Superpozycja: zadania z rozwiązaniami krok po kroku
Inaczej: zasada superpozycji · metoda superpozycji
Darmowe zadania z tematu Superpozycja z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: 2 źródła napięcia, źródło napięcia + źródło prądu, 3 źródła.
Darmowe zadanieŁatwy
Użyj metody superpozycji, aby wyznaczyć prąd IR1 płynący przez R1 w kierunku strzałki.
Wiele obwodów ma więcej niż jedno źródło: dwie baterie albo baterię i źródło prądu.
Rozwiązanie wszystkiego naraz bywa trudne. Superpozycja pozwala rozbić zadanie na prostsze części.
Idea jest taka: każde źródło wymusza w obwodzie własny prąd. Rzeczywisty prąd w rezystorze jest sumą tego, co powoduje każde źródło osobno.
Wyobraź sobie dwa krany napełniające tę samą wannę. Poziom wody rośnie o tyle, ile dolewa pierwszy kran, plus tyle, ile dolewa drugi.
Samosprawdzenie Co pozwala zrobić superpozycja?
Pominąć wszystkie źródła oprócz największego
Pomnożyć skutki działania źródeł
Rozwiązać obwód osobno dla każdego źródła i dodać wyniki
Zastąpić wszystkie rezystory jednym rezystorem
Odpowiedź: Rozwiązać obwód osobno dla każdego źródła i dodać wyniki. Patrzysz na jedno źródło naraz, wyznaczasz, co ono powoduje, i na końcu dodajesz wszystkie składowe.
2Wyłączanie źródła
Aby zbadać jedno źródło osobno, wyłączasz pozostałe. Wyłączenie oznacza ustawienie źródła na zero.
Źródło napięcia ustawione na 0 V zamienia się w zwykły przewód (zwarcie).
Źródło prądu ustawione na 0 A zamienia się w przerwę (rozwarcie).
Wyłączasz tylko źródła. Każdy rezystor zostaje dokładnie tam, gdzie był.
Ta metoda działa dla obwodów złożonych z rezystorów i niezależnych źródeł. Takie obwody nazywamy liniowymi: podwojenie źródła podwaja wszystko, co ono powoduje.
Samosprawdzenie Jak wyłączyć źródło prądu?
Usunąć sąsiedni rezystor
Zastąpić je rezystorem 1 Ω
Zastąpić je rozwarciem (przerwą)
Zastąpić je zwarciem (przewodem)
Odpowiedź: Zastąpić je rozwarciem (przerwą). Wyłączone źródło prądu daje 0 A. Tylko przerwa nie przepuszcza prądu bez względu na napięcie.
3Potrzebne narzędzia
Każdy prostszy obwód ma tylko jedno źródło, więc możesz go rozwiązać za pomocą połączeń szeregowych i równoległych rezystorów.
Rseries = R1 + R2
Rparallel = R1·R2 / (R1 + R2)
Najczęściej używanym narzędziem jest dzielnik napięcia. Dwa rezystory połączone szeregowo dzielą napięcie źródła proporcjonalnie do swoich wartości:
V2 = V · R2 / (R1 + R2)
Potem prawo Ohma, I = V/R, daje prąd w dowolnym rezystorze, gdy znasz jego napięcie.
Samosprawdzenie Źródło 12 V zasila szeregowo rezystory 6 Ω i 2 Ω. Jakie jest napięcie na rezystorze 2 Ω?
3 V
4 V
6 V
9 V
Odpowiedź: 3 V. V = 12 · 2/(6 + 2) = 3 V. Mniejszy rezystor dostaje mniejszą część napięcia.
4Metoda krok po kroku
Policz niezależne źródła. Dla każdego z nich rozwiążesz jeden prostszy obwód.
Zostaw jedno źródło i wyłącz wszystkie pozostałe: źródła napięcia stają się przewodami, a źródła prądu przerwami.
Rozwiąż prostszy obwód, wyznaczając potrzebną wielkość. Zachowaj ten sam kierunek (lub te same + i −) co w zadaniu.
Powtórz dla każdego źródła.
Dodaj wszystkie składowe z uwzględnieniem znaków. Składowa o przeciwnym kierunku liczy się jako ujemna.
Narysuj każdy prostszy obwód, zanim zaczniesz liczyć. Większość błędów bierze się stąd, że patrzy się na oryginalny rysunek, a rozwiązuje inny obwód.
5Przykład krok po kroku
Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.
Przykład krok po kroku
Znajdź prąd I3 płynący przez R3 (w dół) w tym obwodzie.
1
Przyjrzyj się obwodowi
Są dwa źródła, V1 = 12 V i V2 = 6 V. Rozwiążemy więc dwa prostsze obwody.
2
Włączone tylko V₁
Zastąp V2 przewodem. Teraz R2 biegnie od węzła A prosto do dolnego przewodu, więc R2 i R3 są połączone równolegle.
R2 ∥ R3 = 6·3 / (6 + 3) = 2 Ω
3
Dzielnik napięcia dla V₁
V1 „widzi” R1 = 6 Ω połączony szeregowo z równoległą parą o rezystancji 2 Ω. Napięcie w punkcie A to udział części 2 Ω:
VA′ = 12 · 2 / (6 + 2) = 3 V
I3′ = 3 V / 3 Ω = 1 A
4
Włączone tylko V₂
Teraz zastąp V1 przewodem. R1 i R3 są równolegle: 6·3/(6 + 3) = 2 Ω.
VA″ = 6 · 2 / (6 + 2) = 1,5 V
I3″ = 1,5 V / 3 Ω = 0,5 A
5
Dodaj składowe
Obie składowe płyną przez R3 w dół, więc obie są dodatnie.
I3 = I3′ + I3″ = 1 + 0,5 = 1,5 A
6
Sprawdź wynik
Przy obu włączonych źródłach VA = 3 + 1,5 = 4,5 V. Prądy wpływające do A z obu stron to (12 − 4,5)/6 = 1,25 A oraz (6 − 4,5)/6 = 0,25 A.
Razem daje to 1,5 A, czyli dokładnie prąd wypływający przez R3. Wynik jest poprawny.
Odpowiedź
I3 = 1,5 A, płynący w dół.
6Typowe błędy
Usunięcie źródła napięcia i pozostawienie przerwy. Wyłączone źródło napięcia to przewód.
Dodawanie składowych bez sprawdzenia ich kierunków. Narysuj strzałkę dla każdej składowej.
Liczenie mocy metodą superpozycji. Moc nie jest wielkością liniową: najpierw znajdź prąd całkowity, potem P = I²·R.
Zapomnienie o jakimś źródle. Przy trzech źródłach potrzebujesz trzech prostszych obwodów.
Samosprawdzenie W przykładzie I₃′ = 1 A i I₃″ = 0,5 A w rezystorze 3 Ω. Jaką moc pobiera R₃?
2,25 W
3,75 W
4,5 W
6,75 W
Odpowiedź: 6,75 W. Najpierw dodaj prądy: 1,5 A. Potem P = 1,5² · 3 = 6,75 W. Dodanie dwóch osobnych mocy (3 + 0,75 = 3,75 W) jest błędem, bo moc nie jest liniowa.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: dwa źródła napięcia i trzy rezystory. Każdy prostszy obwód to dzielnik napięcia.
Średnie: źródło napięcia i źródło prądu. Pamiętaj, że wyłączone źródło prądu staje się przerwą.
Trudne: trzy źródła, a szukana wielkość może być napięciem węzłowym lub prądem gałęziowym.
Niektóre zadania podają tylko pomiary. Na przykład: przy obu włączonych źródłach prąd wynosi 6,5 mA, a przy wyłączonym V2 wynosi 4,5 mA. Wtedy samo V2 powoduje 2 mA.
Ponieważ obwód jest liniowy, podwojenie V1 podwaja jego składową. Wykorzystaj to do przewidzenia prądu po zmianie źródła.
Użyj metody superpozycji, aby wyznaczyć napięcie VR3 na R3 o zaznaczonej biegunowości.
V1 = 18 VV2 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 Ω
Oblicz VR3(V)
Pokaż podpowiedzi
Ten obwód ma 2 niezależne źródła, więc rozwiąż 2 prostsze obwody, po jednym na źródło. Wyłącz pozostałe: źródło napięcia staje się zwarciem, a źródło prądu rozwarciem.
Gdy działa tylko V₁, R₂ i R₃ są równolegle. Użyj dzielnika napięcia, aby wyznaczyć napięcie w węźle A.
Gdy działa tylko V1, VR3′ = 2,634 V. Drugą składową wyznacz tak samo i dodaj.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.
Przypadek 1 · działa tylko V1
V₂ staje się zwarciem, więc R₂ biegnie teraz od A do masy, równolegle z R₃.
R2 ∥ R3 = 12·2/(12+2) = 1,714 Ω
VA = V1·(R2∥R3)/(R1+R2∥R3) = 18·1,714/(10+1,714) = 2,634 V
VR3′ = VA − 0 = 2,634 − 0 = 2,634 V
Przypadek 2 · działa tylko V2
V₁ staje się zwarciem, więc R₁ biegnie teraz od A do masy, równolegle z R₃.
R1 ∥ R3 = 10·2/(10+2) = 1,667 Ω
VA = V2·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 18·1,667/(12+1,667) = 2,195 V
VR3″ = VA − 0 = 2,195 − 0 = 2,195 V
Dodaj składowe
VR3 = VR3′ + VR3″
VR3 = 2,634 + 2,195 = 4,829 V
Wynik ujemny oznacza, że w rzeczywistości biegunowość jest odwrotna do zaznaczonej.
Przykład 2Średni
Korzystając z superpozycji, wyznacz moc PR4 pobieraną przez R4.
Ten obwód ma 2 niezależne źródła, więc rozwiąż 2 prostsze obwody, po jednym na źródło. Wyłącz pozostałe: źródło napięcia staje się zwarciem, a źródło prądu rozwarciem.
Wyznacz prąd IR4 przez R4 z superpozycji, potem podnieś go do kwadratu: P = I²R.
Gdy aktywne jest tylko V1, IR4′ = 0,07059 A.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.
Przypadek 1 · działa tylko V1
Iₛ staje się rozwarciem, więc R₃ i R₄ tworzą jedną gałąź szeregową od A do masy, równolegle z R₂.
R3+R4 = 8+12 = 20 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω
VA = 6·4,615/(15+4,615) = 1,412 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 1,412·12/20 = 0,8471 V
IR4′ = (VB − 0)/R4 = (0,8471 − 0)/12 = 0,07059 A
Przypadek 2 · działa tylko Is
V₁ staje się zwarciem, więc R₁ jest równolegle z R₂. Iₛ rozdziela się w B między R₄ a drogę przez R₃.
R1 ∥ R2 = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 12 ∥ 12,29 = 6,071 Ω
VB = Is·Req = 2·6,071 = 12,14 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 12,14·4,286/12,29 = 4,235 V
IR4″ = (VB − 0)/R4 = (12,14 − 0)/12 = 1,012 A
Zsumuj wkłady prądu
IR4 = IR4′ + IR4″ = 0,07059 + 1,012 = 1,082 A
Moc w rezystorze
Moc zależy od kwadratu prądu, więc nie podlega zasadzie superpozycji: najpierw zsumuj prądy, potem podnieś do kwadratu.
PR4 = IR4²·R4 = 1,082²·12 = 14,06 W
Odpowiedź
PR4 = 14,06 W
Zsumowanie mocy z poszczególnych przypadków dałoby 12,34 W, co jest błędne.
Przykład 3Trudny
Użyj metody superpozycji, aby wyznaczyć napięcie VR2 na R2 o zaznaczonej biegunowości.
Ten obwód ma 3 niezależne źródła, więc rozwiąż 3 prostsze obwody, po jednym na źródło. Wyłącz pozostałe: źródło napięcia staje się zwarciem, a źródło prądu rozwarciem.
Zacznij od samego V₁: zewrzyj V₂, rozewrzyj Iₛ. Patrząc z A, R₃ jest równolegle z R₂+R₄.
Gdy działa tylko V1, VR2′ = 0,6379 V. Pozostałe składowe wyznacz tak samo i dodaj.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.
Przypadek 1 · działa tylko V1
V₂ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. Patrząc z A, R₃ jest równolegle z szeregową parą R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 8 ∥ 29 = 6,27 Ω
VA = 12·6,27/(10+6,27) = 4,625 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 4,625·25/29 = 3,987 V
VR2′ = VA − VB = 4,625 − 3,987 = 0,6379 V
Przypadek 2 · działa tylko Is
Oba źródła napięcia stają się zwarciami. Iₛ rozdziela się w B między R₄ (teraz do masy) a R₂ szeregowo z R₁ ∥ R₃.
R1 ∥ R3 = 4,444 Ω, więc lewa gałąź to R2+4,444 = 8,444 Ω
Req = R4 ∥ 8,444 = 6,312 Ω
VB = Is·Req = 1·6,312 = 6,312 V
VA = VB·4,444/8,444 = 3,322 V
VR2″ = VA − VB = 3,322 − 6,312 = −2,99 V
Przypadek 3 · działa tylko V2
V₁ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. R₁ ∥ R₃ wychodzi z A, szeregowo z R₂ z powrotem do B.
R1 ∥ R3 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 15·8,444/33,44 = 3,787 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 3,787·4,444/8,444 = 1,993 V
VR2‴ = VA − VB = 1,993 − 3,787 = −1,794 V
Dodaj składowe
VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = 0,6379 + (−2,99) + (−1,794) = −4,146 V
Wynik ujemny oznacza, że w rzeczywistości biegunowość jest odwrotna do zaznaczonej.
Pytania i odpowiedzi
Superpozycja: co to jest?
Wiele obwodów ma więcej niż jedno źródło: dwie baterie albo baterię i źródło prądu.
Rozwiązanie wszystkiego naraz bywa trudne. Superpozycja pozwala rozbić zadanie na prostsze części.
Superpozycja: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Policz niezależne źródła. Dla każdego źródła rozwiążesz jeden prostszy obwód.
Zostaw jedno źródło, a pozostałe wyłącz: źródło napięciowe staje się zwarciem (przewodem), źródło prądowe staje się rozwarciem (przerwą).
Rozwiąż prostszy obwód dla potrzebnego napięcia lub prądu, pilnując jego kierunku.
Powtórz dla każdego źródła, a potem dodaj składowe z ich znakami.
Superpozycja: jakie błędy są najczęstsze?
Usunięcie źródła napięciowego zamiast zastąpienia go przewodem.
Dodawanie składowych bez sprawdzenia ich kierunków.
Stosowanie superpozycji do mocy: moc nie jest liniowa, więc najpierw wyznacz całkowity prąd, a dopiero potem moc.
Superpozycja: co ćwiczysz?
Łatwy: 2 źródła napięcia
Średni: źródło napięcia + źródło prądu
Trudny: 3 źródła
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.