Stany nieustalone RC i RL: zadania z rozwiązaniami krok po kroku
Inaczej: obwód RC · ładowanie i rozładowanie kondensatora · stan nieustalony
Darmowe zadania z tematu Stany nieustalone RC i RL z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: ładowanie RC, obwód RL, kondensator z ładunkiem początkowym.
Darmowe zadanieŁatwy
Kondensator jest rozładowany, gdy łącznik zamyka się w t = 0. Wyznacz napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 10 ms.
Gdy zamykasz przełącznik w obwodzie z samymi rezystorami, każdy prąd od razu skacze do nowej wartości.
Kondensator lub cewka to zmienia. Magazynują energię, a zmagazynowana energia nie może zmienić się w zerowym czasie. Obwód przechodzi więc płynnie ze starego stanu do nowego.
Ta płynna zmiana nazywa się stanem przejściowym. Po pewnym czasie obwód się ustala i nic się już nie zmienia.
Wyobraź sobie napełnianie wiadra wąskim wężem. Wiadro to kondensator, wąski wąż to rezystor. Poziom rośnie najpierw szybko, potem coraz wolniej, gdy wiadro się napełnia.
Samosprawdzenie Nienaładowany kondensator jest podłączony do źródła 12 V przez rezystor. Jakie jest napięcie na kondensatorze tuż po zamknięciu przełącznika?
0 V
12 V
4,4 V
6 V
Odpowiedź: 0 V. Napięcie na kondensatorze nie może skoczyć. Tuż przed zamknięciem przełącznika wynosiło 0 V, więc tuż po nadal wynosi 0 V. Osiąga 12 V dopiero po długim czasie.
2Kondensatory i cewki na początku i na końcu
Dla każdego elementu potrzebujesz tylko dwóch reguł: co nie może skoczyć i jak zachowuje się, gdy wszystko się ustali.
Kondensator: jego napięcie vC nie może skoczyć. Długo po przełączeniu nie płynie do niego prąd, więc działa jak obwód otwarty (przerwa).
Cewka: jej prąd iL nie może skoczyć. Długo po przełączeniu nie ma na niej napięcia, więc działa jak zwarcie (przewód).
Wartość tuż po przełączeniu to wartość początkowa, x(0). Wartość po ustaleniu to wartość końcowa, x(∞).
Dla kondensatora ładowanego ze źródła Vs: vC(0) = 0 i vC(∞) = Vs. Dla cewki: i(0) = 0 i i(∞) = Vs/R.
Samosprawdzenie Źródło 12 V zasila rezystor 20 Ω połączony szeregowo z cewką. Jaki prąd płynie długo po zamknięciu przełącznika?
0 A
0,6 A
1,67 A
240 A
Odpowiedź: 0,6 A. Po ustaleniu cewka jest zwykłym przewodem, więc prąd ogranicza tylko rezystor: 12/20 = 0,6 A. Wartość 0 A to wartość tuż po przełączeniu, a nie na końcu.
3Stała czasowa
Jak szybko zachodzi zmiana, określa jedna liczba, stała czasowa τ (tau).
τ = R·C τ = L/R
Jednostki: kΩ razy µF daje milisekundy. mH podzielone przez Ω też daje milisekundy.
Każde napięcie i każdy prąd podąża tą samą krzywą wykładniczą między wartością początkową a końcową:
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Po 1τ zmiana jest zakończona w 63%. Po 2τ w 86%, po 3τ w 95%.
Po około 5τ obwód ustalił się do celów praktycznych.
Dla ładującego się kondensatora, który zaczyna od 0 V, wzór przyjmuje postać:
vC(t) = Vs·(1 − e−t/τ)
Samosprawdzenie Jaka jest stała czasowa rezystora 4,7 kΩ z kondensatorem 10 µF?
0,47 ms
2,13 ms
47 ms
47 s
Odpowiedź: 47 ms. τ = R·C = 4,7 kΩ · 10 µF = 47 ms, ponieważ kΩ razy µF daje milisekundy. Dzielenie zamiast mnożenia daje 2,13 ms.
4Metoda krok po kroku
Znajdź wartość początkową x(0) tuż po przełączeniu. Użyj reguły: vC i iL nie mogą skoczyć.
Znajdź wartość końcową x(∞). Zastąp kondensator przerwą, a cewkę przewodem, potem rozwiąż obwód prądu stałego.
Znajdź stałą czasową: τ = R·C lub τ = L/R, używając rezystancji, którą widzi kondensator lub cewka.
Wstaw trzy wartości do x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Podstaw czas t, w tej samej jednostce co τ, i oblicz.
Jeśli zadanie pyta o czas, rozwiąż ten sam wzór względem t. Potrzebujesz logarytmu naturalnego ln.
5Przykład krok po kroku
Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.
Przykład krok po kroku
Kondensator jest nienaładowany, gdy przełącznik zamyka się w chwili t = 0. Znajdź stałą czasową i napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 100 ms.
1
Przyjrzyj się obwodowi
Przełącznik łączy Vs = 10 V z kondensatorem przez R = 10 kΩ. C = 10 µF.
2
Wartość początkowa i końcowa
Kondensator jest nienaładowany, a jego napięcie nie może skoczyć, więc vC(0) = 0 V.
Długo potem prąd nie płynie, więc nie ma napięcia na R. Całe 10 V jest na C.
vC(0) = 0 V, vC(∞) = 10 V
3
Stała czasowa
τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms
4
Napięcie w chwili t = 100 ms
Tu t to dokładnie jedna stała czasowa, więc t/τ = 1.
vC = 10·(1 − e−1) = 10·(1 − 0,368) = 6,32 V
5
Sprawdź wynik
Po jednej stałej czasowej kondensator powinien być naładowany w 63%. 63% z 10 V to 6,3 V, więc odpowiedź pasuje.
Jest też poniżej źródła 10 V, jak musi być przy ładującym się kondensatorze.
Odpowiedź
τ = 100 ms i vC = 6,32 V w chwili t = 100 ms.
6Typowe błędy
Użycie wzoru na ładowanie Vs·(1 − e−t/τ), gdy kondensator ma już napięcie. Użyj wzoru ogólnego z x(0).
Mieszanie jednostek: kΩ razy µF to milisekundy, a nie sekundy. Utrzymuj t i τ w tej samej jednostce.
Odpowiedź Vs·e−t/τ. To część, której jeszcze brakuje (albo napięcie na rezystorze), a nie napięcie na kondensatorze.
Użycie złej rezystancji w τ. Użyj rezystancji, którą widzi kondensator lub cewka.
Samosprawdzenie Kondensator ma 4 V, gdy zostaje przełączony na źródło 10 V. Ile wynosi vC po jednej stałej czasowej? (e−1 ≈ 0,368)
10,32 V
2,21 V
6,32 V
7,79 V
Odpowiedź: 7,79 V. vC = 10 + (4 − 10)·0,368 = 7,79 V. Sam wzór na ładowanie daje 6,32 V, co pomija początkowe 4 V. 2,21 V to część, której jeszcze brakuje.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: ładowanie RC od 0 V, jak w przykładzie. Znajdujesz τ lub napięcie na kondensatorze w danej chwili.
Średnie: obwód RL z prądem cewki zaczynającym od 0. Znajdujesz i(t) = (Vs/R)·(1 − e−t/τ), napięcie na cewce vL = Vs·e−t/τ albo czas do osiągnięcia procentu prądu końcowego.
Trudne: kondensator, który ma już napięcie. Znajdujesz vC w danej chwili albo czas do osiągnięcia danego napięcia.
Aby znaleźć czas, przekształć wzór ogólny:
t = τ·ln[(x(0) − x(∞)) / (x(t) − x(∞))]
Przy τ = L/R mH podzielone przez Ω daje ms. Cewka 50 mH z rezystorem 10 Ω ma więc τ = 5 ms.
Kondensator został naładowany do 5 V. W t = 0 łącznik się zamyka i kondensator rozładowuje się przez R. Wyznacz napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 50 ms.
vC(0) = 5 VR = 1 kΩC = 68 µFt = 50 ms
Oblicz vC(V)
Pokaż podpowiedzi
Obwód RC pierwszego rzędu ma stałą czasową τ = RC. Przy R w kΩ i C w µF wynik τ jest w ms.
Bez źródła napięcie kondensatora zanika do zera: vC(t) = vC(0)·e−t/τ.
τ = 68 ms.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Stała czasowa
kΩ razy µF daje milisekundy.
τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms
Krzywa rozładowania
Kondensator zaczyna od zgromadzonego napięcia i zanika do 0 V.
vC(t) = 5·e−50/68 = 2,397 V
Odpowiedź
vC = 2,397 V
Przykład 2Średni
Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 75% wartości końcowej? Wyznacz t.
Vs = 6 VR = 50 ΩL = 150 mH
Oblicz t(ms)
Pokaż podpowiedzi
Dla obwodu RL τ = L/R. Przy L w mH i R w Ω wynik τ jest w ms.
Tuż po zamknięciu łącznika prąd cewki jest wciąż zerowy; długo później cewka działa jak zwarcie, więc i(∞) = Vs/R.
τ = 3 ms, i(∞) = 0,12 A.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Stała czasowa i prąd końcowy
Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.
τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0,12 A
Wyznacz czas
0,75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)
t = −3·ln(0,25) = 4,159 ms
Odpowiedź
t = 4,159 ms
Przykład 3Trudny
Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 18 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie vC osiągnie 8,4 V? Wyznacz t.
Vs = 6 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 18 V
Oblicz t(ms)
Pokaż podpowiedzi
Użyj ogólnego rozwiązania pierwszego rzędu x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Tutaj x(0) to zgromadzone napięcie kondensatora, a x(∞) to napięcie źródła, bo po ustaleniu się stanu przez kondensator nie płynie prąd.
τ = 100 ms.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa
Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.
t = τ·ln((18 − 6)/(8,4 − 6)) = 100·ln(5) = 160,9 ms
Odpowiedź
t = 160,9 ms
Pytania i odpowiedzi
Stany nieustalone RC i RL: co to jest?
Gdy zamykasz przełącznik w obwodzie z samymi rezystorami, każdy prąd od razu skacze do nowej wartości.
Ta płynna zmiana nazywa się stanem przejściowym. Po pewnym czasie obwód się ustala i nic się już nie zmienia.
Stany nieustalone RC i RL: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Stany nieustalone RC i RL: jakie błędy są najczęstsze?
Użycie wzoru na ładowanie dla obwodu, który się rozładowuje.
Mieszanie jednostek: kΩ razy µF daje ms, a nie s.
Użycie złej rezystancji w stałej czasowej.
Stany nieustalone RC i RL: co ćwiczysz?
Łatwy: ładowanie RC
Średni: obwód RL
Trudny: kondensator z ładunkiem początkowym
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.