Uchyb ustalony i regulacja PID: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Darmowe zadania z tematu Uchyb ustalony i regulacja PID z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: typ układu i stałe uchybowe, uchyby ustalone i wzmocnienie, dobór regulatorów P, PI i PD.

Darmowe zadanieŁatwy
R(s)+10(s + 3)s(s + 1)(s + 4)C(s)−

Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4)). Wyznacz stałą uchybu prędkościowego Kv.

G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4))
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Uchyb ustalony i regulacja PIDĆwicz teraz: Uchyb ustalony i regulacja PID5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwytyp układu i stałe uchybowe
  2. Średniuchyby ustalone i wzmocnienie
  3. Trudnydobór regulatorów P, PI i PD

Jak rozwiązywać zadania: Uchyb ustalony i regulacja PID

  1. Policz bieguny układu otwartego C(s)·G(s) w s = 0: to typ układu.
  2. Wyznacz stałą uchybową pasującą do wejścia: Kp dla skoku, Kv dla narastania liniowego, Ka dla paraboli.
  3. Zastosuj ess = A/(1 + Kp), A/Kv lub A/Ka albo rozwiąż to względem potrzebnego wzmocnienia.
  4. Przy wymaganiu dotyczącym tłumienia lub prędkości zapisz wielomian charakterystyczny układu zamkniętego i porównaj go z s² + 2ζω_n·s + ω_n².

Typowe błędy

  • Używanie A/Kp zamiast A/(1 + Kp) dla skoku.
  • Zapominanie o wzmocnieniu obiektu przy porównywaniu współczynników: wzmocnienie pętli to K razy wzmocnienie obiektu.
  • Pomijanie integratora regulatora przy liczeniu typu układu.
  • Oczekiwanie, że samo wzmocnienie proporcjonalne usunie uchyb skokowy w pętli typu 0.

Najważniejsze wzory

Typ układu
liczba biegunów G(s) w s = 0
Stałe uchybowe
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
Skok A
ess = A/(1 + Kp)
Narastanie liniowe A·t
ess = A/Kv
Parabola A·t²/2
ess = A/Ka
Regulator PID
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
Cel drugiego rzędu
s² + 2ζωns + ωn²
Przeregulowanie i czasy
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)

Naucz się tematu Uchyb ustalony i regulacja PID od zera

Wcześniej: Schematy blokowe, Odpowiedź skokowa

1Śledzenie wartości zadanej

Pętla ze sprzężeniem zwrotnym porównuje wartość zadaną r z wyjściem y i działa na uchyb e = r − y. Idealnie wyjście kończy dokładnie na wartości zadanej.

Często tak nie jest. Po wygaśnięciu stanu przejściowego może pozostać różnica: uchyb ustalony ess.

tyress​

Wielkość ess zależy od rodzaju wejścia (skok, narastanie liniowe lub parabola) oraz od liczby integratorów w pętli.

Samosprawdzenie Pętla ze sprzężeniem jednostkowym otrzymuje r = 1, a jej wyjście ustala się na y = 0,95. Jaki jest uchyb ustalony?
  1. 0,05
  2. 0,95
  3. 1,95
  4. −0,05

Odpowiedź: 0,05. ess = r − y = 1 − 0,95 = 0,05. Samo wyjście to 0,95, a znak jest dodatni, bo wyjście pozostaje poniżej wartości zadanej.

2Typ układu i stałe uchybowe

Typ układu to liczba biegunów układu otwartego G(s) w s = 0, czyli liczba integratorów. G(s) = 10/(s(s + 5)) ma jeden, więc jest typu 1.

Trzy stałe uchybowe podsumowują G(s) przy bardzo niskiej częstotliwości (s → 0):

Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)

Z twierdzeniem o wartości końcowej dają one uchyb dla każdego wejścia:

skok A: A/(1 + Kp) rampa A·t: A/Kv parabola A·t²/2: A/Ka
  • Typ 0: skończony uchyb skokowy, nieskończony uchyb dla narastania liniowego.
  • Typ 1: zerowy uchyb skokowy, skończony uchyb dla narastania liniowego.
  • Typ 2: zerowy uchyb skokowy i dla narastania liniowego, skończony uchyb dla paraboli.
Samosprawdzenie Ile wynosi stała uchybu prędkościowego Kv dla G(s) = 10/(s(s + 5))?
  1. 0,5
  2. 10
  3. 2
  4. ∞

Odpowiedź: 2. s·G(s) = 10/(s + 5), czyli 10/5 = 2 w s = 0. Wartość 0,5 to uchyb dla narastania liniowego 1/Kv, a nie sama stała.

3Metoda krok po kroku

  1. Zapisz układ otwarty: regulator razy obiekt, C(s)·G(s).
  2. Policz jego bieguny w s = 0, aby otrzymać typ układu.
  3. Wybierz stałą uchybową pasującą do wejścia: Kp dla skoku, Kv dla narastania liniowego, Ka dla paraboli.
  4. Oblicz granicę: skróć czynniki s, a potem podstaw s = 0 w tym, co zostaje.
  5. Zastosuj wzór na uchyb albo rozwiąż go względem wzmocnienia, które daje wymagany uchyb.

Przy wymaganiu dotyczącym tłumienia lub prędkości zapisz wielomian charakterystyczny układu zamkniętego i porównaj go z s² + 2ζωns + ωn².

4Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma G(s) = K/(s(s + 4)). Ma nadążać za narastaniem liniowym r(t) = 2t z uchybem ustalonym 0,1. Wyznacz K i wynikający z tego współczynnik tłumienia.

1

Wyznacz typ układu

r+eK1/(s(s + 4))y−

G(s) ma jeden biegun w s = 0, więc pętla jest typu 1: narastanie liniowe daje skończony uchyb.

2

Stała prędkościowa

Kv = lim s·G(s) = K/4
3

Wymagane Kv

Nachylenie narastania to A = 2, więc ess = 2/Kv = 0,1.

Kv = 2/0,1 = 20
4

Wzmocnienie

K = 4·Kv = 80
5

Sprawdź tłumienie

Wielomian charakterystyczny to s² + 4s + 80, więc ωn = √80 = 8,94 rad/s i ζ = 4/(2·8,94) = 0,22.

Wymagany uchyb jest spełniony, ale odpowiedź skokowa ma przeregulowanie około 49 %. Ten kompromis jest powodem, dla którego regulatory to coś więcej niż samo wzmocnienie.

Odpowiedź

K = 80, co daje ζ = 0,22.

5Regulatory P, PI i PID

Regulator PID łączy trzy działania na uchyb:

C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
  • Proporcjonalne (Kp): szybsza pętla i mniejszy uchyb dla obiektu typu 0, ale uchyb skokowy nigdy nie osiąga zera.
  • Całkujące (Ki/s): dodaje biegun w s = 0, więc typ rośnie o jeden, a skok jest śledzony bez uchybu.
  • Różniczkujące (Kd·s): zwiększa tłumienie i zmniejsza przeregulowanie.

Aby dobrać wzmocnienia, porównaj współczynniki. Regulator PI dla G(s) = 2/(s + 3) daje wielomian charakterystyczny s² + (3 + 2Kp)s + 2Ki. Dla ωn = 5 rad/s i ζ = 0,8 wielomian docelowy to s² + 8s + 25:

3 + 2Kp = 8 → Kp = 2,5, 2Ki = 25 → Ki = 12,5
Samosprawdzenie Do regulatora pętli typu 0 dodano integrator. Co dzieje się z uchybem ustalonym dla skoku jednostkowego?
  1. Maleje, ale nie do zera
  2. Rośnie
  3. Staje się nieskończony
  4. Staje się zerowy

Odpowiedź: Staje się zerowy. Integrator czyni pętlę typu 1, więc Kp jest nieskończone i A/(1 + Kp) = 0. Samo większe wzmocnienie proporcjonalne tylko zmniejszyłoby uchyb.

6Typowe błędy

  • Używanie A/Kp zamiast A/(1 + Kp) dla skoku.
  • Zapominanie o wzmocnieniu obiektu przy porównywaniu współczynników: wzmocnienie pętli to wzmocnienie regulatora razy wzmocnienie obiektu.
  • Liczenie tylko integratorów obiektu i pominięcie tego w regulatorze PI.
  • Pomijanie zer przy obliczaniu Kv: czynnik (s + 3) daje 3 w s = 0.
Samosprawdzenie Skok o wartości 5 podano na pętlę typu 0 z Kp = 9. Ile wynosi uchyb ustalony?
  1. 0,1
  2. 0,556
  3. 0,5
  4. 4,5

Odpowiedź: 0,5. ess = 5/(1 + 9) = 0,5. Dzielenie samym Kp daje 0,556, pominięcie wartości skoku daje 0,1, a 4,5 to wyjście końcowe.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwy: typ układu i stałe uchybowe. Wyznaczasz typ, Kp, Kv lub Ka transmitancji, uchyb skokowy albo wyjście końcowe pętli z regulacją P.
  • Średni: uchyby ustalone i wzmocnienie. Wyznaczasz uchyb dla narastania liniowego, paraboli lub skoku plus narastania liniowego albo wzmocnienie dające wymagany uchyb.
  • Trudny: dobór regulatorów P, PI i PD. Dobierasz K dla współczynnika tłumienia, wyznaczasz przeregulowanie, czas maksimum lub czas ustalania dla danego K, dobierasz wzmocnienia PI lub PD przez porównanie współczynników albo wyznaczasz uchyb dla narastania liniowego z regulatorem PI.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
R(s)+2(s + 2)s²(s + 2)C(s)−

Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2)). Wyznacz stałą uchybu przyspieszeniowego Ka.

G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2))

Oblicz Ka

Pokaż podpowiedzi
  1. K_a = lim s²·G(s) przy s → 0.
  2. Czynnik s² skraca podwójny biegun w początku układu.
  3. Ka = 2·2/2.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Uchyb ustalony: w pętli ze sprzężeniem jednostkowym o transmitancji układu otwartego G(s) uchyb wynosi E(s) = R(s)/(1 + G(s)), a z twierdzenia o wartości końcowej ess = lims→0 s·E(s). Typ układu to liczba biegunów G(s) w s = 0. Stałe uchybowe to Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) oraz Ka = lim s²·G(s), wszystkie dla s → 0. Skok o wartości A daje ess = A/(1 + Kp), narastanie liniowe A·t daje A/Kv, a parabola A·t²/2 daje A/Ka. Pętla typu 0 nadąża za skokiem ze skończonym uchybem, pętla typu 1 nadąża za nim dokładnie, a za narastaniem liniowym ze skończonym uchybem.

Stała przyspieszeniowa

s²·G(s) = 2(s + 2)/(s + 2)
Ka = 2·2/2 = 2

Odpowiedź

Ka = 2
Przykład 2Średni
R(s)+K(s + 2)(s + 5)C(s)−

Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma G(s) = K/((s + 2)(s + 5)). Wyznacz wzmocnienie K, które daje uchyb ustalony 2 % dla wejścia skokowego.

G(s) = K/((s + 2)(s + 5))ess = 2 %

Oblicz K

Pokaż podpowiedzi
  1. Dla skoku jednostkowego e_ss = 1/(1 + K_p).
  2. Kp = G(0) = K/10.
  3. 1/(1 + K/10) = 0,02.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Uchyb ustalony: w pętli ze sprzężeniem jednostkowym o transmitancji układu otwartego G(s) uchyb wynosi E(s) = R(s)/(1 + G(s)), a z twierdzenia o wartości końcowej ess = lims→0 s·E(s). Typ układu to liczba biegunów G(s) w s = 0. Stałe uchybowe to Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) oraz Ka = lim s²·G(s), wszystkie dla s → 0. Skok o wartości A daje ess = A/(1 + Kp), narastanie liniowe A·t daje A/Kv, a parabola A·t²/2 daje A/Ka. Pętla typu 0 nadąża za skokiem ze skończonym uchybem, pętla typu 1 nadąża za nim dokładnie, a za narastaniem liniowym ze skończonym uchybem.

Wymagana stała uchybowa

1/(1 + Kp) = 0,02 → Kp = 49

Wzmocnienie

K/10 = 49 → K = 490

Odpowiedź

K = 490

Sprawdź też stabilność układu zamkniętego: dla tej pętli drugiego rzędu każde K > 0 jest stabilne.

Przykład 3Trudny
R(s)+K = 85s(s + 2)C(s)−

Regulator proporcjonalny K = 8 steruje obiektem G(s) = 5/(s(s + 2)) w pętli ze sprzężeniem jednostkowym. Znajdź 2-procentowy czas ustalania ts odpowiedzi skokowej, korzystając z ts ≈ 4/(ζωₙ).

G(s) = 5/(s(s + 2))K = 8

Oblicz ts (s)

Pokaż podpowiedzi
  1. Wielomian charakterystyczny to s² + 2s + 40.
  2. ζωₙ to połowa współczynnika przy s: 2/2 = 1.
  3. ts ≈ 4/(ζωₙ).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Regulacja P, PI i PID: regulator C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s działa na uchyb. Wzmocnienie proporcjonalne przyspiesza układ i zmniejsza uchyb obiektu typu 0, ale nigdy go nie usuwa. Człon całkujący dodaje biegun w s = 0: typ układu rośnie o jeden, a skok jest śledzony bez uchybu. Człon różniczkujący zwiększa tłumienie. Aby dobrać nastawy, zapisz wielomian charakterystyczny układu zamkniętego i porównaj go z s² + 2ζωns + ωn². Wtedy %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, gdzie ωd = ωn√(1 − ζ²), oraz ts ≈ 4/(ζωn).

Wielomian charakterystyczny

s(s + 2) + 8·5 = s² + 2s + 40

ωₙ i ζ

ωₙ = √40 = 6,325 rad/s
ζ = 2/(2·6,325) = 0,1581

Czas ustalania

ζωₙ = 2/2 = 1
ts ≈ 4/1 = 4 s

Odpowiedź

ts = 4 s

Czas ustalania nie zależy tu od K: zwiększenie K tylko przyspiesza oscylacje odpowiedzi.

Pytania i odpowiedzi

Uchyb ustalony i regulacja PID: co to jest?

Pętla ze sprzężeniem zwrotnym porównuje wartość zadaną r z wyjściem y i działa na uchyb e = r − y. Idealnie wyjście kończy dokładnie na wartości zadanej.

Często tak nie jest. Po wygaśnięciu stanu przejściowego może pozostać różnica: uchyb ustalony ess.

Uchyb ustalony i regulacja PID: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Policz bieguny układu otwartego C(s)·G(s) w s = 0: to typ układu.
  2. Wyznacz stałą uchybową pasującą do wejścia: Kp dla skoku, Kv dla narastania liniowego, Ka dla paraboli.
  3. Zastosuj ess = A/(1 + Kp), A/Kv lub A/Ka albo rozwiąż to względem potrzebnego wzmocnienia.
  4. Przy wymaganiu dotyczącym tłumienia lub prędkości zapisz wielomian charakterystyczny układu zamkniętego i porównaj go z s² + 2ζω_n·s + ω_n².
Uchyb ustalony i regulacja PID: jakie błędy są najczęstsze?
  • Używanie A/Kp zamiast A/(1 + Kp) dla skoku.
  • Zapominanie o wzmocnieniu obiektu przy porównywaniu współczynników: wzmocnienie pętli to K razy wzmocnienie obiektu.
  • Pomijanie integratora regulatora przy liczeniu typu układu.
  • Oczekiwanie, że samo wzmocnienie proporcjonalne usunie uchyb skokowy w pętli typu 0.
Uchyb ustalony i regulacja PID: co ćwiczysz?
  • Łatwy: typ układu i stałe uchybowe
  • Średni: uchyby ustalone i wzmocnienie
  • Trudny: dobór regulatorów P, PI i PD

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Schematy blokoweOdpowiedź skokowa

Przedmioty z tym tematem

Automatyka 1Automatyka 2: projektowanie regulacji ze sprzężeniem zwrotnymSystemy mechatronicznePrzygotowanie do egzaminu FE Electrical and ComputerPrzygotowanie do egzaminu FE Mechanical

Więcej tematów: Elektrotechnika

Rezystory szeregowo i równolegleSuperpozycjaThévenin i NortonMetoda potencjałów węzłowychMetoda prądów oczkowychStany nieustalone RC i RLImpedancja i wskazy ACMoc AC i współczynnik mocyRezonans LC, dobroć i szerokość pasmaMoc w układach trójfazowychTransformatorySilniki prądu stałegoUkłady ze wzmacniaczami operacyjnymiDiody i tranzystoryPrzetwornice DC-DCLogika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiMostek Wheatstone’a i tensometryAkwizycja danych i próbkowanieTransformaty Laplace’aSchematy blokoweOdpowiedź skokowaWykresy Bodego i zapasyStabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowaSplot i układy liniowe stacjonarne

Karta pracy do druku

Uchyb ustalony i regulacja PID: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Uchyb ustalony i regulacja PIDĆwicz teraz: Uchyb ustalony i regulacja PID5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.