Sygnały i układy: zadania i pytania egzaminacyjne

Sygnały ciągłe i dyskretne przechodzące przez liniowe układy stacjonarne: splot, odpowiedzi impulsowa i skokowa, przekształcenie Laplace’a, charakterystyka częstotliwościowa i szereg Fouriera. Egzaminy łączą szkicowanie z krótkimi obliczeniami.

Ćwicz ten przedmiot za darmoĆwicz ten przedmiotNapisz egzamin próbny5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Zestaw na powtórkę (PDF)Wzory, kroki metod i zadania z pełnymi rozwiązaniami, gotowe do wydruku.

Tematy w tym przedmiocie

  1. Splot i układy liniowe stacjonarnesplot dyskretny · splot ciągły · odpowiedź impulsowa i szereg Fourieraobliczenia
  2. Transformaty Laplace’apary z tablic i twierdzenia o wartościach · transformata odwrotna metodą ułamków prostych · równania różniczkowe i transmitancjeobliczenia
  3. Odpowiedź skokowaukłady pierwszego rzędu · parametry układów drugiego rzędu · układy fizyczne i projektowanieobliczenia
  4. Wykresy Bodego i zapasyfiltry i asymptoty · moduł i faza · zapasy stabilnościobliczenia

Wskazówki egzaminacyjne: Sygnały i układy

  • Naszkicuj sygnały przed splotem: nakładanie się wyznacza granice sumy lub całki.
  • Wyjście układu liniowego stacjonarnego zaczyna się w sumie czasów początkowych, a kończy w sumie czasów końcowych.
  • Sinusoida wychodzi z tą samą częstotliwością, przeskalowana przez |H(jω)| i przesunięta o ∠H(jω).

Przykłady z rozwiązaniami

Splot i układy liniowe stacjonarneŁatwy
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

Ciągi x[n] = {4, −3, −2} i h[n] = {3, 1} zaczynają się w n = 0. Wyznacz próbkę y[1] splotu y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Oblicz y[1]

Pokaż podpowiedzi
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. Dla n = 1 składniki to k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Splot dyskretny: wyjście liniowego układu stacjonarnego to y[n] = Σk x[k]·h[n − k]: odwróć h, przesuń o n, pomnóż próbka po próbce przez x i dodaj. Jeśli x ma Lx próbek zaczynających się w nx, a h ma Lh próbek zaczynających się w nh, to y ma Lx + Lh − 1 próbek zaczynających się w nx + nh. Suma wszystkich próbek y jest równa (Σx)·(Σh). Filtr SOI y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … jest splotem z h[n] = bn.

Składniki sumy

Wnoszą tylko te k, dla których istnieją zarówno x[k], jak i h[n − k].

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Dodaj

y[1] = −5

Odpowiedź

y[1] = −5
Transformaty Laplace’aŚredni
ReIm−5−10−15−20−25

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48). Jej transformata odwrotna ma postać f(t) = A·e−6t + B·e−8t. Znajdź współczynnik A metodą rozkładu na ułamki proste.

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)

Oblicz A

Pokaż podpowiedzi
  1. Rozłóż mianownik na czynniki: s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8).
  2. Metoda zakrywania: A = [(s + 6)·F(s)] przy s = −6.
  3. Przy s = −6: licznik 16, drugi czynnik 2.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Transformata Laplace’a: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt zamienia pochodne na mnożenie przez s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Podstawowe pary: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), a przesunięcie s → s + σ mnoży funkcję czasu przez e−σt. Aby odwrócić wymierną F(s), rozłóż ją na ułamki proste: residuum prostego bieguna p wynosi A = [(s − p)·F(s)] przy s = p. Twierdzenie o wartości końcowej: f(∞) = lims→0 s·F(s), słuszne tylko wtedy, gdy wszystkie bieguny s·F(s) leżą w lewej półpłaszczyźnie. Twierdzenie o wartości początkowej: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).

Rozłóż mianownik na czynniki

s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)

Metoda zakrywania

Pomnóż przez (s + 6) i podstaw s = −6: składnik z B znika.

A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8

Odpowiedź

A = 8
(B = −7, więc f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)

Jak wygląda ćwiczenie

  • „Ćwicz ten przedmiot” miesza zadania ze wszystkich jego tematów, jak na prawdziwym egzaminie.
  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Egzaminy próbne są mierzone czasem i nie mają podpowiedzi, a na końcu dostajesz wynik i pełne omówienie.

Kalkulatory do tego kursu

Kalkulator odwrotnej transformaty Laplace’a (ułamki proste)Kalkulator decybeli (dB, dBm i poziomy dźwięku)Kalkulator wykresu Bodego (margines wzmocnienia i fazy)Kalkulator transformaty Laplace’a

Powiązane przedmioty

Automatyka 1Przygotowanie do egzaminu FE Electrical and ComputerAutomatyka 2: projektowanie regulacji ze sprzężeniem zwrotnymMatematyka inżynierska 2Przygotowanie do egzaminu FE MechanicalTeoria obwodów 2: obwody prądu przemiennegoSystemy mechatroniczneTeoria obwodów 1
Ćwicz ten przedmiot za darmoĆwicz ten przedmiotNapisz egzamin próbny5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.