Mostek Wheatstone’a i tensometry: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Darmowe zadania z tematu Mostek Wheatstone’a i tensometry z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: równowaga i napięcia węzłów, mostki niezrównoważone, tensometry i przetworniki tensometryczne.

Darmowe zadanieŁatwy
+−9 VR1​ = 200 ΩR2​ = 300 ΩR3​ = 500 ΩR4​ = 200 Ωab+−Vab​ = ?

Wyznacz napięcie wyjściowe w stanie jałowym Vab = Va − Vb pokazanego mostka, przy Vs = 9 V.

Vs = 9 VR1 = 200 ΩR2 = 300 ΩR3 = 500 ΩR4 = 200 Ω
V
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Mostek Wheatstone’a i tensometryĆwicz teraz: Mostek Wheatstone’a i tensometry5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwyrównowaga i napięcia węzłów
  2. Średnimostki niezrównoważone
  3. Trudnytensometry i przetworniki tensometryczne

Jak rozwiązywać zadania: Mostek Wheatstone’a i tensometry

  1. Potraktuj mostek jako dwa dzielniki napięcia na tym samym zasilaniu.
  2. Dla równowagi przyjmij R₁/R₂ = R₃/R₄ i wyznacz nieznany rezystor.
  3. Dla mostka niezrównoważonego wyznacz Va i Vb z dzielników i odejmij je; użyj układu zastępczego Thévenina, gdy miernik obciąża wyjście.
  4. Dla tensometrów zamień odkształcenie na ΔR/R = GF·ε i użyj Vs·GF·ε/4, /2 lub ×1 odpowiednio dla ćwierćmostka, półmostka i mostka pełnego.

Typowe błędy

  • Parowanie niewłaściwych rezystorów w warunku równowagi.
  • Używanie wzoru na ćwierćmostek dla półmostka lub mostka pełnego.
  • Zapominanie, że odkształcenie podaje się często w µε (10⁻⁶).
  • Stosowanie przybliżenia małych zmian Vs·ΔR/(4R) do dużej zmiany rezystancji.

Najważniejsze wzory

Napięcia dzielników
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Wydalone
Vab = Va − Vb
Bilans
R1/R2 = R3/R4
Mostek z drutem oporowym
R/Rx = l/(100 − l)
Rezystancja Thévenina
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Współczynnik czułości
ΔR/R = GF·ε
Napięcie wyjściowe mostka
ćwierćmostek Vs·GF·ε/4, półmostek Vs·GF·ε/2, mostek pełny Vs·GF·ε
Mała zmiana, jedno ramię
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Naprężenie
σ = E·ε

Naucz się tematu Mostek Wheatstone’a i tensometry od zera

Wcześniej: Rezystory szeregowo i równolegle, Thévenin i Norton

1Czym jest mostek Wheatstone’a

Mostek Wheatstone’a to dwa dzielniki napięcia dołączone do tego samego zasilania Vs. Wyjściem jest napięcie między ich środkami a i b.

+−Vs​R1​R2​R3​R4​ab+−

Gdy oba dzielniki mają ten sam stosunek, a i b mają to samo napięcie, a wyjście wynosi zero: mostek jest zrównoważony. Drobna zmiana w jednym ramieniu daje wtedy małe napięcie wyjściowe, łatwe do zmierzenia, bez dużego napięcia wspólnego na wierzchu.

Dlatego mostków używa się do pomiaru nieznanych rezystancji i małych zmian rezystancji czujników, takich jak tensometry i termistory.

Samosprawdzenie Wszystkie cztery ramiona mostka mają 100 Ω, a Vs = 10 V. Ile wynosi napięcie wyjściowe Vab?
  1. 0 V
  2. 10 V
  3. 2,5 V
  4. 5 V

Odpowiedź: 0 V. Oba dzielniki zmniejszają napięcie zasilania o połowę, więc Va = Vb = 5 V, a Vab = 0. 5 V to napięcie każdego ze środków, a nie różnica.

2Napięcia węzłów i warunek równowagi

Każdy środek to dzielnik napięcia. Gdy R₁ jest nad R₂, a R₃ nad R₄:

Va = Vs·R2/(R1 + R2) Vb = Vs·R4/(R3 + R4) Vab = Va − Vb

Wyjście jest zerowe, gdy stosunki są równe:

R1/R2 = R3/R4 or R1·R4 = R2·R3

Napięcie zasilania nie występuje w warunku równowagi. Dlatego nieznany rezystor można znaleźć, regulując znany, aż galwanometr wskaże zero.

Samosprawdzenie Mostek jest zrównoważony przy R₁ = 100 Ω, R₂ = 200 Ω i R₃ = 150 Ω. Ile wynosi R₄?
  1. 133,3 Ω
  2. 300 Ω
  3. 450 Ω
  4. 75 Ω

Odpowiedź: 300 Ω. R₄ = R₂·R₃/R₁ = 200·150/100 = 300 Ω. Zamiana R₁ i R₂ daje 75 Ω, a sparowanie niewłaściwych rezystorów daje 133,3 Ω.

3Metoda krok po kroku

  1. Oznacz ramiona: R₁ i R₂ w lewym dzielniku, R₃ i R₄ w prawym, z węzłem a między R₁ i R₂ oraz węzłem b między R₃ i R₄.
  2. Dla mostka zrównoważonego rozwiąż R₁·R₄ = R₂·R₃ względem niewiadomej.
  3. Dla mostka niezrównoważonego wyznacz Va i Vb z dzielników i odejmij je.
  4. Jeśli miernik o rezystancji Rg obciąża wyjście, zastąp mostek jego układem zastępczym Thévenina: Vth = Vab oraz Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄. Wtedy Ig = Vth/(Rth + Rg).

4Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Mostek ma R₁ = 200 Ω, R₂ = 300 Ω, R₃ = 400 Ω i R₄ = 400 Ω, przy Vs = 12 V. Wyznacz napięcie wyjściowe w stanie jałowym Vab oraz prąd w galwanometrze 80 Ω dołączonym od a do b.

1

Przyjrzyj się mostkowi

+−12 V200 Ω300 Ω400 Ω400 Ωab+−Vab​

Prawy dzielnik ma jednakowe ramiona, więc Vb to połowa napięcia zasilania.

2

Napięcia węzłów

Va = 12·300/500 = 7,2 V Vb = 12·400/800 = 6 V
3

Napięcie wyjściowe

Vab = 7,2 − 6 = 1,2 V
4

Rezystancja Thévenina

Po zwarciu zasilania R₁ ∥ R₂ biegnie od a do szyn, a R₃ ∥ R₄ od szyn do b.

Rth = 200∥300 + 400∥400 = 120 + 200 = 320 Ω
5

Prąd galwanometru

Ig = 1,2/(320 + 80) = 0,003 A = 3 mA

Płynie od a do b, ponieważ Va jest wyższe.

Odpowiedź

Vab = 1,2 V i Ig = 3 mA.

5Tensometry

Tensometr to cienka metalowa folia przyklejona do elementu. Gdy element się wydłuża, folia staje się dłuższa i cieńsza, a jej rezystancja rośnie:

ΔR/R = GF·ε

ε to odkształcenie (często w mikroodkształceniach, µε = 10⁻⁶), a GF to współczynnik czułości, około 2 dla folii metalowej. Zmiana jest niewielka: 500 µε na tensometrze 350 Ω z GF = 2 daje ΔR = 0,35 Ω.

W mostku, w którym wszystkie ramiona mają rezystancję R, napięcie wyjściowe wynosi w przybliżeniu:

  • Ćwierćmostek (jeden czynny tensometr): Vo ≈ Vs·GF·ε/4.
  • Półmostek (dwa tensometry o przeciwnych odkształceniach w jednym dzielniku): Vo = Vs·GF·ε/2.
  • Mostek pełny (cztery czynne tensometry): Vo = Vs·GF·ε.

Przy Vs = 5 V, GF = 2 i 500 µε ćwierćmostek daje 5·2·0,0005/4 = 1,25 mV. Naprężenie wynika z prawa Hooke’a, σ = E·ε.

Samosprawdzenie Te same tensometry (GF = 2, 500 µε, Vs = 5 V) połączono jako półmostek. Jakie jest napięcie wyjściowe?
  1. 0,625 mV
  2. 1,25 mV
  3. 2,5 mV
  4. 5 mV

Odpowiedź: 2,5 mV. Półmostek daje Vs·GF·ε/2 = 5·2·0,0005/2 = 2,5 mV, dwa razy więcej niż 1,25 mV z ćwierćmostka. 5 mV wymagałoby czterech czynnych tensometrów.

6Typowe błędy

  • Parowanie niewłaściwych ramion w warunku równowagi. Porównuj dwa górne ramiona z dwoma dolnymi.
  • Używanie czynnika 4 z ćwierćmostka dla półmostka lub mostka pełnego.
  • Zapominanie, że µε oznacza 10⁻⁶.
  • Używanie oszacowania małych zmian Vs·ΔR/(4R) dla dużej zmiany rezystancji; wtedy oblicz oba dzielniki dokładnie.
Samosprawdzenie Tensometr z GF = 2 pokazuje ΔR/R = 0,002. Ile wynosi odkształcenie?
  1. 0,001 µε
  2. 1000 µε
  3. 2 µε
  4. 4000 µε

Odpowiedź: 1000 µε. ε = (ΔR/R)/GF = 0,002/2 = 0,001 = 1000 µε. Zapis 0,001 z jednostką µε jest miliona razy za mały, a pomnożenie przez GF daje 4000 µε.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwy: równowaga i napięcia węzłów. Wyznaczasz nieznane lub regulowane ramię mostka zrównoważonego, napięcie węzła, napięcie wyjściowe w stanie jałowym, prąd zasilania albo nieznany rezystor w mostku z drutem oporowym.
  • Średni: mostki niezrównoważone. Wyznaczasz dokładne lub zlinearyzowane napięcie wyjściowe dla zmiany rezystancji, rezystancję Thévenina, prąd galwanometru, zmianę rezystancji ze zmierzonego napięcia wyjściowego albo moc w tensometrze.
  • Trudny: tensometry i przetworniki tensometryczne. Wyznaczasz odkształcenie z ΔR, napięcie wyjściowe ćwierć-, pół- lub pełnego mostka, odkształcenie lub naprężenie z odczytu, wzmocnienie wzmacniacza dla wejścia przetwornika albo napięcie wyjściowe przetwornika tensometrycznego o czułości podanej w mV/V.

W mostku z drutem oporowym dwa odcinki drutu pełnią rolę ramion stosunkowych: R/Rx = l/(100 − l).

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
+−6 VR1​ = 250 ΩR2​ = 300 ΩR3​ = ?R4​ = 150 ΩabG0

Mostek Wheatstone’a na schemacie równoważy się przez regulację R₃. R₁ = 250 Ω, R₂ = 300 Ω i R₄ = 150 Ω. Wyznacz nastawę R3.

R1 = 250 ΩR2 = 300 ΩR4 = 150 Ω

Oblicz R3 (Ω)

Pokaż podpowiedzi
  1. W równowadze oba dzielniki dają to samo napięcie: Va = Vb.
  2. R₁/R₂ = R₃/R₄.
  3. R₃ = R₁·R₄/R₂.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Mostek Wheatstone’a: dwa dzielniki napięcia mają wspólne zasilanie Vs. Lewy dzielnik R1–R2 daje Va = Vs·R2/(R1 + R2), a prawy dzielnik R3–R4 daje Vb = Vs·R4/(R3 + R4); wyjściem jest Vab = Va − Vb. Mostek jest zrównoważony (Vab = 0, brak prądu w mierniku), gdy R1/R2 = R3/R4, czyli R1·R4 = R2·R3. Widziany od strony wyjścia mostek jest źródłem Thévenina o Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Warunek równowagi

R₁·R₄ = R₂·R₃

Nieznany rezystor

R₃ = 250·150/300 = 125 Ω

Odpowiedź

R3 = 125 Ω

Napięcie zasilania nie ma znaczenia w stanie równowagi.

Przykład 2Średni
+−10 VR1​ = 150 ΩR2​ = 1000 ΩR3​ = 500 ΩR4​ = 600 ΩabGRg​ = 20 Ω

Galwanometr o rezystancji 20 Ω dołączono między a i b pokazanego mostka (Vs = 10 V). Wyznacz prąd galwanometru Ig od a do b, w µA.

Vs = 10 VR1 = 150 ΩR2 = 1000 ΩR3 = 500 ΩR4 = 600 ΩRg = 20 Ω

Oblicz Ig (µA)

Pokaż podpowiedzi
  1. Zastąp mostek jego układem zastępczym Thévenina widzianym z a–b.
  2. Vth = Va − Vb = 3,241 V, Rth = 403,2 Ω.
  3. Ig = Vth/(Rth + Rg).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Mostek Wheatstone’a: dwa dzielniki napięcia mają wspólne zasilanie Vs. Lewy dzielnik R1–R2 daje Va = Vs·R2/(R1 + R2), a prawy dzielnik R3–R4 daje Vb = Vs·R4/(R3 + R4); wyjściem jest Vab = Va − Vb. Mostek jest zrównoważony (Vab = 0, brak prądu w mierniku), gdy R1/R2 = R3/R4, czyli R1·R4 = R2·R3. Widziany od strony wyjścia mostek jest źródłem Thévenina o Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Napięcie Thévenina

Vth = 10·(1000/1150 − 600/1100) = 3,241 V

Rezystancja Thévenina

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 403,2 Ω

Prąd galwanometru

Ig = 3,241/(403,2 + 20) = 7659 µA

Odpowiedź

Ig = 7659 µA
Przykład 3Trudny
+−V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−

Tensometr 350 Ω o współczynniku czułości 2,12 jest przyklejony do stalowego pręta. Pod obciążeniem jego rezystancja rośnie o 0,371 Ω. Wyznacz odkształcenie ε w mikroodkształceniach (µε).

R = 350 ΩGF = 2,12ΔR = 0,371 Ω

Oblicz ε (µε)

Pokaż podpowiedzi
  1. ΔR/R = GF·ε.
  2. ΔR/R = 0,371/350 = 0,00106.
  3. 1 µε = 10⁻⁶.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Tensometry: tensometr zmienia rezystancję pod wpływem odkształcenia: ΔR/R = GF·ε, gdzie współczynnik czułości GF wynosi około 2 dla tensometrów foliowych metalowych. W mostku, w którym wszystkie ramiona mają rezystancję R, jeden czynny tensometr (ćwierćmostek) daje Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dwa czynne tensometry o przeciwnych odkształceniach w sąsiednich ramionach (półmostek) dają Vs·GF·ε/2, a cztery (mostek pełny) dają Vs·GF·ε. Naprężenie wynika z prawa Hooke’a, σ = E·ε. Przetworniki tensometryczne podają czułość w mV/V: napięcie wyjściowe przy pełnym obciążeniu na każdy wolt zasilania.

Względna zmiana rezystancji

ΔR/R = 0,371/350 = 0,00106

Odkształcenie

ε = 0,00106/2,12 = 0,0005 = 500 µε

Odpowiedź

ε = 500 µε

Pytania i odpowiedzi

Mostek Wheatstone’a i tensometry: co to jest?

Mostek Wheatstone’a to dwa dzielniki napięcia dołączone do tego samego zasilania Vs. Wyjściem jest napięcie między ich środkami a i b.

Gdy oba dzielniki mają ten sam stosunek, a i b mają to samo napięcie, a wyjście wynosi zero: mostek jest zrównoważony. Drobna zmiana w jednym ramieniu daje wtedy małe napięcie wyjściowe, łatwe do zmierzenia, bez dużego napięcia wspólnego na wierzchu.

Mostek Wheatstone’a i tensometry: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Potraktuj mostek jako dwa dzielniki napięcia na tym samym zasilaniu.
  2. Dla równowagi przyjmij R₁/R₂ = R₃/R₄ i wyznacz nieznany rezystor.
  3. Dla mostka niezrównoważonego wyznacz Va i Vb z dzielników i odejmij je; użyj układu zastępczego Thévenina, gdy miernik obciąża wyjście.
  4. Dla tensometrów zamień odkształcenie na ΔR/R = GF·ε i użyj Vs·GF·ε/4, /2 lub ×1 odpowiednio dla ćwierćmostka, półmostka i mostka pełnego.
Mostek Wheatstone’a i tensometry: jakie błędy są najczęstsze?
  • Parowanie niewłaściwych rezystorów w warunku równowagi.
  • Używanie wzoru na ćwierćmostek dla półmostka lub mostka pełnego.
  • Zapominanie, że odkształcenie podaje się często w µε (10⁻⁶).
  • Stosowanie przybliżenia małych zmian Vs·ΔR/(4R) do dużej zmiany rezystancji.
Mostek Wheatstone’a i tensometry: co ćwiczysz?
  • Łatwy: równowaga i napięcia węzłów
  • Średni: mostki niezrównoważone
  • Trudny: tensometry i przetworniki tensometryczne

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Rezystory szeregowo i równolegleThévenin i Norton

Przedmioty z tym tematem

Elektronika 1Pomiary i aparaturaSystemy mechatroniczne

Więcej tematów: Elektrotechnika

Rezystory szeregowo i równolegleSuperpozycjaThévenin i NortonMetoda potencjałów węzłowychMetoda prądów oczkowychStany nieustalone RC i RLImpedancja i wskazy ACMoc AC i współczynnik mocyRezonans LC, dobroć i szerokość pasmaMoc w układach trójfazowychTransformatorySilniki prądu stałegoUkłady ze wzmacniaczami operacyjnymiDiody i tranzystoryPrzetwornice DC-DCLogika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiAkwizycja danych i próbkowanieTransformaty Laplace’aSchematy blokoweOdpowiedź skokowaWykresy Bodego i zapasyStabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowaUchyb ustalony i regulacja PIDSplot i układy liniowe stacjonarne

Karta pracy do druku

Mostek Wheatstone’a i tensometry: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Mostek Wheatstone’a i tensometryĆwicz teraz: Mostek Wheatstone’a i tensometry5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.