Odpowiedź

|H| ≈ −10,0 dB oraz φ ≈ −71,7°.

6Typowe błędy

  • Użycie 10·log₁₀ dla wzmocnienia napięciowego. Dla wzmocnień sygnałów używa się 20·log₁₀.
  • Mylenie ω i f. ωc = 1/(RC) jest w rad/s; podziel przez 2π, aby uzyskać Hz.
  • Użycie L/R jako częstości granicznej RL. L/R to stała czasowa; częstość graniczna to ωc = R/L.
  • Dodawanie modułów jak ω + a. Wielkość jω + a to √(ω² + a²).
  • Pominięcie całkowania: 1/s daje −20 dB/dekadę i −90° przy każdej częstotliwości.
  • Podanie wartości z linii prostych, gdy pytano o dokładny moduł.
Samosprawdzenie Ile wynosi wzmocnienie statyczne (DC) G(s) = 400/((s + 2)(s + 5)) w dB?
  1. 16,0 dB
  2. 32,0 dB
  3. 40 dB
  4. 52,0 dB

Odpowiedź: 32,0 dB. G(0) = 400/(2·5) = 40, a 20·log₁₀(40) = 32,0 dB. Wynik 16,0 dB używa 10·log₁₀. Wartość 40 to stosunek, a nie dB. Wynik 52,0 dB pomija podstawienie s = 0 w mianowniku.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: filtry i asymptoty. Częstotliwość graniczna filtra RC lub RL w Hz albo rad/s, nachylenie wykresu z linii prostych w paśmie albo wzmocnienie DC w dB.
  • Średnie: moduł i faza. Wzmocnienie w dB lub faza filtra przy danej częstotliwości, dokładny |G(jω)| lub ∠G(jω) transmitancji albo f₀, BW lub Q filtra pasmowoprzepustowego RLC.
  • Trudne: zapasy stabilności pętli L(s), takiej jak 85/(s(s + 5)) lub K/(s(s + a)(s + b)).

Na poziomie trudnym potrzebujesz dwóch częstotliwości. Przy częstości odcięcia wzmocnienia ωc |L(jω)| = 1 (0 dB). Przy częstości odcięcia fazy ω180 ∠L(jω) = −180°.

PM = 180° + ∠L(jωc) GM = −20·log₁₀|L(jω180)|

Dla L(s) = K/(s(s + a)(s + b)) częstość odcięcia fazy wynosi ω180 = √(a·b). Pętla jest stabilna, gdy oba zapasy są dodatnie.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
|H| (dB)0,11101001000−100−80−60−40−200ω (rad/s)

Znajdź wzmocnienie dla niskich częstotliwości (stałoprądowe) G(s) = 12/((s + 1)(s + 40)) w decybelach, |G(0)| w dB.

G(s) = 12/((s + 1)(s + 40))

Oblicz |G(0)| (dB)

Pokaż podpowiedzi
  1. Przy bardzo niskiej częstotliwości s → 0.
  2. G(0) = 0,3.
  3. 20·log₁₀(0,3).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.

Wzmocnienie statyczne

G(0) = 0,3

W decybelach

20·log₁₀(0,3) = −10,46 dB

Odpowiedź

|G(0)| = −10,46 dB
Przykład 2Średni
vin​R = 1 kΩC = 1 nFvout​

Filtr dolnoprzepustowy RC pokazany na rysunku ma R = 1 kΩ, C = 1 nF. Podano sinusoidalne wejście 1600 kHz. Znajdź przesunięcie fazowe φ vout względem vin, w stopniach.

R = 1 kΩC = 1 nFf = 1600 kHz

Oblicz φ (°)

Pokaż podpowiedzi
  1. Najpierw znajdź częstotliwość graniczną: fc = 159155 Hz.
  2. H(jω) = 1/(1 + jω/ωc)
  3. f/fc = 10,05.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.

Częstotliwość graniczna

ωc = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁹) = 1000000 rad/s
fc = 159155 Hz → f/fc = 1,6 × 10⁶/159155 = 10,05

Faza

φ = − atan(10,05) = −84,32°

Odpowiedź

φ = −84,32°
Przykład 3Trudny
|H| (dB)0,10,111101010010010001000−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = 185/(s(s + 5)). Znajdź zapas fazy PM w stopniach.

L(s) = 185/(s(s + 5))

Oblicz PM (°)

Pokaż podpowiedzi
  1. |L(jω)| = 185/(ω·√(ω² + 25)) = 1 daje ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0.
  2. Rozwiąż równanie kwadratowe względem x = ω²: x = (−a² + √(a⁴ + 4K²))/2.
  3. ωc = 13,15 rad/s; ∠L = −90° − atan(ωc/5).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.

Częstotliwość odcięcia wzmocnienia

ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·34225))/2 = 172,9
ωc = 13,15 rad/s

Zapas fazy

∠L(jωc) = −90° − atan(13,15/5) = −159,2°
PM = 180° + ∠L = 20,82°

Odpowiedź

PM = 20,82°

Pytania i odpowiedzi

Wykresy Bodego i zapasy: co to jest?

Podaj sinusoidę na filtr lub wzmacniacz, a wyjdzie sinusoida o tej samej częstotliwości. Zmieniają się tylko dwie rzeczy: jej wielkość i przesunięcie w czasie.

Obie wielkości zależą od częstotliwości. Wykres Bodego rysuje je względem częstotliwości: wzmocnienie w decybelach u góry, faza poniżej. Oś częstotliwości jest logarytmiczna, więc każda dekada (×10) ma taką samą szerokość.

Wykresy Bodego i zapasy: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.

Wykresy Bodego i zapasy: jakie błędy są najczęstsze?
  • To wzmocnienie jako stosunek. Zamień: 20·log₁₀(0,3).
  • Dla stosunku napięć lub sygnałów użyj 20·log₁₀, a nie 10·log₁₀ (to jest dla mocy).
  • Podstaw s = 0 w każdym czynniku: G(0) = 0,3, a nie 12.
Wykresy Bodego i zapasy: co ćwiczysz?
  • Łatwy: filtry i asymptoty
  • Średni: moduł i faza
  • Trudny: zapasy stabilności

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Impedancja i wskazy ACTransformaty Laplace’a

Kalkulatory

Kalkulator decybeli (dB, dBm i poziomy dźwięku)Kalkulator wykresu Bodego (margines wzmocnienia i fazy)

Przedmioty z tym tematem

Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennegoAutomatyka 1Sygnały i układyAutomatyka 2: projektowanie regulacji ze sprzężeniem zwrotnymPrzygotowanie do egzaminu FE Electrical and Computer

Więcej tematów: Elektrotechnika

Rezystory szeregowo i równolegleSuperpozycjaThévenin i NortonMetoda potencjałów węzłowychMetoda prądów oczkowychStany nieustalone RC i RLImpedancja i wskazy ACMoc AC i współczynnik mocyRezonans LC, dobroć i szerokość pasmaMoc w układach trójfazowychTransformatorySilniki prądu stałegoUkłady ze wzmacniaczami operacyjnymiDiody i tranzystoryPrzetwornice DC-DCLogika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiMostek Wheatstone’a i tensometryAkwizycja danych i próbkowanieTransformaty Laplace’aSchematy blokoweOdpowiedź skokowaStabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowaUchyb ustalony i regulacja PIDSplot i układy liniowe stacjonarne

Karta pracy do druku

Wykresy Bodego i zapasy: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Wykresy Bodego i zapasyĆwicz teraz: Wykresy Bodego i zapasy5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.