Kalkulator odwrotnej transformaty Laplace’a (ułamki proste)
Wpisz swoje wartości. Odpowiedź i pełne rozwiązanie aktualizują się w trakcie pisania.
Wynik
Znajdź odwrotną transformatę Laplace’a funkcji wymiernej F(s) = N(s)/D(s). Wpisz współczynniki licznika i mianownika, od najwyższej potęgi s. Kalkulator skraca wspólne czynniki, wydziela część całkowitą z ułamka niewłaściwego, znajduje bieguny, oblicza każdy współczynnik ułamka prostego (dla biegunów jednokrotnych, wielokrotnych i zespolonych) i zapisuje f(t) jako sumę funkcji wykładniczych, potęg t, sinusów i cosinusów.
Rozwiązanie krok po kroku
Zapisz F(s) jako iloraz wielomianów
Bieguny: pierwiastki mianownika
Ułamki proste
Użyte pary transformat
Odwrotna transformata Laplace’a
Jak znaleźć odwrotną transformatę Laplace’a metodą ułamków prostych
- Upewnij się, że F(s) jest właściwa: jeśli stopień licznika nie jest niższy niż stopień mianownika, najpierw podziel. Część wielomianowa daje impulsy δ(t), δ′(t) i tak dalej.
- Rozłóż mianownik na czynniki, aby znaleźć bieguny: biegun rzeczywisty a daje czynnik (s − a), para zespolona a ± bj daje (s − a)² + b².
- Zapisz F(s) jako sumę ułamków prostych i znajdź współczynniki. Dla bieguna jednokrotnego A = [(s − a)·F(s)] przy s = a (metoda zakrywania); bieguny wielokrotne wymagają pochodnych.
- Przekształć każdy składnik według tablicy: 1/(s − a) ↔ e^(at), 1/(s − a)ⁿ ↔ tⁿ⁻¹·e^(at)/(n − 1)! oraz (s − a)/((s − a)² + b²) ↔ e^(at)·cos bt.
- Dodaj składniki, aby otrzymać f(t) dla t ≥ 0.
Pytania i odpowiedzi
Jak wpisać F(s)?
Wpisz współczynniki każdego wielomianu od najwyższej potęgi s w dół, oddzielone spacjami, z zerami dla brakujących potęg. (s + 3)/(s² + 3s + 2) to licznik 1 3 i mianownik 1 3 2; 1/(s³ + 4s) to licznik 1 i mianownik 1 0 4 0. Dozwolone są ułamki, takie jak 1/2, i ułamki dziesiętne.
Na czym polega metoda zakrywania?
Dla bieguna jednokrotnego w s = a pomnóż F(s) przez (s − a), skróć i podstaw s = a. Dla F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)) daje to 2/1 = 2 przy s = −1 oraz 1/(−1) = −1 przy s = −2, więc f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t).
Jak traktowane są bieguny zespolone?
Para biegunów a ± bj daje składnik (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²), którego transformata odwrotna to e^(at)·(B cos bt + C sin bt). Kalkulator znajduje B i C ze współczynnika zespolonego A przy a + bj: B = 2·Re A i C = −2·Im A.
Co, jeśli stopień licznika jest zbyt wysoki?
Wtedy F(s) jest niewłaściwa. Dzielenie wielomianów daje F(s) = Q(s) + R(s)/D(s). Wielomian Q(s) przekształca się w impulsy: stała c daje c·δ(t), c·s daje c·δ′(t) i tak dalej. Część właściwą R(s)/D(s) rozkładasz na ułamki proste jak zwykle.
Jak dokładne są wyniki?
Wspólne czynniki i czynniki wielokrotne są znajdowane dokładnie, na ułamkach. Pierwiastki i współczynniki są następnie obliczane numerycznie z dokładnością około 14 cyfr i pokazywane z 4 cyframi znaczącymi, więc bieguny niewymierne, takie jak bieguny s² + s + 1, pojawiają się jako liczby dziesiętne.
Dlaczego f(t) obowiązuje tylko dla t ≥ 0?
Jednostronna transformata Laplace’a wykorzystuje tylko wartości f dla t ≥ 0. Ściśle rzecz biorąc, wynikiem jest f(t)·u(t), gdzie u to skok jednostkowy, więc f(t) = 0 dla t < 0.
Przećwicz to sam
Ćwicz: Transformaty Laplace’a
Kalkulator daje odpowiedź. Na egzaminie potrzebujesz metody: ćwicz ją na nowych zadaniach z podpowiedziami i rozwiązaniami.