Splot i układy liniowe stacjonarne: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Darmowe zadania z tematu Splot i układy liniowe stacjonarne z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: splot dyskretny, splot ciągły, odpowiedź impulsowa i szereg Fouriera.

Darmowe zadanieŁatwy
x[n]n−10−31224334h[n]n−101112134

Ciągi x[n] = {−3, 2, 4, 3} i h[n] = {1, 1, 1} zaczynają się w n = 0. Wyznacz próbkę y[1] splotu y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−3, 2, 4, 3}, n = 0…3h[n] = {1, 1, 1}, n = 0…2
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Splot i układy liniowe stacjonarneĆwicz teraz: Splot i układy liniowe stacjonarne5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwysplot dyskretny
  2. Średnisplot ciągły
  3. Trudnyodpowiedź impulsowa i szereg Fouriera

Jak rozwiązywać zadania: Splot i układy liniowe stacjonarne

  1. Naszkicuj oba sygnały i zaznacz, gdzie każdy z nich jest niezerowy.
  2. Odwróć h i przesuwaj je: dla każdej chwili wyjścia znajdź zakres, w którym oba sygnały się nakładają.
  3. Mnóż i dodawaj (dyskretnie) lub mnóż i całkuj (ciągle) tylko po tym nakładaniu.
  4. Sprawdź wynik: wyjście zaczyna się w sumie czasów początkowych, kończy w sumie czasów końcowych, a jego pole lub suma jest iloczynem pól lub sum wejść.

Typowe błędy

  • Mnożenie obu sygnałów próbka po próbce zamiast ich splatania.
  • Przesuwanie h bez odwracania, co daje korelację.
  • Użycie wzoru na odpowiedź skokową, gdy pytanie dotyczy odpowiedzi impulsowej, lub odwrotnie.
  • Błędne liczenie numeru harmonicznej: składowa przy k/T to harmoniczna k.

Najważniejsze wzory

Splot dyskretny
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Splot ciągły
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Długość i suma
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Początek, koniec i pole
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Skok na wejściu e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Układ pierwszego rzędu
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Rekurencja pierwszego rzędu
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusoida przechodząca przez h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Amplitudy szeregu Fouriera
prostokątna ±A: 4A/(kπ), k nieparzyste; trójkątna ±A: 8A/(π²k²), k nieparzyste; ciąg impulsów: A·D oraz (2A/(kπ))|sin kπD|

Naucz się tematu Splot i układy liniowe stacjonarne od zera

Wcześniej: Całki

1Co robi splot

Liniowy układ stacjonarny (LTI) jest w pełni opisany przez swoją odpowiedź impulsową h: wyjście, jakie daje, gdy wejściem jest jeden krótki impuls.

Każde wejście można traktować jak szereg przeskalowanych, przesuniętych impulsów. Każdy impuls daje przeskalowaną, przesuniętą kopię h, a wyjście jest sumą wszystkich kopii. Ta suma to splot y = x ∗ h.

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

Splot pojawia się wszędzie tam, gdzie układ ma pamięć: w filtrach, czujnikach, konstrukcjach, obwodach i w rozmywaniu sygnału w czasie.

Samosprawdzenie Układ ma h[n] = {1, 3} (n = 0, 1). Wejściem jest pojedyncza próbka x[0] = 2. Jakie jest wyjście?
  1. y[n] = {2, 3}
  2. y[n] = {2, 6}
  3. y[n] = {3, 1}
  4. y[n] = {8}

Odpowiedź: y[n] = {2, 6}. Jeden impuls o wysokości 2 daje jedną kopię h przeskalowaną przez 2: {2·1, 2·3} = {2, 6}. Splot zachowuje kształt h; nie sumuje próbek.

2Splot dyskretny krok po kroku

Dla ciągów splot jest sumą:

y[n] = Σk x[k]·h[n − k]
  1. Odwróć h: h[−k] to h odbite względem k = 0.
  2. Przesuń odwrócone h o n.
  3. Pomnóż je próbka po próbce przez x i dodaj iloczyny. To daje y[n].
  4. Powtórz dla każdego n. Jeśli x ma Lx próbek, a h ma Lh, to y ma Lx + Lh − 1 próbek, zaczynających się w sumie obu indeksów początkowych.

Szybkie sprawdzenie: suma wszystkich próbek y jest równa (Σx)·(Σh).

Samosprawdzenie Dla x[n] = {1, 2} i h[n] = {3, 1}, obu zaczynających się w n = 0, ile wynosi y[1]?
  1. 2
  2. 5
  3. 6
  4. 7

Odpowiedź: 7. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1·1 + 2·3 = 7. Pomnożenie tylko x[1]·h[1] daje 2, a 6 zachowuje tylko jeden z dwóch iloczynów.

3Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Splot x[n] = {2, 1, −1} z h[n] = {1, 3}, oba zaczynają się w n = 0.

1

Przyjrzyj się ciągom

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

x ma 3 próbki, a h ma 2, więc y ma 3 + 2 − 1 = 4 próbki, od n = 0 do n = 3.

2

y[0]

Nakładają się tylko x[0] i h[0].

y[0] = 2·1 = 2
3

y[1]

y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 2·3 + 1·1 = 7
4

y[2] i y[3]

y[2] = x[1]·h[1] + x[2]·h[0] = 1·3 + (−1)·1 = 2
y[3] = x[2]·h[1] = (−1)·3 = −3
5

Sprawdź wynik

Σx = 2 i Σh = 4, więc Σy musi wynosić 8. Rzeczywiście 2 + 7 + 2 − 3 = 8.

Odpowiedź

y[n] = {2, 7, 2, −3} dla n = 0 … 3.

4Splot ciągły

Dla sygnałów w czasie ciągłym suma staje się całką:

y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ

Metoda jest ta sama: odwróć h, przesuń do położenia t i całkuj iloczyn po tej części, gdzie oba sygnały są niezerowe.

x(t)t12h(t)t1

Dla x(t) = 2 przy 0 ≤ t < 1 s i h(t) = e−tu(t) wyjście w czasie trwania impulsu to y(t) = ∫₀ᵗ 2e−(t − τ) dτ = 2(1 − e−t). W t = 1 s osiąga 2(1 − e−1) = 1,26, a potem zanika jak 1,26·e−(t − 1).

  • y zaczyna się w sumie dwóch czasów początkowych i kończy w sumie dwóch czasów końcowych.
  • Pole pod y jest iloczynem pola pod x i pola pod h.
  • Dwa impulsy prostokątne dają trapez; dwa jednakowe dają trójkąt.
Samosprawdzenie x(t) jest niezerowe od 0 do 2 s, a h(t) od 1 s do 4 s. Kiedy kończy się y(t) = x(t) ∗ h(t)?
  1. 3 s
  2. 4 s
  3. 5 s
  4. 6 s

Odpowiedź: 6 s. y kończy się w sumie czasów końcowych: 2 + 4 = 6 s. Zaczyna się w 0 + 1 = 1 s, więc trwa 5 s; 5 s to czas trwania, a nie koniec.

5Odpowiedzi impulsowe i szeregi Fouriera

Układ pierwszego rzędu y′ + a·y = b·x ma odpowiedź impulsową h(t) = b·e−atu(t). Jego dyskretny odpowiednik y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] ma h[n] = b·aⁿ dla n ≥ 0.

Sinusoida przechodzi przez układ liniowy stacjonarny bez zmiany częstotliwości. Jest przeskalowana przez |H(jω)| i przesunięta o ∠H(jω), gdzie H jest transformatą Fouriera h. Dla h(t) = b·e−atu(t) mamy H(jω) = b/(a + jω).

Sygnał okresowy o okresie T jest sumą harmonicznych o częstotliwościach k/T. Kilka standardowych amplitud:

  • Fala prostokątna między −A a +A: tylko k nieparzyste, amplituda 4A/(kπ).
  • Fala trójkątna między −A a +A: tylko k nieparzyste, amplituda 8A/(π²k²).
  • Ciąg impulsów o wysokości A i współczynniku wypełnienia D: wartość średnia A·D, harmoniczne (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Samosprawdzenie Fala prostokątna przełącza się między −2 a +2. Jaka jest amplituda jej trzeciej harmonicznej?
  1. 0,283
  2. 0,424
  3. 0,849
  4. 2,546

Odpowiedź: 0,849. 4A/(kπ) = 8/(3π) = 0,849. Wartość 2,546 to składowa podstawowa, 0,283 dzieli przez k² jak dla fali trójkątnej, a 0,424 używa 2A/(kπ), wzoru dla fali od 0 do A.

6Typowe błędy

  • Mnożenie obu sygnałów próbka po próbce zamiast ich splatania.
  • Przesuwanie h bez odwracania; to daje korelację, a nie splot.
  • Mylenie odpowiedzi impulsowej z odpowiedzią skokową: odpowiedź skokowa to suma narastająca lub całka z h.
  • Błędne liczenie harmonicznych: składowa przy k/T to harmoniczna k.
Samosprawdzenie x[n] = {1, 2} i h[n] = {1, 1}, oba od n = 0. Ile wynosi y[1]?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Odpowiedź: 3. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1 + 2 = 3. Iloczyn próbka po próbce x[1]·h[1] daje tylko 2.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwy: splot dyskretny. Wyznaczasz jedną próbkę wyjścia, największą próbkę, sumę wszystkich próbek, pierwszy lub ostatni indeks y, wyjście filtru SOI albo odpowiedź na skok.
  • Średni: splot ciągły. Wyznaczasz y(t) w danej chwili dla dwóch impulsów, wykładnika ze skokiem lub impulsem albo dwóch wykładników, a także pole, początek, koniec lub czas trwania y.
  • Trudny: odpowiedzi impulsowe i szeregi Fouriera. Wyznaczasz h(t) równania różniczkowego pierwszego rzędu, h[n] lub odpowiedź skokową rekurencji, wzmocnienie lub fazę dla sinusoidy albo harmoniczną fali prostokątnej, trójkątnej lub ciągu impulsów.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

Ciągi x[n] = {4, −3, −2} i h[n] = {3, 1} zaczynają się w n = 0. Wyznacz próbkę y[1] splotu y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Oblicz y[1]

Pokaż podpowiedzi
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. Dla n = 1 składniki to k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Splot dyskretny: wyjście liniowego układu stacjonarnego to y[n] = Σk x[k]·h[n − k]: odwróć h, przesuń o n, pomnóż próbka po próbce przez x i dodaj. Jeśli x ma Lx próbek zaczynających się w nx, a h ma Lh próbek zaczynających się w nh, to y ma Lx + Lh − 1 próbek zaczynających się w nx + nh. Suma wszystkich próbek y jest równa (Σx)·(Σh). Filtr SOI y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … jest splotem z h[n] = bn.

Składniki sumy

Wnoszą tylko te k, dla których istnieją zarówno x[k], jak i h[n − k].

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Dodaj

y[1] = −5

Odpowiedź

y[1] = −5
Przykład 2Średni
x(t)t11h(t)t1

Impuls x(t) = 1 dla 0 ≤ t < 1 s (poza tym zero) podano na układ o h(t) = e−2tu(t). Wyznacz wyjście y(2,5) w t = 2,5 s, po zakończeniu impulsu.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−2tu(t)t = 2,5 s

Oblicz y(2.5)

Pokaż podpowiedzi
  1. Zapisz impuls jako skok w t = 0 minus skok w t = 1 s.
  2. Odpowiedź skokowa to (A/a)(1 − e−at).
  3. Po impulsie: y(t) = y(1)·e−a(t − 1).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Splot ciągły: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Odwróć h, przesuń do położenia t i całkuj iloczyn nakładających się części. Dla sygnałów przyczynowych całka biegnie od 0 do t. Przydatne wyniki: pole pod y jest iloczynem pola pod x i pola pod h; jeśli x trwa od t₁ do t₂, a h od t₃ do t₄, to y trwa od t₁ + t₃ do t₂ + t₄. Dla h(t) = e−atu(t) i skoku o wysokości A mamy y(t) = (A/a)(1 − e−at).

Wyjście na końcu impulsu

y(1) = (1/2)(1 − e−2) = 0,4323

Zanik po impulsie

y(2,5) = 0,4323·e−2·1,5 = 0,02152

Odpowiedź

y(2,5) = 0,02152
Przykład 3Trudny
δ(t)y′ + 5y = 3xh(t)

Układ spełnia równanie y′(t) + 5·y(t) = 3·x(t). Wyznacz jego odpowiedź impulsową w t = 0,05 s, h(0,05).

y′ + 5y = 3xt = 0,05 s

Oblicz h(0.05)

Pokaż podpowiedzi
  1. Przekształć równanie transformatą Laplace’a przy zerowych warunkach początkowych: (s + 5)Y(s) = 3X(s).
  2. H(s) = 3/(s + 5).
  3. h(t) = 3·e−5tu(t).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź impulsowa i szereg Fouriera: odpowiedź impulsowa h(t) w pełni opisuje układ liniowy stacjonarny: dla y′ + a·y = b·x jest to h(t) = b·e−atu(t), a dla y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] jest to h[n] = b·aⁿu[n]. Sinusoida cos ωt przechodzi ze wzmocnieniem |H(jω)| i fazą ∠H(jω), gdzie H jest transformatą Fouriera h. Sygnał okresowy jest sumą harmonicznych przy k/T: fala prostokątna ±A ma tylko harmoniczne nieparzyste o amplitudach 4A/(kπ), fala trójkątna o szczycie A ma 8A/(π²k²), a ciąg impulsów o wysokości A i współczynniku wypełnienia D ma wartość średnią A·D i harmoniczne (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.

Transmitancja

H(s) = Y(s)/X(s) = 3/(s + 5)

Odpowiedź impulsowa

h(t) = 3·e−5tu(t)
h(0,05) = 3·e−0,25 = 2,336

Odpowiedź

h(0,05) = 2,336

Pytania i odpowiedzi

Splot i układy liniowe stacjonarne: co to jest?

Każde wejście można traktować jak szereg przeskalowanych, przesuniętych impulsów. Każdy impuls daje przeskalowaną, przesuniętą kopię h, a wyjście jest sumą wszystkich kopii. Ta suma to splot y = x ∗ h.

Splot pojawia się wszędzie tam, gdzie układ ma pamięć: w filtrach, czujnikach, konstrukcjach, obwodach i w rozmywaniu sygnału w czasie.

Splot i układy liniowe stacjonarne: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Naszkicuj oba sygnały i zaznacz, gdzie każdy z nich jest niezerowy.
  2. Odwróć h i przesuwaj je: dla każdej chwili wyjścia znajdź zakres, w którym oba sygnały się nakładają.
  3. Mnóż i dodawaj (dyskretnie) lub mnóż i całkuj (ciągle) tylko po tym nakładaniu.
  4. Sprawdź wynik: wyjście zaczyna się w sumie czasów początkowych, kończy w sumie czasów końcowych, a jego pole lub suma jest iloczynem pól lub sum wejść.
Splot i układy liniowe stacjonarne: jakie błędy są najczęstsze?
  • Mnożenie obu sygnałów próbka po próbce zamiast ich splatania.
  • Przesuwanie h bez odwracania, co daje korelację.
  • Użycie wzoru na odpowiedź skokową, gdy pytanie dotyczy odpowiedzi impulsowej, lub odwrotnie.
  • Błędne liczenie numeru harmonicznej: składowa przy k/T to harmoniczna k.
Splot i układy liniowe stacjonarne: co ćwiczysz?
  • Łatwy: splot dyskretny
  • Średni: splot ciągły
  • Trudny: odpowiedź impulsowa i szereg Fouriera

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Całki

Przedmioty z tym tematem

Sygnały i układyMatematyka inżynierska 2

Więcej tematów: Elektrotechnika

Rezystory szeregowo i równolegleSuperpozycjaThévenin i NortonMetoda potencjałów węzłowychMetoda prądów oczkowychStany nieustalone RC i RLImpedancja i wskazy ACMoc AC i współczynnik mocyRezonans LC, dobroć i szerokość pasmaMoc w układach trójfazowychTransformatorySilniki prądu stałegoUkłady ze wzmacniaczami operacyjnymiDiody i tranzystoryPrzetwornice DC-DCLogika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiMostek Wheatstone’a i tensometryAkwizycja danych i próbkowanieTransformaty Laplace’aSchematy blokoweOdpowiedź skokowaWykresy Bodego i zapasyStabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowaUchyb ustalony i regulacja PID

Karta pracy do druku

Splot i układy liniowe stacjonarne: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Splot i układy liniowe stacjonarneĆwicz teraz: Splot i układy liniowe stacjonarne5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.