Metoda potencjałów węzłowych: zadania z rozwiązaniami krok po kroku
Inaczej: metoda węzłowa · potencjały węzłowe · I prawo Kirchhoffa
Darmowe zadania z tematu Metoda potencjałów węzłowych z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: 1 nieznany węzeł, 2 nieznane węzły, 2 węzły, 3 źródła.
Darmowe zadanieŁatwy
Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć prąd IR1 płynący przez R1 w kierunku strzałki.
Analiza węzłowa to standardowa metoda znajdowania wszystkich napięć w obwodzie. Działa nawet wtedy, gdy reguły szeregowe i równoległe nie wystarczają.
Węzeł to punkt, w którym łączą się dwie lub więcej części obwodu. Cały odcinek zwykłego przewodu liczy się jako jeden węzeł, ponieważ na przewodzie nie ma spadku napięcia.
Wybierasz jeden węzeł jako odniesienie, zwane też masą, i nadajesz mu 0 V. Napięcie każdego innego węzła mierzy się od tego węzła.
Pomyśl o wysokościach na mapie, mierzonych od poziomu morza. Woda płynie z wysokiego na niskie, a przepływ w rurze zależy od różnicy wysokości jej końców.
Gdy znasz napięcia węzłów, prawo Ohma daje każdy prąd. Napięcia węzłów są więc jedynymi niewiadomymi, jakich potrzebujesz.
Samosprawdzenie Który węzeł z definicji ma napięcie 0 V?
Każdy węzeł bez źródła
Węzeł obok największego źródła
Węzeł odniesienia (masa), który wybrałeś
Węzeł z największą liczbą rezystorów
Odpowiedź: Węzeł odniesienia (masa), który wybrałeś. Węzeł odniesienia wybierasz sam i nazywasz go 0 V. Wszystkie inne napięcia węzłów mierzy się od niego.
2Prądowe prawo Kirchhoffa
Ładunek nie może się gromadzić w węźle. Cały prąd, który wpływa do węzła, musi więc z niego wypłynąć. To pierwsze prawo Kirchhoffa (KCL).
ΣIin = ΣIout
Na przykład jeśli do węzła wpływa 3 A i 2 A, to łącznie 5 A musi go opuścić innymi gałęziami.
Prąd w każdym rezystorze zapisujesz prawem Ohma, używając napięć na jego dwóch końcach:
I = (Va − Vb) / R
To prąd od a do b. Jeśli wynik jest ujemny, prąd naprawdę płynie od b do a. To w porządku: zachowaj znak.
Samosprawdzenie Węzeł a ma 9 V, a węzeł b ma 4 V. Łączy je rezystor 5 Ω. Jaki prąd płynie od a do b?
1 A
1,8 A
2,6 A
−1 A
Odpowiedź: 1 A. I = (9 − 4)/5 = 1 A. Dodanie napięć daje 2,6 A, zamiana ich miejscami daje −1 A, a 1,8 A pomija napięcie w b.
3Metoda krok po kroku
Wybierz węzeł odniesienia. Zwykle jest to dolny przewód. Oznacz go symbolem masy.
Znajdź węzły, których napięcie już znasz. Węzeł połączony z masą źródłem napięcia ma napięcie tego źródła.
Nazwij każdy inny węzeł (A, B, …). Ich napięcia VA, VB, … są niewiadomymi.
Dla każdego nieznanego węzła zapisz KCL: prądy wypływające przez rezystory sumują się do prądu wpychanego przez źródła prądu.
Zapisz każdy prąd rezystora jako (Vwęzła − Vdrugiego końca)/R, potem rozwiąż równania.
Użyj prawa Ohma, aby znaleźć dowolny prąd gałęzi, o który pyta zadanie.
Zapisywanie każdego prądu rezystora jako wypływającego z węzła sprawia, że znaki wychodzą automatycznie. Nie musisz najpierw zgadywać rzeczywistych kierunków.
Potrzebujesz jednego równania na każdy nieznany węzeł. Nigdy nie pisz równania dla węzła odniesienia: jego napięcie jest już znane.
4Przykład krok po kroku
Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.
Przykład krok po kroku
Znajdź napięcie węzła VA i prąd IR1 przez R1, od źródła w stronę A.
1
Przyjrzyj się obwodowi
Dolny przewód to masa. Góra V1 leży 15 V nad masą, więc ten węzeł jest znany: 15 V.
Tylko węzeł A jest nieznany, więc potrzebujesz jednego równania.
2
Zapisz KCL w A
Z A wypływają dwa rezystory: R1 idzie do węzła 15 V, a R2 do masy. Źródło prądu wpycha 1 A do A.
(VA − 15)/3 + VA/6 = 1
3
Rozwiąż względem VA
Pomnóż obie strony przez 6, aby usunąć ułamki.
2·(VA − 15) + VA = 6
3·VA − 30 = 6 ⇒ VA = 12 V
4
Prąd w R₁
IR1 = (15 − 12)/3 = 1 A
Wynik jest dodatni, więc 1 A naprawdę płynie od źródła w stronę A.
5
Sprawdź wynik
R2 przewodzi 12/6 = 2 A w dół do masy. Do A wpływa 1 A przez R1 i 1 A ze źródła prądu.
Wpływają 2 A i wypływają 2 A, więc KCL jest spełnione w A.
Odpowiedź
VA = 12 V i IR1 = 1 A.
5Dwa nieznane węzły
Przy dwóch nieznanych węzłach piszesz jedno równanie KCL w każdym węźle i rozwiązujesz oba równania razem.
W węźle A wypływają trzy rezystory: R1, R2 i R3. W węźle B wypływają dwa rezystory, a źródło prądu wpycha 2 A.
A: (VA − 6)/2 + VA/3 + (VA − VB)/3 = 0
B: (VB − VA)/3 + VB/3 = 2
Pomnóż pierwsze równanie przez 6, a drugie przez 3:
7·VA − 2·VB = 18
−VA + 2·VB = 6
Dodaj oba równania. Składniki z VB się skracają, więc 6·VA = 24.
VA = 4 V, VB = 5 V
Zauważ, że R3 pojawia się w obu równaniach, jako (VA − VB) w A i jako (VB − VA) w B. To szybka kontrola, czy równania są poprawne.
6Typowe błędy
Pomylenie znaku wspólnego rezystora: w A jest (VA − VB), ale w B (VB − VA).
Zapomnienie o źródle prądu, które wpływa do węzła lub z niego wypływa.
Pisanie równania KCL dla węzła odniesienia albo traktowanie znanego węzła jako nieznanego.
Pominięcie minusa ujemnego prądu. Ujemny wynik oznacza, że prąd płynie przeciwnie do strzałki.
Samosprawdzenie W węźle A jeden rezystor 4 Ω idzie do masy, a drugi rezystor 4 Ω do węzła 12 V. Źródło 2 A wpycha prąd do A. Ile wynosi VA?
10 V
12 V
2 V
6 V
Odpowiedź: 10 V. (VA − 12)/4 + VA/4 = 2 daje 2·VA − 12 = 8, więc VA = 10 V. Pominięcie źródła daje 6 V; potraktowanie go jako wypływającego z A daje 2 V.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: jeden nieznany węzeł A, ze źródłem napięcia i albo źródłem prądu, albo drugim źródłem napięcia. Wystarczy jedno równanie KCL.
Średnie: dwa nieznane węzły A i B, ze źródłem prądu w B. Zapisz dwa równania i rozwiąż je razem.
Trudne: dwa nieznane węzły i trzy źródła: dwa źródła napięcia i źródło prądu. Metoda jest ta sama, z większą liczbą składników.
Zadanie pyta o napięcie węzła albo o prąd przez jeden rezystor w kierunku strzałki.
Dla prądu gałęzi najpierw znajdź napięcia węzłów. Potem użyj I = (Vpoczątku − Vkońca)/R wzdłuż strzałki.
Nieznany jest tylko węzeł A. Zapisz jedno równanie PPK: suma prądów gałęzi wypływających z A jest równa zeru.
Prąd każdej gałęzi to (VA − Vk)/Rk. Zbierz wyrazy z VA po jednej stronie.
Σ1/R = 0,9583 S.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.
PPK w węźle A
Przyjmij dolny przewód jako masę. Każda gałąź odprowadza z A prąd (VA − Vk)/Rk, gdzie Vk to napięcie jej źródła (zero dla samego rezystora). Prądy wypływające z A sumują się do zera.
(VA − 20)/8 + (VA − 18)/3 + (VA − 8)/2 = 0
Wyznacz VA
VA = (20/8 + 18/3 + 8/2) / (1/8 + 1/3 + 1/2) = 12,5/0,9583 = 13,04 V
Odpowiedź
VA = 13,04 V
Przykład 2Średni
Źródło napięcia Vₛ między A i B ma zacisk + po stronie B, więc VB − VA = Vₛ. Użyj metody potencjałów węzłowych z superwęzłem, aby wyznaczyć prąd Ix przez źródło napięcia, od A do B zgodnie ze strzałką.
Is = 1,5 AVs = 3 VR1 = 6 ΩR2 = 3 Ω
Oblicz Ix(A)
Pokaż podpowiedzi
Źródło napięcia między dwoma węzłami innymi niż masa narzuca ich różnicę: VB − VA = Vs.
Zapisz jedno równanie PPK dla superwęzła obejmującego A, B i źródło: VA/R₁ + VB/R₂ = Is.
VA = 1 V.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.
Utwórz superwęzeł
Przez źródło napięcia między A i B płynie nieznany prąd, więc nie można zapisać PPK osobno w A ani w B. Obejmij A, B i źródło jednym superwęzłem: prąd do niego wpływający jest równy prądowi wypływającemu.
VB = VA + Vs = VA + 3
VA/R1 + VB/R2 = Is
Rozwiąż
VA/6 + (VA + 3)/3 = 1,5
VA = (1,5 − 3/3)/(1/6 + 1/3) = 1 V
VB = 1 + 3 = 4 V
Prąd przez źródło napięcia
Wszystko, co przepływa przez źródło od A do B, opuszcza węzeł B przez R₂.
Ix = VB/R2 = 4/3 = 1,333 A
Odpowiedź
Ix = 1,333 A
Wynik ujemny oznacza, że rzeczywisty prąd płynie przeciwnie do strzałki.
Przykład 3Trudny
Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć prąd IR4 płynący przez R4 w kierunku strzałki.
Przyjmij dolny przewód jako masę (0 V). Węzły połączone bezpośrednio ze źródłem napięcia są już znane, więc niewiadome to VA i VB.
Zapisz PPK w A: dla każdego rezystora (VA − Vdrugi koniec)/R, a sumę przyrównaj do prądu źródła wpływającego do A.
Rozwiązanie daje VA = 2,455 V. Wtedy IR4 = (napięcie na początku strzałki − napięcie na grocie)/R4.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.
Ustal węzły
Masa to dolny przewód. Znane potencjały węzłów wynikają bezpośrednio ze źródeł (V1 = 6 V, V2 = 9 V). Niewiadome: VA, VB.
PPK w węźle A
Prądy wypływające z A przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do A ze źródeł.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/30 + (VA − 6)/20 + (VA − VB)/20 = 0
0,1333·VA − 0,05·VB = 0,3
PPK w węźle B
Prądy wypływające z B przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do B ze źródeł.
VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/20 + (VB − 9)/20 = (−0,5)
−0,05·VA + 0,1333·VB = −0,05
Rozwiąż
Δ = (0,1333)(0,1333) − (−0,05)(−0,05) = 0,01528
VA = Δ1/Δ = 0,0375/0,01528 = 2,455 V
VB = Δ2/Δ = 0,008333/0,01528 = 0,5455 V
Odpowiedź
IR4 = (VB − V2)/R4 = (0,5455 − 9)/20 = −0,4227 A
Pytania i odpowiedzi
Metoda potencjałów węzłowych: co to jest?
Analiza węzłowa to standardowa metoda znajdowania wszystkich napięć w obwodzie. Działa nawet wtedy, gdy reguły szeregowe i równoległe nie wystarczają.
Wybierasz jeden węzeł jako odniesienie, zwane też masą, i nadajesz mu 0 V. Napięcie każdego innego węzła mierzy się od tego węzła.
Metoda potencjałów węzłowych: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Wybierz węzeł odniesienia (masę) i oznacz potencjały pozostałych węzłów.
Napisz prądowe prawo Kirchhoffa dla każdego nieznanego węzła: prądy wypływające przez każdą gałąź są równe prądom wpływającym.
Wyraź każdy prąd gałęziowy jako (Va − Vb)/R.
Rozwiąż układ równań, a potem wyznacz potrzebne prądy.
Metoda potencjałów węzłowych: jakie błędy są najczęstsze?
Pomylenie znaku prądu gałęziowego między dwoma równaniami węzłowymi.
Pisanie równania dla węzła odniesienia.
Pominięcie źródła prądowego, które wpływa do węzła lub z niego wypływa.
Metoda potencjałów węzłowych: co ćwiczysz?
Łatwy: 1 nieznany węzeł
Średni: 2 nieznane węzły
Trudny: 2 węzły, 3 źródła
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.