Impedancja i wskazy AC: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: metoda symboliczna · prąd przemienny · impedancja zespolona

Darmowe zadania z tematu Impedancja i wskazy AC z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: szeregowy RL, szeregowy RLC, napięcie kondensatora i rezonans.

Darmowe zadanieŁatwy
120 V50 HzR = 40 ΩL = 150 mH

Szeregowy obwód RL jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia VR na rezystorze.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 150 mH
V
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Impedancja i wskazy ACĆwicz teraz: Impedancja i wskazy AC5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwyszeregowy RL
  2. Średniszeregowy RLC
  3. Trudnynapięcie kondensatora i rezonans

Jak rozwiązywać zadania: Impedancja i wskazy AC

  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Typowe błędy

  • Użycie f zamiast ω.
  • Dodawanie modułów impedancji zamiast wartości zespolonych.
  • Zapominanie, że reaktancja pojemnościowa jest ujemna w impedancji zespolonej.

Najważniejsze wzory

Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z

Naucz się tematu Impedancja i wskazy AC od zera

Wcześniej: Rezystory szeregowo i równolegle

1Czym są prąd przemienny i impedancja

Sieć zasilająca to prąd przemienny (AC): napięcie waha się w górę i w dół jak sinusoida, wiele razy na sekundę.

Częstotliwość f to liczba pełnych drgań na sekundę, w hercach (Hz). Sieć ma 50 Hz w Europie i 60 Hz w Ameryce Północnej.

Obliczenia AC często używają pulsacji (częstotliwości kątowej):

ω = 2π·f (rad/s)

Napięcia i prądy AC podaje się zwykle jako wartości skuteczne (rms). Wartość skuteczna wykonuje tę samą pracę grzewczą co ta wartość DC. „230 V” w sieci oznacza 230 V rms.

W obwodach AC prąd ograniczają też cewki i kondensatory, nie tylko rezystory. Ich łączne działanie nazywa się impedancją Z, mierzoną w omach.

Samosprawdzenie Zasilanie pracuje z częstotliwością 50 Hz. Ile wynosi jego pulsacja ω?
  1. 157 rad/s
  2. 314 rad/s
  3. 50 rad/s
  4. 7,96 rad/s

Odpowiedź: 314 rad/s. ω = 2π·50 = 314 rad/s. Użycie samego f (50) lub dzielenie przez 2π (7,96) to zwykłe pomyłki; 157 zapomina o czynniku 2.

2Reaktancja cewki i kondensatora

Cewka i kondensator przeciwstawiają się AC w sposób zależny od częstotliwości. To zależne od częstotliwości przeciwstawianie się nazywa się reaktancją X, w omach.

XL = ω·L XC = 1 / (ω·C)
  • Cewka przeciwstawia się szybkim zmianom. Jej reaktancja XL rośnie z częstotliwością. Przy DC (f = 0) jest zwykłym przewodem.
  • Kondensator blokuje DC, ale przepuszcza szybkie zmiany. Jego reaktancja XC maleje wraz ze wzrostem częstotliwości.

Zawsze używaj L w henrach i C w faradach: 100 mH = 0,1 H i 10 µF = 10·10−6 F.

Samosprawdzenie Ile wynosi reaktancja cewki 100 mH przy 50 Hz?
  1. 0,0318 Ω
  2. 31,4 Ω
  3. 5 Ω
  4. 5000 Ω

Odpowiedź: 31,4 Ω. XL = ωL = 2π·50·0,1 = 31,4 Ω. Użycie f zamiast ω daje 5 Ω, a zapomnienie o zamianie mH na H daje 5000 Ω.

3Impedancja i kąt fazowy

W rezystorze napięcie i prąd rosną i maleją razem. W cewce prąd opóźnia się o ćwierć okresu względem napięcia; w kondensatorze wyprzedza je o ćwierć okresu.

Z powodu tego przesunięcia nie możesz dodawać R i X jako zwykłych liczb. Dodajesz je pod kątem prostym, zapisując jako liczbę zespoloną z j:

Z = R + j·(XL − XC)
RXL​|Z|φ

Wielkość impedancji i jej kąt wynikają z trójkąta prostokątnego:

|Z| = √(R² + X²) φ = arctan(X / R)

Prawo Ohma działa z modułem: I = V / |Z|. Kąt φ mówi, o ile prąd opóźnia się względem napięcia. Dodatnie φ oznacza charakter indukcyjny (prąd opóźniony); ujemne φ oznacza charakter pojemnościowy.

Samosprawdzenie Obwód szeregowy ma R = 30 Ω i XL = 40 Ω. Ile wynosi |Z|?
  1. 10 Ω
  2. 2500 Ω
  3. 50 Ω
  4. 70 Ω

Odpowiedź: 50 Ω. |Z| = √(30² + 40²) = √2500 = 50 Ω. Dodanie obu (70 Ω) ignoruje kąt prosty, a 2500 zapomina o pierwiastku.

4Metoda krok po kroku

  1. Zamień częstotliwość: ω = 2π·f.
  2. Znajdź każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC). Użyj H i F.
  3. Znajdź reaktancję wypadkową X = XL − XC (obwód szeregowy).
  4. Znajdź |Z| = √(R² + X²) i, jeśli trzeba, φ = arctan(X/R).
  5. Użyj prawa Ohma: I = V/|Z|. Wtedy napięcie na jednej części to I razy jej R lub X.

W obwodzie szeregowym przez każdą część płynie ten sam prąd. Dlatego możesz najpierw znaleźć I i używać go wszędzie.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Szeregowy obwód RL z R = 50 Ω i L = 100 mH jest podłączony do zasilania 120 V (rms), 60 Hz. Znajdź |Z|, prąd skuteczny I i kąt fazowy φ.

1

Przyjrzyj się obwodowi

120 V60 HzR = 50 ΩL = 100 mHI

Nie ma kondensatora, więc XC = 0.

2

Pulsacja i reaktancja

ω = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω
3

Impedancja

50 Ω37,7 Ω62,6 Ωφ
|Z| = √(50² + 37,7²) = 62,6 Ω
4

Prąd i kąt fazowy

I = V / |Z| = 120 / 62,6 = 1,92 A
φ = arctan(37,7 / 50) = 37,0°

Kąt jest dodatni, więc prąd opóźnia się względem napięcia, jak należy się spodziewać w obwodzie indukcyjnym.

5

Sprawdź wynik

Rezystor zabiera 1,92·50 = 95,8 V, a cewka 1,92·37,7 = 72,2 V. Dodane jako zwykłe liczby to 168 V, więcej niż zasilanie.

Dodane pod kątem prostym wychodzi dobrze: √(95,8² + 72,2²) = 120 V, napięcie zasilania.

Odpowiedź

|Z| = 62,6 Ω, I = 1,92 A i φ = 37,0° (prąd opóźniony).

6Typowe błędy

  • Użycie f zamiast ω = 2πf w XL i XC.
  • Dodawanie R, XL i XC jako zwykłych liczb. R jest pod kątem prostym do X; XL i XC wskazują przeciwne kierunki.
  • Zapomnienie, że reaktancja pojemnościowa się odejmuje: X = XL − XC.
  • Pozostawienie L w mH lub C w µF albo użycie kalkulatora ustawionego na radiany, gdy chcesz φ w stopniach.
Samosprawdzenie Obwód szeregowy RLC ma R = 40 Ω, XL = 50 Ω i XC = 20 Ω. Ile wynosi |Z|?
  1. 110 Ω
  2. 50 Ω
  3. 70 Ω
  4. 80,6 Ω

Odpowiedź: 50 Ω. X = 50 − 20 = 30 Ω, więc |Z| = √(40² + 30²) = 50 Ω. Dodanie XC zamiast odjęcia daje √(40² + 70²) = 80,6 Ω; 110 Ω to proste dodanie wszystkich liczb.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: szeregowy obwód RL zasilany napięciem 50 Hz lub 60 Hz. Wyznaczasz |Z| lub prąd skuteczny I.
  • Średnie: szeregowy obwód RLC przy różnych częstotliwościach. Wyznaczasz prąd I lub kąt fazowy φ, który jest ujemny, gdy XC jest większe od XL.
  • Trudne: szeregowy obwód RLC, w którym wyznaczasz napięcie na kondensatorze, prąd lub częstotliwość rezonansową.

Aby znaleźć napięcie na kondensatorze, najpierw wyznacz I, a potem VC = I·XC. W pobliżu rezonansu może ono być większe od napięcia zasilania.

Przy rezonansie XL = XC, więc się znoszą i |Z| = R. Częstotliwość zasilania nie ma tu znaczenia:

f0 = 1 / (2π·√(L·C))

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
V100 HzC = 1 µF

Wyznacz reaktancję XC kondensatora 1 µF przy 100 Hz.

C = 1 µFf = 100 Hz

Oblicz XC (Ω)

Pokaż podpowiedzi
  1. Zamień L i C na reaktancje: XL = 2πfL i XC = 1/(2πfC).
  2. Najpierw przelicz µF na F: pomnóż przez 10⁻⁶.
  3. ω = 628,3 rad/s.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·1·10⁻⁶) = 1592 Ω

Odpowiedź

XC = 1592 Ω
Przykład 2Średni
Vf0​ = 1000 HzRL = 200 mHC = ?

Szeregowy obwód RLC z L = 200 mH ma być w rezonansie przy 1000 Hz. Wyznacz potrzebną pojemność C.

f0 = 1000 HzL = 200 mH

Oblicz C (µF)

Pokaż podpowiedzi
  1. W rezonansie XL = XC, co daje f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. Przekształć: C = 1/((2πf₀)²·L).
  3. (2πf₀)² = 3,948 × 10⁷ s⁻².
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0,2) = 0,1267 µF

Odpowiedź

C = 0,1267 µF
Przykład 3Trudny
VfR = 20 ΩL = 200 mHC = 1 µF

Szeregowy obwód RLC ma R = 20 Ω, L = 200 mH i C = 1 µF. Wyznacz jego dobroć Q w rezonansie.

R = 20 ΩL = 200 mHC = 1 µF

Oblicz Q

Pokaż podpowiedzi
  1. Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. Q = ω₀L/R = (1/R)·√(L/C).
  3. f₀ = 355,9 Hz, Q = 22,36.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Częstotliwość rezonansowa

f0 = 1/(2π·√(0,2·1·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,2/(1·10⁻⁶)) = 22,36

Odpowiedź

Q = 22,36

Pytania i odpowiedzi

Impedancja i wskazy AC: co to jest?

Sieć zasilająca to prąd przemienny (AC): napięcie waha się w górę i w dół jak sinusoida, wiele razy na sekundę.

Obliczenia AC często używają pulsacji (częstotliwości kątowej):

Impedancja i wskazy AC: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.
Impedancja i wskazy AC: jakie błędy są najczęstsze?
  • Użycie f zamiast ω.
  • Dodawanie modułów impedancji zamiast wartości zespolonych.
  • Zapominanie, że reaktancja pojemnościowa jest ujemna w impedancji zespolonej.
Impedancja i wskazy AC: co ćwiczysz?
  • Łatwy: szeregowy RL
  • Średni: szeregowy RLC
  • Trudny: napięcie kondensatora i rezonans

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Rezystory szeregowo i równolegle

Potem przejdź do

Moc AC i współczynnik mocyWykresy Bodego i zapasyRezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTransformatory

Kalkulatory

Kalkulator impedancji RLC

Przedmioty z tym tematem

Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennegoPodstawy elektrotechnikiFizyka 2: Elektryczność i magnetyzmSystemy elektroenergetyczne i maszyny elektrycznePrzygotowanie do egzaminu FE Electrical and Computer

Więcej tematów: Elektrotechnika

Rezystory szeregowo i równolegleSuperpozycjaThévenin i NortonMetoda potencjałów węzłowychMetoda prądów oczkowychStany nieustalone RC i RLMoc AC i współczynnik mocyRezonans LC, dobroć i szerokość pasmaMoc w układach trójfazowychTransformatorySilniki prądu stałegoUkłady ze wzmacniaczami operacyjnymiDiody i tranzystoryPrzetwornice DC-DCLogika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiMostek Wheatstone’a i tensometryAkwizycja danych i próbkowanieTransformaty Laplace’aSchematy blokoweOdpowiedź skokowaWykresy Bodego i zapasyStabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowaUchyb ustalony i regulacja PIDSplot i układy liniowe stacjonarne

Karta pracy do druku

Impedancja i wskazy AC: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Impedancja i wskazy ACĆwicz teraz: Impedancja i wskazy AC5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.