Thévenin i Norton: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: twierdzenie Thevenina · twierdzenie Nortona · zastępcze źródło napięcia

Darmowe zadania z tematu Thévenin i Norton z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: dzielnik, z rezystorem szeregowym i obciążeniem, ze źródłem prądu i obciążeniem.

Darmowe zadanieŁatwy
R1​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAab

Wyznacz prąd Nortona IN: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.

V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 12 Ω
A
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Thévenin i NortonĆwicz teraz: Thévenin i Norton5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwydzielnik
  2. Średniz rezystorem szeregowym i obciążeniem
  3. Trudnyze źródłem prądu i obciążeniem

Jak rozwiązywać zadania: Thévenin i Norton

  1. Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
  2. Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
  3. Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
  4. Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
  5. Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.

Typowe błędy

  • Pozostawienie podłączonego obciążenia podczas wyznaczania Rth.
  • Dodawanie szeregowo rezystorów, które widziane z zacisków są w rzeczywistości połączone równolegle.
  • Zapominanie, że maksymalna moc jest przekazywana, gdy Rload = Rth.

Najważniejsze wzory

Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Naucz się tematu Thévenin i Norton od zera

Wcześniej: Rezystory szeregowo i równolegle

1Czym jest zastępnik Thévenina

Często interesuje cię tylko to, co dzieje się na dwóch zaciskach obwodu, na przykład tam, gdzie dołączono odbiornik.

Twierdzenie Thévenina mówi: patrząc z dwóch zacisków a i b, każdy obwód ze źródeł i rezystorów zachowuje się dokładnie jak jedno źródło napięcia połączone szeregowo z jednym rezystorem.

+−Vth​Rth​ab

Dobrym obrazem jest bateria: w środku jest ogniwo chemiczne (źródło) z pewną rezystancją wewnętrzną. Z zewnątrz zauważasz tylko te dwie rzeczy.

To oszczędza mnóstwo pracy. Gdy masz już Vth i Rth, możesz sprawdzać wiele różnych odbiorników jednym wierszem rachunków każdy.

Samosprawdzenie Czym zastępnik Thévenina zastępuje obwód?
  1. Dwoma źródłami napięcia połączonymi równolegle
  2. Jednym źródłem napięcia połączonym szeregowo z jednym rezystorem
  3. Jednym źródłem prądu połączonym szeregowo z jednym rezystorem
  4. Tylko jednym rezystorem

Odpowiedź: Jednym źródłem napięcia połączonym szeregowo z jednym rezystorem. Vth szeregowo z Rth. Postać Nortona używa źródła prądu, ale równolegle do Rth, a nie szeregowo.

2Wyznaczanie Vth i Rth

Te dwie liczby znajdujesz dwoma osobnymi, niewielkimi obliczeniami.

  • Vth to napięcie jałowe (obwodu otwartego): napięcie między a i b, gdy nic do nich nie jest dołączone.
  • Rth to rezystancja, którą widzisz od strony zacisków a i b, gdy wszystkie niezależne źródła są wyłączone.

Wyłączanie działa jak w superpozycji: źródło napięcia staje się przewodem, a źródło prądu przerwą.

Zastępnik Nortona to ten sam obwód w innej postaci: źródło prądu połączone równolegle z tą samą rezystancją Rth.

IN​Rth​ab
IN = Vth / Rth
Samosprawdzenie Obwód ma Vth = 12 V i Rth = 4 Ω. Jaki jest jego prąd Nortona?
  1. 0,33 A
  2. 16 A
  3. 3 A
  4. 48 A

Odpowiedź: 3 A. IN = Vth/Rth = 12/4 = 3 A. Jest to także prąd, który popłynąłby po zwarciu a z b.

3Metoda krok po kroku

  1. Odłącz odbiornik (jeśli jest) i zaznacz zaciski a i b.
  2. Znajdź napięcie jałowe między a i b. To jest Vth.
  3. Wyłącz wszystkie niezależne źródła. Znajdź rezystancję między a i b regułami połączeń szeregowych i równoległych. To jest Rth.
  4. Narysuj zastępnik: Vth szeregowo z Rth, a potem podłącz z powrotem odbiornik.
  5. Prąd odbiornika wynosi IL = Vth / (Rth + RL).

Przydatna uwaga do kroku 2: gdy a i b są otwarte, w rezystorze prowadzącym tylko do a nie płynie prąd. Nie ma więc na nim napięcia.

4Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Do a–b dołączono odbiornik RL = 4 Ω. Znajdź zastępnik Thévenina i prąd odbiornika IL.

1

Przyjrzyj się obwodowi

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω+−Vs​24 VabRL​4 Ω

Zastępujemy wszystko na lewo od a–b przez Vth i Rth.

2

Odłącz odbiornik i znajdź Vth

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω+−Vs​24 VabVth​ ?+−

Gdy a–b jest otwarte, przez R3 nie płynie prąd, więc a ma takie samo napięcie jak węzeł między R1 i R2.

Ten węzeł jest dzielnikiem napięcia:

Vth = 24 · 3 / (6 + 3) = 8 V
3

Wyłącz źródło i znajdź Rth

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω0 VabRth​ ?

Źródło staje się przewodem. Patrząc od strony a: R3 szeregowo z (R1 ∥ R2).

R1 ∥ R2 = 6·3 / (6 + 3) = 2 Ω
Rth = 2 + 2 = 4 Ω
4

Podłącz z powrotem odbiornik

+−8 V4 Ωab
IL = Vth / (Rth + RL) = 8 / (4 + 4) = 1 A
5

Postać Nortona

IN = 8 / 4 = 2 A

Ten sam obwód w innej postaci: źródło 2 A równolegle z 4 Ω daje w odbiorniku ten sam prąd 1 A.

Odpowiedź

Vth = 8 V, Rth = 4 Ω i IL = 1 A.

5Maksymalna moc oddawana do odbiornika

Klasyczne pytanie uzupełniające: który odbiornik dostaje najwięcej mocy?

Odpowiedź: odbiornik równy rezystancji Thévenina:

RL = Rth ⇒ Pmax = Vth² / (4·Rth)

W przykładzie odbiornik 4 Ω dostaje 8² / (4·4) = 4 W. To ten sam prąd 1 A, który znaleźliśmy: P = 1² · 4 = 4 W.

Samosprawdzenie Obwód ma Vth = 10 V i Rth = 5 Ω. Jaka rezystancja odbiornika otrzymuje najwięcej mocy?
  1. 0 Ω
  2. 10 Ω
  3. 2,5 Ω
  4. 5 Ω

Odpowiedź: 5 Ω. Maksymalny transfer mocy zachodzi, gdy RL = Rth = 5 Ω. Odbiornik dostaje wtedy 10²/(4·5) = 5 W.

6Typowe błędy

  • Pozostawienie odbiornika podłączonego przy wyznaczaniu Vth lub Rth. Najpierw go odłącz.
  • Zapomnienie o wyłączeniu źródeł przy Rth albo wyłączenie źródła napięcia jako przerwy zamiast przewodu.
  • Dodawanie szeregowo rezystorów, które patrząc z a i b są w rzeczywistości równoległe. Przerysuj obwód z punktu widzenia zacisków.
  • Doliczanie spadku napięcia na rezystorze, przez który w obwodzie otwartym nie płynie prąd.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: źródło z dzielnikiem napięcia. Szukasz Vth lub Rth.
  • Średnie: to samo, z dodatkowym rezystorem szeregowym przy zacisku, jak w przykładzie.
  • Trudne: także źródło prądu i odbiornik, którego prąd trzeba znaleźć. Wyłączone źródło prądu staje się przerwą.

Zapisz Vth i Rth czytelnie, zanim ich użyjesz. Wiele zadań pyta po drodze o jedną z nich.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
R1​ = 10 Ω+−V1​20 VR2​8 ΩAab

Wyznacz napięcie Thévenina Vth widziane z zacisków a–b.

V1 = 20 VR1 = 10 ΩR2 = 8 Ω

Oblicz Vth (V)

Pokaż podpowiedzi
  1. Potrzebujesz dwóch liczb: Rth (wyłącz wszystkie źródła i spójrz na obwód od strony a–b) i Vth (napięcie na a–b, gdy nic nie jest podłączone). Prąd Nortona i wielkości obciążenia wynikają z tych dwóch.
  2. Przy zwartym V₁, R₁ i R₂ są równolegle, patrząc od strony a–b.
  3. Vth = V1·R2/(R1+R2) = 20·8/(10+8).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 10 ΩZWARCIER2​8 ΩAabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

Rth = R1 ∥ R2 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
R1​ = 10 Ω+−V1​20 VR2​8 ΩAab+−Vth​

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez zaciski nie płynie prąd, więc R₁ i R₂ tworzą zwykły dzielnik napięcia.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 20·8/(10+8) = 8,889 V
Przykład 2Średni
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAab

Wyznacz rezystancję Thévenina Rth widzianą z zacisków a–b.

V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 Ω

Oblicz Rth (Ω)

Pokaż podpowiedzi
  1. Potrzebujesz dwóch liczb: Rth (wyłącz wszystkie źródła i spójrz na obwód od strony a–b) i Vth (napięcie na a–b, gdy nic nie jest podłączone). Prąd Nortona i wielkości obciążenia wynikają z tych dwóch.
  2. Przy zwartym V₁, R₁ ∥ R₂ jest szeregowo z R₃, patrząc od strony a–b. Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd.
  3. R1 ∥ R2 = 1,714 Ω.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 ΩZWARCIER2​12 ΩAabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R1 ∥ R2 = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 3 = 4,714 Ω
Przykład 3Trudny
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​0,5 ABRL​2 ΩIL​

Między a–b podłączono obciążenie RL = 2 Ω. Użyj układu zastępczego Thévenina, aby wyznaczyć moc PL dostarczaną do obciążenia.

V1 = 9 VIs = 0,5 AR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩRL = 2 Ω

Oblicz PL (W)

Pokaż podpowiedzi
  1. Potrzebujesz dwóch liczb: Rth (wyłącz wszystkie źródła i spójrz na obwód od strony a–b) i Vth (napięcie na a–b, gdy nic nie jest podłączone). Prąd Nortona i wielkości obciążenia wynikają z tych dwóch.
  2. Przy zwartym V₁ i rozwartym Iₛ, Rth = (R₁ ∥ R₂) + R₃. Dla Vth cały prąd Iₛ musi płynąć przez R₃ do A.
  3. Rth = 11,33 Ω, Vth = 7,167 V.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 20 ΩR3​ = 8 ΩZWARCIER2​4 ΩAROZWARCIEBabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R1 ∥ R2 = 20·4/(20+4) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 8 = 11,33 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​0,5 ABab+−Vth​

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,5 + 0,5·3,333 = 3,167 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 3,167 + 0,5·8 = 7,167 V
Rth​ = 11,33 Ω+−Vth​7,167 VRL​2 ΩIL​

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

IL = Vth/(Rth + RL) = 7,167/(11,33 + 2) = 0,5375 A
PL = IL²·RL = 0,5375²·2 = 0,5778 W

Pytania i odpowiedzi

Thévenin i Norton: co to jest?

Często interesuje cię tylko to, co dzieje się na dwóch zaciskach obwodu, na przykład tam, gdzie dołączono odbiornik.

Twierdzenie Thévenina mówi: patrząc z dwóch zacisków a i b, każdy obwód ze źródeł i rezystorów zachowuje się dokładnie jak jedno źródło napięcia połączone szeregowo z jednym rezystorem.

Thévenin i Norton: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
  2. Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
  3. Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
  4. Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
  5. Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.
Thévenin i Norton: jakie błędy są najczęstsze?
  • Pozostawienie podłączonego obciążenia podczas wyznaczania Rth.
  • Dodawanie szeregowo rezystorów, które widziane z zacisków są w rzeczywistości połączone równolegle.
  • Zapominanie, że maksymalna moc jest przekazywana, gdy Rload = Rth.
Thévenin i Norton: co ćwiczysz?
  • Łatwy: dzielnik
  • Średni: z rezystorem szeregowym i obciążeniem
  • Trudny: ze źródłem prądu i obciążeniem

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Rezystory szeregowo i równolegle

Potem przejdź do

Mostek Wheatstone’a i tensometry

Kalkulatory

Kalkulator równoważnika Thévenina i Nortona

Przedmioty z tym tematem

Teoria obwodów 1Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennegoPodstawy elektrotechnikiPomiary i aparaturaPrzygotowanie do egzaminu FE Electrical and Computer

Więcej tematów: Elektrotechnika

Rezystory szeregowo i równolegleSuperpozycjaMetoda potencjałów węzłowychMetoda prądów oczkowychStany nieustalone RC i RLImpedancja i wskazy ACMoc AC i współczynnik mocyRezonans LC, dobroć i szerokość pasmaMoc w układach trójfazowychTransformatorySilniki prądu stałegoUkłady ze wzmacniaczami operacyjnymiDiody i tranzystoryPrzetwornice DC-DCLogika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiMostek Wheatstone’a i tensometryAkwizycja danych i próbkowanieTransformaty Laplace’aSchematy blokoweOdpowiedź skokowaWykresy Bodego i zapasyStabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowaUchyb ustalony i regulacja PIDSplot i układy liniowe stacjonarne

Karta pracy do druku

Thévenin i Norton: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Thévenin i NortonĆwicz teraz: Thévenin i Norton5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.