Metoda prądów oczkowych: zadania z rozwiązaniami krok po kroku
Inaczej: metoda oczkowa · prądy oczkowe · II prawo Kirchhoffa
Darmowe zadania z tematu Metoda prądów oczkowych z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: 2 oczka, 1 źródło, 2 oczka, 2 źródła, 3 oczka.
Darmowe zadanieŁatwy
Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd IR1 płynący przez R1 w kierunku strzałki.
Analiza oczkowa to standardowa metoda znajdowania prądów w obwodzie. Jest partnerką analizy węzłowej: analiza węzłowa używa napięć jako niewiadomych, analiza oczkowa używa prądów.
Spójrz na płaski rysunek obwodu. Puste „okna” zamknięte przez przewody i elementy nazywają się oczkami.
Wyobrażasz sobie jeden prąd krążący wokół każdego okna. To prądy oczkowe. Każdy rzeczywisty prąd gałęzi jest z nich zbudowany.
Wyobraź sobie rząd kół zębatych obok siebie. Każde koło obraca się samo, a tam, gdzie dwa koła się stykają, widzisz różnicę ich ruchów.
Samosprawdzenie Płaski rysunek obwodu ma trzy okna. Ile prądów oczkowych potrzebujesz?
1
2
3
6
Odpowiedź: 3. Jeden prąd oczkowy na okno, więc trzy. Potem zapisujesz jedno równanie na oczko, w sumie trzy równania.
2Napięciowe prawo Kirchhoffa
Przejdź raz po dowolnej zamkniętej pętli i wróć tam, skąd zacząłeś. Kończysz przy tym samym napięciu, co na początku.
Napięcie, które zyskujesz na źródłach, równa się więc napięciu, które tracisz na rezystorach. To drugie prawo Kirchhoffa (KVL).
Σ wzrostów napięcia = Σ spadków napięcia
Źródło jest wzrostem, gdy przechodzisz przez nie od − do +. Rezystor jest spadkiem o I·R, gdy przechodzisz przez niego zgodnie z kierunkiem jego prądu.
W tej pętli źródło daje 12 V. Jeden rezystor zabiera 8 V, więc drugi musi zabrać pozostałe 4 V.
Samosprawdzenie Źródło 10 V zasila jedną pętlę z dwoma rezystorami. Na pierwszym jest 7 V. Jakie jest napięcie na drugim?
10 V
17 V
3 V
7 V
Odpowiedź: 3 V. Spadki muszą się sumować do wzrostu o 10 V: 10 − 7 = 3 V. Dodanie napięć (17 V) łamie KVL.
3Prądy oczkowe we wspólnym rezystorze
Rysuj każdy prąd oczkowy zgodnie z ruchem wskazówek zegara, z tym samym schematem nazw: I1, I2, …
Rezystor na zewnątrz obwodu należy tylko do jednego oczka. Płynie przez niego prąd tego oczka.
Rezystor między dwoma oknami jest wspólny. Przepływają przez niego oba prądy oczkowe, w przeciwnych kierunkach. Jego rzeczywisty prąd jest różnicą.
IR3 (w dół) = I1 − I2
W oczku 1 prąd I1 płynie w dół przez R3, więc piszesz I1 − I2. W oczku 2 prąd I2 płynie w górę przez R3, więc piszesz I2 − I1.
Samosprawdzenie W powyższym obwodzie I1 = 3 A, a I2 = 1 A. Jaki prąd płynie w dół przez R3?
1 A
2 A
3 A
4 A
Odpowiedź: 2 A. Wspólny rezystor przewodzi różnicę: 3 − 1 = 2 A w dół. Dodanie prądów oczkowych (4 A) to najczęstsza pomyłka.
4Metoda krok po kroku
Policz okna. Narysuj w każdym jeden prąd oczkowy zgodny z ruchem wskazówek zegara: I1, I2, …
Obejdź oczko 1 zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Dodaj spadki: dla każdego rezystora R razy prąd przez niego (jego własny prąd oczkowy albo różnica we wspólnym rezystorze).
Przyrównaj spadki do wzrostów na źródłach w tym oczku. Źródło liczy się jako +, gdy przechodzisz przez nie od − do +, a jako − w drugą stronę.
Powtórz dla każdego oczka. Dostajesz jedno równanie na oczko.
Rozwiąż równania względem prądów oczkowych.
Znajdź prąd gałęzi lub napięcie, których potrzebujesz. Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Zawsze obchodź w tym samym kierunku co prąd oczkowy. Wtedy każdy składnik z rezystorem zaczyna się od plusa.
5Przykład krok po kroku
Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.
Przykład krok po kroku
Znajdź prądy oczkowe i prąd IR3 przez R3, w kierunku strzałki.
1
Przypisz prądy oczkowe
Są dwa okna, więc są dwa prądy oczkowe zgodne z ruchem wskazówek zegara, I1 i I2. R3 jest wspólny dla obu.
2
KVL wokół oczka 1
Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, przechodzisz przez V1 od − do +: wzrost o 10 V. R1 przewodzi I1, a R3 przewodzi I1 − I2.
2·I1 + 6·(I1 − I2) = 10
8·I1 − 6·I2 = 10
3
KVL wokół oczka 2
Oczko 2 nie ma źródła, więc jego spadki sumują się do 0. R2 i R4 przewodzą I2, a R3 przewodzi I2 − I1.
4·I2 + 2·I2 + 6·(I2 − I1) = 0
−6·I1 + 12·I2 = 0 ⇒ I1 = 2·I2
4
Rozwiąż równania
Podstaw I1 = 2·I2 do pierwszego równania.
8·2·I2 − 6·I2 = 10 ⇒ 10·I2 = 10
I2 = 1 A, I1 = 2 A
5
Prąd w R₃
Strzałka wskazuje w dół, tak samo jak I1 w R3.
IR3 = I1 − I2 = 2 − 1 = 1 A
6
Sprawdź wynik
Oczko 1: R1 zabiera 2·2 = 4 V, a R3 zabiera 6·1 = 6 V. Razem 10 V, tyle co V1.
Oczko 2: R2 i R4 przewodzą 1 A i zabierają 4 + 2 = 6 V. To równa się 6 V na R3, jak musi być, ponieważ leżą między tymi samymi dwoma węzłami.
Odpowiedź
I1 = 2 A, I2 = 1 A i IR3 = 1 A w dół.
6Typowe błędy
Użycie pełnego prądu oczkowego we wspólnym rezystorze. Wspólny rezystor przewodzi różnicę dwóch prądów oczkowych.
Zły znak źródła. Przejście przez źródło od + do − w kierunku obchodu liczy się jako ujemny wzrost.
Obchodzenie niektórych oczek przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Utrzymuj każdy prąd oczkowy i każdy obchód zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Zapominanie, że wynik ujemny jest dozwolony. Oznacza to tylko, że prąd płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Samosprawdzenie Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara wokół oczka 2, przechodzisz przez źródło 6 V od strony + do strony −. Oczko 2 zawiera R2 = 2 Ω i wspólny R3 = 4 Ω. Które równanie jest poprawne?
2·I2 + 4·(I1 − I2) = −6
2·I2 + 4·(I2 − I1) = 6
2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6
2·I2 + 4·I2 = −6
Odpowiedź: 2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6. Przejście przez źródło od + do − to spadek, więc po stronie wzrostów liczy się jako −6 V. W oczku 2 wspólny rezystor przewodzi I2 − I1, a nie samo I2 i nie I1 − I2.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: dwa oczka i jedno źródło napięcia, jak w rozwiązanym przykładzie. Oczko 2 nie ma źródła, więc jego równanie równa się 0.
Średnie: dwa oczka i dwa źródła napięcia, po jednym z każdej strony. Uważaj na znak prawego źródła w oczku 2.
Trudne: trzy oczka z dwoma wspólnymi rezystorami. Środkowe oczko dzieli rezystor z każdym sąsiadem.
Pytanie dotyczy prądu oczkowego, prądu przez rezystor w kierunku strzałki albo napięcia na rezystorze z pokazaną polaryzacją.
Dla napięcia najpierw znajdź prąd przez rezystor, a potem użyj V = I·R.
Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd IR2 płynący przez R2 w kierunku strzałki.
V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 8 Ω
Oblicz IR2(A)
Pokaż podpowiedzi
Są 2 okna, więc zdefiniuj 2 prądy oczkowe zgodne z ruchem wskazówek zegara (I1, I2) i zapisz po jednym równaniu NPK na oczko.
W oczku 1 każdy rezystor przewodzi I1, z wyjątkiem rezystora wspólnego, który przewodzi I1 − I2.
Rozwiązanie daje I1 = 0,95 A.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.
Przypisz prądy oczkowe
Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I1, I2. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.
NPK w oczku 1
Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
8·I1 + 3(I1 − I2) = 10
11·I1 − 3·I2 = 10
NPK w oczku 2
Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).
R2·I2 + R3(I2 − I1) + R4·I2 = 0
8·I2 + 3(I2 − I1) + 8·I2 = 0
−3·I1 + 19·I2 = 0
Rozwiąż
Δ = (11)(19) − (−3)(−3) = 200
I1 = Δ1/Δ = 190/200 = 0,95 A
I2 = Δ2/Δ = 30/200 = 0,15 A
Odpowiedź
IR2 = I2 = 0,15 A
Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Przykład 2Średni
Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd oczkowy I1 (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).
V1 = 15 VV2 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 Ω
Oblicz I1(A)
Pokaż podpowiedzi
Są 2 okna, więc zdefiniuj 2 prądy oczkowe zgodne z ruchem wskazówek zegara (I1, I2) i zapisz po jednym równaniu NPK na oczko.
W oczku 1 każdy rezystor przewodzi I1, z wyjątkiem rezystora wspólnego, który przewodzi I1 − I2.
Rozwiązanie daje I1 = −0,3387 A.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.
Przypisz prądy oczkowe
Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I1, I2. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.
NPK w oczku 1
Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
10·I1 + 12(I1 − I2) = 15
22·I1 − 12·I2 = 15
NPK w oczku 2
Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
3·I2 + 12(I2 − I1) = (−24)
−12·I1 + 15·I2 = −24
Rozwiąż
Δ = (22)(15) − (−12)(−12) = 186
I1 = Δ1/Δ = −63/186 = −0,3387 A
I2 = Δ2/Δ = −348/186 = −1,871 A
Odpowiedź
I1 = −0,3387 A
Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Przykład 3Trudny
Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd IR4 płynący przez R4 w kierunku strzałki.
Są 3 okna, więc zdefiniuj 3 prądy oczkowe zgodne z ruchem wskazówek zegara (I1, I2, I3) i zapisz po jednym równaniu NPK na oczko.
W oczku 1 każdy rezystor przewodzi I1, z wyjątkiem rezystora wspólnego, który przewodzi I1 − I2.
Rozwiązanie daje I1 = 1,135 A.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.
Przypisz prądy oczkowe
Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I1, I2, I3. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.
NPK w oczku 1
Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
15·I1 + 30(I1 − I2) = 36
45·I1 − 30·I2 = 36
NPK w oczku 2
Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
20·I2 + 30(I2 − I1) + 8(I2 − I3) = 0
−30·I1 + 58·I2 − 8·I3 = 0
NPK w oczku 3
Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
10·I3 + 8(I3 − I2) = (−15)
−8·I2 + 18·I3 = −15
Rozwiąż
Δ = wyznacznik macierzy współczynników = 27900
I1 = Δ1/Δ = 31680/27900 = 1,135 A
I2 = Δ2/Δ = 14040/27900 = 0,5032 A
I3 = Δ3/Δ = −17010/27900 = −0,6097 A
Odpowiedź
IR4 = I1 − I2 = 0,6323 A
Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Pytania i odpowiedzi
Metoda prądów oczkowych: co to jest?
Analiza oczkowa to standardowa metoda znajdowania prądów w obwodzie. Jest partnerką analizy węzłowej: analiza węzłowa używa napięć jako niewiadomych, analiza oczkowa używa prądów.
Spójrz na płaski rysunek obwodu. Puste „okna” zamknięte przez przewody i elementy nazywają się oczkami.
Metoda prądów oczkowych: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Narysuj prąd płynący zgodnie z ruchem wskazówek zegara w każdym oczku (okienku) obwodu.
Zastosuj napięciowe prawo Kirchhoffa w każdym oczku: suma spadków napięć jest równa zeru.
W rezystorze wspólnym dla dwóch oczek prąd jest różnicą dwóch prądów oczkowych.
Rozwiąż równania; wynik ujemny oznacza, że prąd płynie w przeciwną stronę.
Metoda prądów oczkowych: jakie błędy są najczęstsze?
Użycie pełnego prądu oczkowego we wspólnym rezystorze.
Błędny znak źródła przy obchodzeniu oczka.
Zapominanie, że źródło prądowe w gałęzi zewnętrznej narzuca prąd tego oczka.
Metoda prądów oczkowych: co ćwiczysz?
Łatwy: 2 oczka, 1 źródło
Średni: 2 oczka, 2 źródła
Trudny: 3 oczka
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.