Moc w układach trójfazowych: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: układy trójfazowe · połączenie w gwiazdę i trójkąt

Darmowe zadania z tematu Moc w układach trójfazowych z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: napięcia i prądy w symetrycznych układach Y i Δ, moc trójfazowa, kompensacja mocy biernej.

Darmowe zadanieŁatwy
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?NZ = 24 + j7 Ωna fazę

Symetryczny odbiornik połączony w gwiazdę ma impedancję 24 + j7 Ω na fazę. Jest zasilany z symetrycznego źródła trójfazowego o napięciu przewodowym 415 V. Wyznacz wartość prądu przewodowego IL.

VL = 415 VZ = 24 + j7 Ω na fazę
A
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Moc w układach trójfazowychĆwicz teraz: Moc w układach trójfazowych5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwynapięcia i prądy w symetrycznych układach Y i Δ
  2. Średnimoc trójfazowa
  3. Trudnykompensacja mocy biernej

Najważniejsze wzory

Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η

Naucz się tematu Moc w układach trójfazowych od zera

Wcześniej: Moc AC i współczynnik mocy

1Czym jest moc trójfazowa

Niemal cała energia elektryczna jest wytwarzana i rozdzielana jako prąd przemienny trójfazowy. Trzy przewody, zwane liniami lub fazami (A, B i C), niosą po jednej sinusoidzie.

Trzy przebiegi mają tę samą amplitudę i częstotliwość, ale każdy jest przesunięty o jedną trzecią cyklu, 120°, względem następnego.

tABC120°

Wyobraź sobie trzy osoby pedałujące na rowerze po kolei: jedna naciska, a pozostałe odpoczywają. Całkowity nacisk pozostaje równomierny. Tak samo symetryczny układ trójfazowy dostarcza stałą moc całkowitą, dzięki czemu silniki pracują płynnie.

Potrzebuje też mniej miedzi niż trzy oddzielne obwody jednofazowe o tej samej mocy.

W tym temacie każde obciążenie jest symetryczne: wszystkie trzy fazy mają tę samą impedancję. Wtedy możesz obliczyć jedną fazę i pomnożyć przez trzy.

Samosprawdzenie O ile każde napięcie fazowe jest przesunięte względem następnego?
  1. 120°
  2. 180°
  3. 60°
  4. 90°

Odpowiedź: 120°. Trzy fazy dzielą jeden pełny cykl 360°, więc są oddalone o 360/3 = 120°.

2Połączenia Y i Δ

Obciążenie trójfazowe ma trzy impedancje. Można je połączyć na dwa sposoby.

NABCYABCΔ
  • Y (gwiazda): każda impedancja biegnie od linii do wspólnego punktu gwiazdowego N.
  • Δ (trójkąt): każda impedancja leży między dwiema liniami, tworząc trójkąt.

Napięcie między dwiema liniami to napięcie przewodowe VL, zwykle podawana wartość (400 V, 415 V, 208 V…). Napięcie na jednej impedancji to napięcie fazowe Vph. Ta sama idea dotyczy prądu przewodowego IL i prądu fazowego Iph.

Y: VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ: VL = Vph, IL = √3·Iph

W obu przypadkach jedna faza spełnia prawo Ohma: Iph = Vph / |Z|, gdzie |Z| = √(R² + X²).

Samosprawdzenie Obciążenie połączone w Y jest zasilane z sieci 400 V (międzyprzewodowo). Jakie napięcie jest na każdej impedancji?
  1. 133 V
  2. 231 V
  3. 400 V
  4. 693 V

Odpowiedź: 231 V. W Y Vph = VL/√3 = 400/√3 = 231 V. Wynik 400 V to przypadek Δ, 693 V mnoży przez √3, a 133 V dzieli przez √3 dwa razy.

3Moc w układach trójfazowych

Moc całkowita jest trzy razy większa od mocy jednej fazy. Zapisana wartościami przewodowymi ta sama moc całkowita przyjmuje postać:

P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ
S = √3·VL·IL Q = P·tan φ

Ten wzór jest taki sam dla Y i Δ. Współczynnik mocy cos φ to współczynnik mocy jednej impedancji fazowej: cos φ = R/|Z|.

Jeśli znasz prąd fazowy i rezystancję, możesz też użyć P = 3·Iph²·R. Tylko rezystancja pobiera moc czynną.

Samosprawdzenie Symetryczne obciążenie pobiera 10 A na przewód z sieci 400 V przy współczynniku mocy 0,9. Jaką całkowitą moc czynną pobiera?
  1. 10800 W
  2. 3600 W
  3. 6235 W
  4. 6928 W

Odpowiedź: 6235 W. P = √3·400·10·0,9 = 6235 W. Pominięcie √3 daje 3600 W, użycie 3 zamiast √3 z wartościami przewodowymi daje 10800 W, a 6928 W pomija współczynnik mocy.

4Metoda krok po kroku

  1. Zanotuj połączenie (Y lub Δ) i napięcie przewodowe VL.
  2. Znajdź napięcie fazowe: Vph = VL/√3 dla Y, Vph = VL dla Δ.
  3. Znajdź |Z| = √(R² + X²) i prąd fazowy Iph = Vph/|Z|.
  4. Znajdź prąd przewodowy: IL = Iph dla Y, IL = √3·Iph dla Δ.
  5. Znajdź moc: P = 3·Iph²·R albo P = √3·VL·IL·cos φ, gdzie cos φ = R/|Z|.

Pracuj w jednej fazie tak długo, jak się da. Przejdź na wartości przewodowe dopiero na końcu.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Symetryczne obciążenie połączone w Y ma impedancję 6 + j8 Ω na fazę i jest zasilane z sieci 400 V (międzyprzewodowo). Znajdź prąd przewodowy IL i całkowitą moc czynną P.

1

Napięcie fazowe

W połączeniu Y każda impedancja widzi napięcie fazowe.

Vph = 400 / √3 = 230,9 V
2

Moduł impedancji

|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω

Współczynnik mocy to cos φ = R/|Z| = 6/10 = 0,6.

3

Prąd fazowy i przewodowy

Iph = 230,9 / 10 = 23,1 A

W Y prąd przewodowy jest prądem fazowym, więc IL = 23,1 A.

4

Całkowita moc czynna

P = 3·Iph²·R = 3·23,1²·6 = 9600 W
5

Sprawdź wynik

Z wartościami przewodowymi: P = √3·400·23,1·0,6 = 9600 W. Oba wzory się zgadzają.

Odpowiedź

IL = 23,1 A oraz P = 9,6 kW.

6Typowe błędy

  • Przyłożenie napięcia przewodowego do impedancji w Y. W Y każda impedancja widzi VL/√3.
  • Zapomnienie, że w Δ prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego.
  • Dzielenie przez R zamiast przez |Z| przy wyznaczaniu prądu.
  • Użycie 3 z wartościami przewodowymi albo √3 z wartościami fazowymi we wzorze na moc.
Samosprawdzenie Te same impedancje 6 + j8 Ω są teraz połączone w Δ i zasilane z sieci 400 V. Jaki jest prąd przewodowy?
  1. 115 A
  2. 23,1 A
  3. 40 A
  4. 69,3 A

Odpowiedź: 69,3 A. W Δ Vph = 400 V, więc Iph = 400/10 = 40 A, a IL = √3·40 = 69,3 A. Wynik 40 A to tylko prąd fazowy, a 115 A dzieli przez R zamiast przez |Z|.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: obciążenie w Y lub Δ z impedancją, na przykład 3 + j4 Ω. Znajdź prąd przewodowy lub fazowy.
  • Średnie: całkowita moc czynna, z impedancji albo z VL, IL i współczynnika mocy. Zadanie o silniku podaje moc wyjściową i sprawność: najpierw znajdź Pin = Pout/η, potem IL = Pin/(√3·VL·cos φ).
  • Trudne: poprawa współczynnika mocy trójfazową baterią kondensatorów. Znajdź moc bierną QC albo pojemność na fazę.

Przy kompensacji QC = P·(tan φ1 − tan φ2), jak w układzie jednofazowym. Każdy z trzech kondensatorów dostarcza jedną trzecią tej mocy:

C = QC / (3·ω·V²)

Tutaj V to napięcie na każdym kondensatorze: VL dla Δ i VL/√3 dla Y. Bateria w Y potrzebuje więc trzykrotnie większej pojemności niż bateria w Δ.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?Z = 24 + j7 Ωna fazę

Symetryczny odbiornik połączony w trójkąt ma impedancję 24 + j7 Ω na fazę. Jest zasilany z symetrycznego źródła trójfazowego o napięciu przewodowym 400 V. Wyznacz wartość prądu przewodowego IL.

VL = 400 VZ = 24 + j7 Ω na fazę

Oblicz IL (A)

Pokaż podpowiedzi
  1. W połączeniu w trójkąt każda impedancja jest włączona między dwa przewody fazowe.
  2. Każda impedancja ma więc pełne napięcie przewodowe, a IL = √3·Iph.
  3. Iph = 400/25 = 16 A.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Moduł impedancji

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω

Prąd fazowy

Każda impedancja jest włączona między dwa przewody fazowe i ma napięcie VL.

Iph = VL/|Z| = 400/25 = 16 A

Prąd linii

IL = √3·Iph = √3·16 = 27,71 A

Odpowiedź

IL = 27,71 A
Przykład 2Średni
ABCVL​ = 400 VZ = 24 + j18 Ωna fazę

Symetryczny odbiornik połączony w trójkąt o impedancji 24 + j18 Ω na fazę jest przyłączony do symetrycznej sieci trójfazowej o napięciu przewodowym 400 V. Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

VL = 400 VZ = 24 + j18 Ω na fazę

Oblicz P (kW)

Pokaż podpowiedzi
  1. W połączeniu w trójkąt każda impedancja ma pełne napięcie przewodowe.
  2. Wyznacz prąd fazowy, a potem P = 3·Iph²·R.
  3. Iph = 13,33 A.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Napięcie fazowe

Vph = VL = 400 V

Prąd fazowy

|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω
Iph = 400/30 = 13,33 A

Całkowita moc czynna

Moc czynną pobiera tylko rezystancyjna część każdej impedancji.

P = 3·Iph²·R = 3·13,33²·24 = 12,8 kW

Odpowiedź

P = 12,8 kW

Sprawdzenie: cos φ = R/|Z| = 0,8, a √3·VL·IL·cos φ daje tę samą moc.

Przykład 3Trudny
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 60 kW przy współczynniku mocy 0,7 (indukcyjnym) z sieci 480 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,9 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w gwiazdę. Wyznacz pojemność Cph każdego kondensatora w µF.

P = 60 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 60 Hz

Oblicz Cph (µF)

Pokaż podpowiedzi
  1. Najpierw wyznacz QC = P·(tan φ1 − tan φ2).
  2. Każdy kondensator dostarcza QC/3.
  3. W gwieździe każdy kondensator ma napięcie VL/√3: QC/3 = (VL/√3)²·ω·C.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q1 = 60·tan(acos 0,7) = 60·1,02 = 61,21 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,9) = 60·0,4843 = 29,06 kvar

Moc bierna z kondensatorów

QC = Q1 − Q2 = 32,15 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w gwiazdę każdy kondensator jest włączony między przewód fazowy a punkt gwiazdowy.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 10718/(377·277,1²) = 370,2 µF

Odpowiedź

Cph = 370,2 µF

Pytania i odpowiedzi

Moc w układach trójfazowych: co to jest?

Niemal cała energia elektryczna jest wytwarzana i rozdzielana jako prąd przemienny trójfazowy. Trzy przewody, zwane liniami lub fazami (A, B i C), niosą po jednej sinusoidzie.

Trzy przebiegi mają tę samą amplitudę i częstotliwość, ale każdy jest przesunięty o jedną trzecią cyklu, 120°, względem następnego.

Moc w układach trójfazowych: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Moc w układach trójfazowych: jakie błędy są najczęstsze?
  • To prąd fazowy płynący przez jedną impedancję. W połączeniu w trójkąt prąd przewodowy jest √3 razy większy.
  • To wynik dla połączenia w gwiazdę. W połączeniu w trójkąt każda impedancja ma pełne napięcie przewodowe.
  • Dziel przez moduł impedancji |Z| = √(R² + X²), a nie przez samo R.
Moc w układach trójfazowych: co ćwiczysz?
  • Łatwy: napięcia i prądy w symetrycznych układach Y i Δ
  • Średni: moc trójfazowa
  • Trudny: kompensacja mocy biernej

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Moc AC i współczynnik mocy

Kalkulatory

Kalkulator mocy trójfazowejKalkulator spadku napięcia

Przedmioty z tym tematem

Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennegoPodstawy elektrotechnikiSystemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczneEnergoelektronika i napędyPrzygotowanie do egzaminu FE Electrical and Computer

Więcej tematów: Elektrotechnika

Rezystory szeregowo i równolegleSuperpozycjaThévenin i NortonMetoda potencjałów węzłowychMetoda prądów oczkowychStany nieustalone RC i RLImpedancja i wskazy ACMoc AC i współczynnik mocyRezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTransformatorySilniki prądu stałegoUkłady ze wzmacniaczami operacyjnymiDiody i tranzystoryPrzetwornice DC-DCLogika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiMostek Wheatstone’a i tensometryAkwizycja danych i próbkowanieTransformaty Laplace’aSchematy blokoweOdpowiedź skokowaWykresy Bodego i zapasyStabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowaUchyb ustalony i regulacja PIDSplot i układy liniowe stacjonarne

Karta pracy do druku

Moc w układach trójfazowych: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Moc w układach trójfazowychĆwicz teraz: Moc w układach trójfazowych5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.